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1、NO.1概率论基本概念一、随机试验1 .确定性现象:必然发生或必然不发生的现象。2 .随机现象:在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象.3 .随机现象的特点：人们通过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量 重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种统计规律性.概率论与数理统计是研 究随机现象统计规律性的一门学科.4 .随机试验：为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需要对随机现象进行 重复观察,我们把对随机现象的观察称为随机试验,并简称为试验，记为E.随机试验具有以下特点：(1)可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；(2)可观察性：试验结果可观察，所有可能的结果是明确的
2、；(3)随机性(不确定性)：每次试验出现的结果事先不能准确预知.，但可以肯 定会出现所有可能结果中的一个.二、样本空间、随机事件.样本点：随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本 点，记作口.1 .样本空间：全体样本点组成的集合称为这个随机试验的样本空间，记为A.(或 S).即/ = q,02, I，例，1.随机事件：我们称试验E的样本空间人的子集为E的随机事件，简称事件， 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性. 一般用A,3,C，等大写字母表示事件.设A为一个事件，当且仅当试验中出 现的样本点gcA时.，称事件4在该次试验中发生.注：要判断一
3、个事件是否在一次试验中发生，只有当该次试验有了结果以后才 能知道.(1)基本领件：仅含一个样本点的随机事件称为基本领件.性质1：假设事件A，4, 1,4相互独立，那么其中任意加(1加()个事件也相互独 立.性质2：假设事件4,4, 1,4相互独立，那么将4,4, 1,4中任意小(1加二力个 事件换成它们的对立事件，所得的几个事件仍相互独立.特别是，假设 4,4,!,4相互独立,那么4,4, 1,4也相互独立.利用多个事件的独立性，可以简化概率的计算.(1)计算个相互独立的事件4,4, 1,4的积的概率，可简化为P(A,4, !,4) = P(A)P(4) 1尸(4)计算个相互独立的事件4,4,
4、1,4 的和的概率，可简化为 np(4 ! 4 !A) =1-riP(A) /=i十三、伯努利概型定理1：(伯努利定理)设在一次试验中，事件A发生的概率为p(0 p 1),那么在 九重伯努利试验中，事件A恰好发生次的概率为尸伏)=C pk Q - py-k ,(Z: = O,1, l,n) .q = -p定理2:设在一次试验中，事件4发生的概率为MOPD，那么在伯努利试验序列中，事件A在第k次试验中才首次发生的概率为pqi仆=1,2, l,q = l-pNO.2随机变量及其分布、随机变量定义设随机试验的样本空间为A,对每个都有一个实数X(与之威， 那么称X(为随机变量.简记为X .随机变量通常
5、用英文大写字母X,y,z或希腊字母等表示。随机变量的取值一般用小写字母光, 乂 2等表示。2随机变量的特征：(1)它是一个变量；(2)它的取值随试验结果而改变； (3)随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件，具有一定的概率。3随机变量的类型离散型：随机变量的所有取值是有限个或可列个连续性：随即变量的取值是某个区间或整个数轴二、离散型随机变量的概率分布1离散型随机变量定义：如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，那么称 X为离散型随机变量.2概率分布定义：设离散型随机变量X的所有可能取值为 M，%, !, 后, ! ， X取各个可能值的概率，即事件X=%的概率为 PX =% = pj,i
