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1、2011年2017年新课标全国卷文科数学分类汇编3导数及其应用一、选择题【2016，12】若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A B C D【2014，12】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 A B C D二、填空题【2017，14】曲线在处的切线方程为 【2012，13】13曲线在点（1，1）处的切线方程为_三、解答题【2017，21】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围【2016，21】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【2015，21】设函数（1）讨论的导函数零点的个数;（2）求证：当时，【2014，21】设函数，曲线在点(1,
2、f(1)处的切线斜率为0()求; ()若存在x01，使得，求的取值范围【2013，20】已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值【2012，21】21设函数（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，求的最大值【2011，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为（1）求，的值；（2）证明：当，且时，2011年2017年新课标全国卷文科数学分类汇编3导数及其应用（解析版）一、选择题【2016，12】若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A B C D 解析：选C 问题转化为
3、对恒成立，故，即恒成立令，得对恒成立解法一：构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得故选C解法二：当时，不等式恒成立；当时，恒成立，由在上单调递增，所以，故；当时，恒成立由在上单调递增，所以综上可得，故选C【2014，12】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A B C D解：依题a0，f (x)=3ax2-6x，令f (x)=0，解得x=0或x=，当a0时，在(-, 0)与(,+)上，f (x)0，f(x)是增函数在(0,) 上，f (x)0，f(x)有小于零的零点，不符合题意当a0时，在(-,)与(0,+)上，f (x)0，f(x)是增函数要使f
4、(x)有唯一的零点x0，且x00，只要，即a24，所以a-2故选C另解：依题a0，f(x)存在唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于a=-t3+3t有唯一的正零根，即y=a与y=-t3+3t有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记g(t)=-t3+3t，g (t)=-3t2+3，由g (t)=0，解得t=1，在(-,-1)与(1,+)上，g (t)0，g(t)是增函数要使a=-t3+3t有唯一的正零根，只要a0 2分(1)若a0时，f (x)0在(0,+)恒成立，所以f (x)没有零点； 3分(2)若a0时，f (x)单调递增当x 0, f (x) -；当x + ,f (x) +，所
5、以f (x) 存在一个零点 6分() 设f (x)的唯一零点为k，由()知(0, k)上，f (x)0，f(x)单调递增所以f(x)取最小值f(k) 8分所以f(x)f(k)= e2k-alnk，又f (k)= 2e2k=0，所以e2k=，所以f(k)=，所以f(x) 12分21 解析 （1），显然当时，恒成立，无零点 当时，取，则，即单调递增令，即画出与的图像，如图所示由图可知，必有零点，所以导函数存在唯一零点（2）由（1）可知有唯一零点，设零点为，由图可知，当时，即单调递减；当时，即单调递增所以在处取得极小值，即又，解得两边分别取自然对数，得，即所以（当且仅当，即时取等号）【2014，21
6、】设函数，曲线在点(1, f(1)处的切线斜率为0()求; ()若存在x01，使得，求的取值范围解：() (x0)，依题f (1)=0，解得b=1， 3分()由()知，因为a1，所以f (x )=0有两根：x=1或。 4分(1)若，则，在(1,+)上，f (x)0，f (x)单调递增.所以存在x01，使得，的充要条件为，即，解得。 6分(2)若，则，在 (1, )上，f (x) 0，f (x)单调递增.所以存在x01，使得，的充要条件为，而，所以不合题意. 9分(3) 若a1，则。存在x01，符合条件。11分综上，a的取值范围为：。 12分【2013，20】已知函数f(x)ex(axb)x24
7、x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解：(1)f(x)ex(axab)2x4，由已知得f(0)4，f(0)4，故b4，ab8从而a4，b4(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)令f(x)0得，xln 2或x2从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)【2012，21】21设函数（1）
8、求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，求的最大值【解析】（1）函数的定义域为（，+），且当时，在（，+）上是增函数；当时，令，得令，得，所以在上是增函数，令，得，所以在上是减函数，（2）若，则， 所以，故当时，等价于，即当时，（） 令，则由（1）知，函数在单调递增，而，所以在存在唯一的零点故在存在唯一的零点设此零点为，则当时，；当时，所以在的最小值为又由，可得，所以，由于式等价于，故整数的最大值为2【2011，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为（1）求，的值；（2）证明：当，且时，【解析】（1），由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，（2）由（1） 知，所以考虑函数，则所以当时，而，故当时，可得；当时，可得从而当，且时，即