6、= l,2, !那么称其为离散型随机变量X的概率分布或分布律.常用表格形式来表示X的概率分布：Xxxx2!xn!PiPlPl!Pn!注：离散型随机变量可完全由其分布律来刻划.即离散型随机变量可完全由它的 可能取值以及取这些值的概率唯一确定.3离散型随机变量分布律的性质 PX=%=p/O,oooo、PX= 3 P&= 14常用离散型随机变量的分布(1)0-1分布或两点分布或伯努利分布.如果随 机变量X的分 布律为PX = 0 = -p , PX= 1=或 尸x =左 = p*(l-p)j (攵= 0,l,0p 1),那么称随机变量X服从参数为p 的0-1分布或两点分布，记作 XA(l, p)(其
7、中0 Vp W 1为参数)(2)二项分布如果随机变量X的分布律为尸X = Z = CpY1-p)(左=。L )那么称随机变量X服从参数为(小 力的二项分布，记作X。(m p)(其中场为自然数，0p0为常数)，那么对任意给定的左，有= ex8k!三、随机变量的分布函数1定义：设X是一个随机变量，称尸(x) = P(X0x)(-00cx+oo)为X的分布函数.注：分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴.在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数左边的概率，对于任意的实数为，区)，有 Px.Xx2=PXx2 -PXxi=F(x2)-F(xi)2分布函数的性质(1)单调非减：假设再，那么FMF(
8、x2);(2)规范性：0F(x)+oo(3)右连续性:即 limF(x) = F(x0).反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是 分布函数的充分必要性质。3离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量X的概率分布为X x2 I xn Pi P P2 ! Pn !那么X的分布函数为尸(x) = P(X4x) = Z P(X) = PiXjXXjX一般地，对离散型随机变量P(X=xQ = Pk(k = 1,2,1)，其分布函数为F(x)=PXx = PXx = PkXkXXkXU!U!I、连续型随机变量及其概率密度1定义：如果对随机变量X的分布函数尸(x),存在非负
9、函数/,使得对于任意实x数x有F(x) = PX 0 ；2 1：/(%)= 130 PxXx ) =F(x)-F(x)= /(%)心1 221 L. 124假设/(%)在点工处连续，那么有八(%)= /(X).3关于概率密度的说明对一个连续型随机变量X，假设其密度函数/,那么根据定义，可求得其分布函数F(x),同时,还可求得X的取值落在任意区间(a,勿上的概率：bPaXh = F(b) - F(a) = f fxdxJa0连续型随机变量X取任一指定值o(%o e R)的概率为0. PX = x0 =0因 PX = % = lim Px -瓯 X x = limr f(x)dx = 0颔-o=
10、J$-x注：概率为0的事件不一定是不可能事件.同样，概率为1的事件也不一定是必 然事件。b从而 PaX b=Pa X b=Pa Xb = PaX /?= /公4 一些常用的连续型随机变量的分布(1)均匀分布* 1 axb1)定义：假设连续型随机变量X的概率密度为了(幻=：匕,那么称X在g 其它区间3,加上服从均匀分布,XU (a,b).分 均匀分布的密度函数满足性质1)/(%)之。2)7(% 心-0ab -a3)均匀分布的分布函数争 0 x a A假设随机变量X服从在a,b上的均匀分布，那么分布函数为方(x)=记一axb.1 b 0,D定义 假设随机变量x的概率密度为/(x)= .力0,那么称
11、x服从匕参数为4的指数分布.简记为X - e(A).2)指数分布的分布函数多 0假设随机变量X服从参数4指数分布，那么X的分布函数为b(x) = x 0(3)正态分布)21)定义：假设随机变量X的概率密度为f(x)=1屋2吸00X00 .其中4和271(7b(b0)都是常数，那么称X服从参数为4和/的正态分布.记为XNQi,(y2),2)正态分布密度函数的图形性质:(1) .曲线关于直线x = 对称，这说明：对于任意的0,有 p/j- hX jLi = PjUX Ll + h )(2).当x = 时，/(x)取至U最大彳直/(4)=(2).当x = 时，/(x)取至U最大彳直/(4)=,工离越
12、远，/(x)的值就越小. 2cr这说明，对于同样长度的区间，当区间离越远时，随机变量X落在该区间 中的概率就越小.(3) .曲线y=x)在x = 土。处有拐点；曲线y=/(x)以。x轴为渐近线.假设。固定，而改变的值，那么/(x)的图形沿x轴平行移动，但不改变其形状 因此=X)图形的位置完全由参数4所确定.假设固定，而改变b的值，由于/（X）的最大值为/（）=，可知1710当o越小时，y = x）图形越陡，因而X落在从附近的概率越大；反之， 当。越大时，y = /（x）的图形越平坦，这说明X的取值越分散.3）正态分布的分布函数:1 呼F（x） = I e 2。由2 兀 crJfF（x）的图形是
13、一条上升且关于点（从1）的曲线2-（4）标准正态分布定义:正态分布当 =0,b=l时称为标准正态分布，此时，其密度函数和分布函数常 “1 X 彳用浜）和（X）表示:9（x） =e 2,= J 6224一8标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化 为标准正态分布.定理1：设xn（4q2）,那么y=xn（o,i）.a定理2：如果XN （乩？）,分布函数尸二“一口，对任意区间a,有 P（QX0） =（一）标准正态分布表的使用：（1）表中给出了 x0时（X）的数值，当x0时，利用正态分布的对称性，有 (X)=l(X)；(2)假设 XN(0,l),那么 PXVb=(与();
14、(3)假设 XN(,b2),那么y=XN(o,l),a故X的分布函数 口 X-品。口口中- 一一 口 X-品。口口中- 一一不Q 一 I 一尸. 。/(x) = PXx=尸* X -九一 一V O o TPaXb=PaYb- 一V oO五、随机变量函数的分布随机变量的函数定义如果存在一个函数g(X),使得随机变量X,y满足:y=g(x),那么称随机变量丫是随机变量x的函数.当X取值%时，丫取值y = g(%)注：，由于x是随机变量，其取值事先不确定，因此丫的取值也不确定，也是 随机变量.本节主要解决的问题是，随机变量x的分布，求其函数 y=g(x)的分布，这里g()是的连续函数.1. x是离散
15、型随机变量求离散型随机变量函数的分布的一种方法：记y的所有可能取值为y,z = l,2, ! 对每个匕来说至少有一个演，使y, =g(z)成立，将所有满足匕=gg)式子中 的及对应的概率p&求和，作为事件Y = y.,i = l,2, 1的概率2. X是连续型随机变量设x的分布函数乙(%)或概率密度函数九(幻,那么随机变量函数y=g(x)的分 布函数可按如下方法求得：(1) .先求y=g(x)的分布函数FY(y) = PY y = Pgy = J fx(x)dxg(x)y.利用y=g(x)的分布函数与密度函数之间的关系求y = g(x)的密度函数 4(y) = (y)4.定理：设随机变量X具有
16、概率密度人(%),%(-8,+00),又设丁 =8(%)处处可导且恒有g)o(或恒有式无)0),那么y = g(x)是一个连续型随机变量,其概率密度为ay(32)=： 0, 其它ay(32)=： 0, 其它其中x = /z(y)是y = g(x)的反函数，且a = min(g(-oo), g(+cc), 0 = max(g(-go), g(+cc).NO.3多维随机变量及其分布一、二维随机变量及分布函数定义1二维随机变量定义:由随机变量x,y构成的有序数(x,y),称(x,y)为二维随机 变量或二维随机向量.注：在几何上，二维随机变量(x,y)可看作平面上的随机点的坐标2联合分布函数定义:设(
17、x,y)是二维随机变量,对任意实数九,丁，二元函数F(x,y) = P(XK%) !(YWy)圮为称为二维随机变量(X,丫)的分布函数或称为随机变量x和丫的联合分布函数.3二元分布函数的几何意义：假设将二维随机变量(x,y)看成是平面上随机点(x,y) 的坐标，那么分布函数f (x,y)就表示随机点(X,y)落在以点(XJ)为顶点的左 下方的无限矩形域内的概率4随机点(x,y)落在矩形区域：再内的概率为PxX x2,ylYy2= F(x2，必)一尸3, %) - 尸(%2，%) + 网2,y)5分布函数F(x, y)的性质(1) 0 F(x, y) x1, F (x2,y) F (xx. y)
18、,对任意固定的 x,当 y2y1, F(x,y2) F(x, yx);(3) F(x, y)关于 x 和 y 均为右连续，即 F(x, y) = F(x + 0, y)9 F(x9 y) = F(x, y + 0).(4)对任意的(尤2，%)，再 %2，%Q（2）Z Pij= 1 3 j4二维离散型随机变量的联合分布函数设二维离散型随机变量（X,y）的联合概率分布为q（i, / = 1, 2, !）于是，（X,Y）的联合分布函数为F（x, y） = PXx, Yy=, 、口 , 、中中班 I x = xY=yjn= Zpx=m, Y=yj =LLPij I I i jU J J注：对离散型随机
19、变量而言,联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观,而且能够更加方便地确定（x,y）取值于任何区域。上的概率，即p（x,y）e0= pu，（xi9yj）eD特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数：(2)必然事件：样本空间人本身也是人的子集，它包含A的所有样本点在 每次试验中A必然发生，称为必然事件.即必然发生的事件.(3)不可能事件：.空集也是人的子集，它不包含任何样本点，在每次 试验中都不可能发生，称为不可能事件.不可能发生的事件是不包含任何样本 点的.三、事件间的关系与运算记号A03KAAuBA = B记号A03KAAuBA = B概率论样本空间，必然事件不可能事件基本领件事件A的对立事
20、件事件A发生导致5发生事件A与事件5相等集合论全集空集元素子集A的余集A是5的子集A与B的相等A ! BABA-BAB = 0A与B的并集A与3的交集A与B的差集A与5没有相同的元素事件A与事件8至少有一个发生事件A与事件5同时发生事件A发生而事件8不发生事件A和事件5互不相容1子事件、包含关系A u 5事件A是事件3的子事件含义：事件A发生必然导致事件3发生,0u4ua2相等事件A= 8:假设事件A发生必然导致事件8发生，且假设事件8发生必然导致事件A发生，即B n A且A nBo A=B注：事件A与事件B含有相同的样本点3和事件或并事件A B = xx e A或x gB ),事件A ! 3
21、是事件A和事件5的和事件Fy) = PXx,Yy=Xjxtyjy三、二维连续型随机变量及其概率密度1定义：设(X,y)为二维随机变量，/(x,y)为其分布函数，假设存在一个非负的二元y x函数y),使对任意实数(羽y),有尸(X,y) = | I /(, u)d4匕那么称(X,y)为二维J-oo Joo连续型随机变量，并称于(x,y)为(X ,丫)的概率密度(密度函数),或X ,y的联合概率密度(联合密度函数).概率密度函数/(%)的性质(2)( f y)dxdy = F(+oo,+oo) = 1; w-oc J-oo0 设G是xOy平面上的区域，点 (X,y)落入G内的概率为P(x,y) G
22、 =jj /(x, y)dxdy0 假设/在点a, y)连续，那么有dxdy3在几何上z =/(x,y)表示空间的一个曲面，P(x,y) G的值等于以G为底,以曲面z=/(x,y)为顶的柱体体积四、二维均匀分布设G是平面上的有界区域，其面积为A .假设二维随机变量(X1)具有概率密度函数A 1Sy)*。，那么称(x,y)在G上服从均匀分布.Jo,其它五、边缘分布定义1边缘分布函数定义：二维随机向量(X,y)作为一个整体，有分布函数月(%, y), 其分量x与y都是随机变量，有各自的分布函数，分别记为4(%),4(y)分别称为X的边缘分布函数和y的边缘分布函数；称(X,y)为的联合分布函数。2边
23、缘分布函数求法二维随机变量(X，的分布函数F(x,y),那么Fx(x) = PX x = PX 00 = lim F(x. y) = F(x, +oo)yf+oo同理 K(y) = Pyy =PX+8,+8故边缘分布函数4(%), K(y)可由(x,y)的分布函数所确定注：x与y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量x或y的分布函数。称其 为边缘分布函数的，是相对于(x,y)的联合分布而言的。同样地，(x,y)的联合分布函数月(%,丁)是相对于(x,y)的分量x与y的分布而 言的。六、离散型随机变量的边缘概率分布.边缘分布函数对于二维离散型随机变量(x ,丫)，其联合概率分布为Px = Xi,
24、Y = yj = P- (z, j = 1, 2, 1),其分布函数为尸(%,y) = ZZP那么它关于X的边缘分布函数为4(x)=/(x，+8)= ZZp，“它关于Y的边缘分 XjX j=co布函数为 Fy(y)=F (+00, y) = 乞 Puz=l y ； yJ J J1 .边缘概率分布随机变量X的概率分布Pj = P X =七 = Z P X = %，y =乃 = P + Pi2 + - + Pij + - = Z Pij Jj同理，随机变量y的分布律为弓=尸 y=力=2尸x=丫=y, = S, Pa ii.联合概率分布求边缘概率分布x以及y的边缘概率分布可由下表表示yy ypXi2
25、j 修AiPn PljPl.X?P21P22 P2JPl.11111 为PilPn PijPi.1 1111 PjPlP? Pj 七、连续型随机变量的边缘概率密度对于二维连续型随机变量(X, 丫)，其联合密度函数为/(x, y)现求随机变量X的边缘密度函数人(x)Fx(x) = PXx =F(x, +oo) = j/(x,-00 W-x上式说明:X是连续型随机变量,且其密度函数为：(%) = 称人为(X,y)关于x的边缘概率分布y 丫+8/同理，由式y) =PYy二/(+8,dyf 0,1 /?|）.如果对于任意的%, y，有 PXdy =PXx尸丫0,那么称随机变量X,y相互独立.注（I）如
26、果随机变量x与y相互独立，那么由R（%,y） = G（%）K（y）可知二维随 机变量（XJ）的联合分布函数F（x,y）可由其边缘分布函数Fx（x） Fr（ y）唯一（2）随机变量X与丫相互独立，实际上是指对任意的x, y,随机事件XWx与yy相互独立.如果（XI）是二维离散型随机变量，其概率分布及边缘概率分布分别为Pu = px = X/ y=% ,Pj.= p x=七（i = 1, 2, 1） p.j = p y = % (7=i, 2, 1),那么随机变量x和y相互独立的充分必要条件是：对(x,y)的 所有可能取值(元，力)均有尸x = %,， y=* = p x = Xi-pY = yj
27、 , V = 1,2, !即 p(j = ppjJ = 1,2, !3 .连续型随机变量相互独立的充要条件如果(x, 丫)是二维连续型随机变量，其概率密度函数/(羽丁)及边缘概率密度 函数九(%)和%(y)在面上除个别点及个别曲线外均连续时，随机变量X和 y相互独立的充分必要条件是：在人(%),人(y)的连续点处都有 于(x, y)=fx(x)fY(y)4 .关于二维随机变量的一些概念，定义1:设X,X2, 1,X“是定义在样本空间。上的个随机变量，那么(X1,X2, 1,X)称为维随机变量.定义2：对于任意个实数%|,%2，%,函数F(xl,x2, I ,xn) = PX1 xx,X2 x2
28、, 1 ,Xa W %”称为维随机变量(X),X2, 1,X)的分布函数或随机变量X1?X2, 1,X”的联合分布函数.定义3:对于维随机变量(Xi，Xz，I,X)的分布函数产，”)，假设存在非负函数/(%,%2，1,%”)使对于任意实数万,2,有F(x ,x , 1,% )=广丁| . f(X ,x , ! ,x )dx dx 办:那么称(X ,X , 1 ,X )为1 2 n J-oJe1 21 2 n 2 n维连续型随机变量，称/区,均为“维连续型随机变量(X,X2, I,X)的 概率密度.定义4:设维随机变量(X,X2，1,X”)的分布函数为F(X,x2, ! ,xn),那么 (X,X
29、2, ! ,XQ的！1 k 0,由条件概率公式可得PX = x y=y=PX = Xi，Y = yj = Pij, i =1J PY = yj P.j上式称为在y=为条件下随机变量x的条件概率分布同样，假设0，PiY=y X=x= Px =xY=yj = PJ, ； =7Z i PX Pj.上式称为在X=xj条件下随机变量X的条件概率分布.1 .条件概率分布具有概率分布的以下特性：1) PX =x,y=当 2。；2)2)“X x |K:=八78tP ij =P.j /=11.2 .条件分布函数定义假设对固定的j,有PY=yj=/0满意X乃)=P X w x y=刃 = Z。X=为y=力Xj0称
30、4x(y X)=PyPx=x, Y=y = P = p, u j Pj PY = yX = x= Pij =p ,o条件分布律=边缘分布律 ji! jPi十一、连续型随机变量的条件分布.设(x,y)是二维连续型随机向量，由对任意,丁有。乂=0 = 0,尸丫=0=。所以不能直接用条件概率公式得到条件分布设(X,y)的概率密度为人和力(y)分别是关于X和y的边缘概率密度.如果在定点y处假设/例)。那么Y(x | j) = /(匕丁)XY启y)称为随机变量X在y = y条件下的条件概率密度F (xy) = PXx Y = y=广/(羽丁几=f 。1)也 xyL 人 L X|r称为随机变量X在y=丁条
31、件下的条件分布函数设(X,y)的概率密度为f(x, y),人和加y)分别是关于x和y的边缘概率密度.如果在定点X处假设山)。那么人3十寿 称为随机变量丫在乂=无条件下的条件概率密度F (yx) = PYWy | X =% = 1 /(x)口 =厂 r (y |x)dy yxL fxM r|X称为随机变量Y在X =x条件下的条件分布函数1 .条件密度函数的性质性质1.对任意的X,有4 y(% y) 2。-4-00性质 2. fXY(xydx= 1-oo简言之，加(力是密度函数对于条件密度函数4x()也有类似的性质2 .性质X 和 Y 相互独立.o/(%, y) = fx (%).万(y) ofx
32、Y(x y)=于x(x)fyx(y I %) = A( y) o条件概率密度=边缘概率密十二、离散型随机变量的函数的分布设(XI)是二维离散型随机变量,其概率分布为PX=xiJ = yj = pij &/ = 1,2, 1),又 g(x,y)是一个二元函数,那么Z = g(X,Y)也是一个一维离散型随机变量，设z = g(x,y)的所有可能取值为Zk,kW 那么Z的 概率分布为PZ = zk = Pg(X,Y) = zk= Z PJ -g(Xi，y=Zk其中 X 片是指假设有一些(4乃)都使g(4匕)= z4，那么将这些(4乃)对应的g(%，yj)=Zk概率相加。十三、连续型随机变量的函数的分
33、布设(X,y)是二维连续型随机向量，其概率密度函数为令g(x,y)为一个二 元连续函数，那么z = g(x,y)是一维连续随机变量，可用类似于求一维随机变量 函数分布的分布函数法来求z=g(x,y)的分布.(1)求分布函数Fz(z)Fz(z) = PZz=PU(X,y)z=JP(X,y)eDz=Jj f(x, y)dxdy.其中，积分区域)z是由My平面内由不等式g(x,y)Vz所确定，即。=(x,y)lg y)z.(2)求概率密度fz0 ,对几乎所有的z,有f7(z)=dFz(z) dz十四、十四、讨论 X和丫的函数Z = X+y&M=maxX,y, N=minX,y的概率分布1 .z =
34、x + y的分布设(x,y)是二维连续型随机向量，其概率密度函数为/但丁),那么z=x+y的分布 = JJ f(x, y)dxdy.函数为 Fz(z) = PZz=PX+ Yz这里积分区域。=(%, y) |% + y Wz是直线% + 丁 = 2左下方的半平面 即 Fz(z) = jj f(x, y)dxdy x+yz/Z丫+8/(x, y)dy = f clu /(x, y )dyg f -oo -00f由概率密度于分布函数的关系，可得z=x+y的概率密度为4-00加z) = /(z)=J f(z-y,y)dy00fz又可写成+8fz(z) = Fz)= X,Z7)公-oc+x+卷积公式：
35、fz(z)=fx * 人=(x) fY(z -x)dx= 人(z y)人(y”y -00-一般，假设X,y相互独立，且XN(4,b2), yn(422),由卷积公式可知 112Z = X+ y仍然服从正态分布且ZN(4i +ka2.这一结论还能推广到个相互独立的正态随机变量之和的情况，即X,N3Q2)(i = L2,，,),且它们相互独立,那么它们的和Z = X +X + 1+X i12n仍然服从正态分布，且有ZN( + + ! +/ ,cr2 +cr2 + ! +cr2) 12n I 2n. M = maxXJ, N = minXJ的分布设随机变量X,y相互独立，其分布函数分别为(%)和3(
36、y),M=maxX,y和N=minX,Y的分布函数分别记为 “，6V由于事件wz = xz,yz,而x,y相互独立，所以事件xz与事件ywz相互独立，由此可得FM(z) = PMz=PXz,Yz=PXzPYz = Xz,yz,而X,y相互独立，所以事件Xz与事件yz相互独立，由此可得Fn(z) = PNz = l-PXz,Yz = -PXzPYz= l-PXz/fll-PYz/j = l-l-Fx(z)l-FY(z)上述结果容易推广到个相互独立的随机变量的情况，设X”X2, 1,X“是几个相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX (x),FXi (x), 1 , FXn (x),那么 M=ma
37、xX,X2, 1,X“的分布函数为Fm =FXi (z)Fx? (z) ! FXn (z)事件A ! 3发生=事件A发生或事件3发生今事件A与3至少有一个发生称”4为个事件A，4，1，4的和事件k = 00称“4为可列个事件4,4,，4, 1的和事件k=4积事件或交事件A B = xx A且x eB,事件A 5是事件A与事件5的积事件事件A 3发生o事件A与事件B同时发生积事件A 6可简记为A6n称“4为个事件4 4, 1, 4的积事件k = 00称4为可列个事件A，4, 1,4, 1的积事件.k=5事件的差A-B=A且xe B,事件A - 8称为事件A与事件3的差事件事件A - B发生。事件A发生而事件3不发生.注：A-B = A-AB6互斥或互不相容A 3 =那么称事件A与事件3是互不相容的，或互斥的.A 3 =o事件A和随机B不能同时发生.注：任一个随机试验现勺基本领件都是两两互不相容的.推广:设事件A，4