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1、-第 1 页高中数学题库古典概型与几何概型-第 2 页15（2017江西新余一中、宜春一中高三联考）把半径为 2 的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为 2 的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为_41_6.（2017 江西新余一中高三调研一）已知圆22:20C xyx,在圆C中任取一点P,则点P的横坐标小于1的概率为（）A14B12C2D以上都不对6.B【解析】将2220 xyx配方得22(1)1xy,故 C(1,0)，所以在圆内且横坐标小于 1 的点的集合恰为一个半圆面，所以所求的概率为12.8.（2017江西吉安一中高三月考一）已知函数 cos6xf x，集合1,2
2、,3,4,5,6,7,8,9M，现在从M中任取两个不同的元素,m n，则 0f mf n 的概率为（A）A512B712C718D794.（2017江西赣中南五校高三测试一）墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（A）A.B.C.D.与a的取值有关（2017江西高三调研一）10（2017吉林吉化一中高三检测）在区间0，2 上随机取一个数 x，使得 0tan x1 成立的概率是()A18B13C12D23.（2017湖南师大附中高三月考一）有一长、
3、宽分别为50,30mm的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出15 2m，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是（B）-第 3 页A34B38C316D12332（2017湖南长沙长郡中学高三周测）4.（2017湖南长沙长郡中学高三入学考试）分别在区间1,6和1,4内任取一个实数，依次记为m和n，则mn的概率为（A）A710B310C35D25（2017湖南长沙长郡中学高三周测）A9.（2017湖南长沙长郡中学高三入学考试）若不等式组1010102xyxyy 表示的区域，不等式2211()2
4、4xy表示的区域为，向区域均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域中芝麻约为（A）A114B10C150D507.（2017湖南双峰一中高三月考一）在区间上随机取两个实数yx,，得82yx的概率为（）A41B163C169D43【答案】D12.（2017湖南衡阳八中、永州四中高三联考一）文科文科 在不等式组，所表示的平面区域内随机地取一点 M，则点 M 恰好落在第二象限的概率为（）ABCD【答案】B18（2017江西九江一中高三测试）（本小题满分 12 分）已知函数abxaxxf2)(2（,a bR）（）若a从集合0,1,2,3中任取一个元素，b从集合0,1,2,3中任取一个元素，求方程()0f
5、 x 有有实根的概率；（）若b从区间0,2中任取一个数，a从区间0,3中任取一个数，求方程()0f x 没没-第 4 页有有实根的概率解：（1）ba,取值情况是：其中第一数表示a的取值，第二数表示b的取值即基本事件总数为 162 分设“方程()0f x 恰有两个不相等实根”为事件A，当0,0ba时，“方程()0f x 恰有两个不相等实根”即为“ab 或0a”于是此时ba,取值情况：)3,3(),2,2(),1,1(),3,2(),3,1(),2,1(),3,0(),2,0(),1,0(),0,0(即A包含的基本事件数为 104 分“方程()0f x 恰有两个不相等实根”的概率851610)(A
6、P6 分（2）b从区间2,0中任取一个数，a从区间3,0中任取一个数，则试验的全部结果构成区域20,30),(baba这是一个长方形区域，其面积632S8 分设“方程()0f x 没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为bababa,20,30),(其面积422216MS10分由几何概型的概率计算公式可得：“方程()0f x 没有实根”的概率3264)(BP12 分8(2017湖北枣阳阳光中学高三质检)在区间0 1，上随机取两个数x y，记1p为事件“12xy”的概率，2p为事件“12xy”的概率，则A1212ppB2112ppC2112ppD1212pp8D【解析】试题分析：试题分析：因为
7、0 1x y，对事件“12xy”，如图（1）阴影部分1S，对为事件“12xy”，如图（2）阴影部分2S，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是1212SS，正方形的面积为1 11，根据几何概型公式可得1212pp故选 D考点：几何概型-第 5 页【名师点睛】本题考查几何概型概率问题，解题关键是确定平面区域及其面积与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题(2017湖北枣阳鹿头中学高三月考)从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率为_
8、143136(2017湖北枣阳鹿头中学高三月考)在不等式组02,02xy所表示的平面区域内任取一点P，若点 P 的坐标(x,y)满足ykx的概率为34，则实数 k()(A)4(B)2(C)23(D)126D【解析】试题分析：在平面直角坐标系上画出不等式组02,02xy所表示的平面区域，区域的面积为4，过原点作直线ykx，可以从选择之中选取一个k值，在正方形内使直线上方的面积为S，且3443S，恰好选择D.17(2017湖北枣阳高级中学高三月考)（本题 12 分）掷两枚骰子，求所得的点数之和为6 的概率17点数之和为 6”的概率为 P=536【解析】以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和
9、2 只有(1，1)，而点数之和为 6 有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共 5 种事实上，掷两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为 6”的概率为 P=5369(2017湖北枣阳期中高三开学测试)在区间,2 2 上随机取一个x，sin x的值介于12与12之间的概率为（）(A)13(B)2(C)12(D)23-第 6 页【解析】试题分析：在区间,2 2 上随机取一个x，试验结果构成的长度为，当,6 6x ，sin x的值介于12与12之间，长度为3，有几何概型的概率计算公式当133P.考点：几何概型的概率计算公式.6(2017 湖北利川一中高
10、三月考)如图，矩形长为 6,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为A 3.84B.4.84C.8.16D.9.16C5.(2017湖北重点中学高三起点考试)先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（).A.121B.61C.41D.31C(2017河南中原名校高三质检一)13.13.(2017河北石家庄高三摸底)E E 为正方形为正方形 ABCDABCD 内一点，则内一点，则AEB为钝角的概率为钝角的概率是是。10.10.(2017 河北石家庄高三摸底)如图所示如图所示，在一个边长为在一个
11、边长为 1 1 的正方形的正方形 AOBCAOBC 内内，曲线曲线3xy（x0 x0）和曲线）和曲线xy 围城一个叶形图（阴影部分围城一个叶形图（阴影部分），向正方形，向正方形 AOBCAOBC 内随机投一点（该点内随机投一点（该点落在正方形落在正方形 AOBCAOBC 内任何一点是等可能的内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是，则所投的点落在叶形图内部的概率是A.A.125B.B.61C.C.41D.D.317.(2017 河北邯郸高三一模)已知等差数列已知等差数列 na的前的前n项和为项和为nS，且且120a ，在区间在区间3,5内任取一个实数作为数列内任取一个实数作为数
12、列 na的公差，则的公差，则nS的最小值仅为的最小值仅为6S的概率为的概率为-第 7 页A.15B.16C.314D.13(2017广西柳州铁一中学联考二)在一个盒子中有分别标有数字 1，2，3，4 的 4 张卡片，现从中一次取出 2 张卡片，则取到的卡片上的数字之和为 5 的概率是5.(2017广东汕金山中学高三摸底)在平面区域,01 12x yxy，内随机投入一点P，则点P的坐标,x y满足2yx的概率为（）A.34B.12C.23D.14D8(2017广东汕金山中学高三摸底)已知函数 2cos2g xx，若在区间0,上随机取一个数x，则事件“3g x”发生的概率为（）A14B13C16D
13、23C14(2017 广东实验中学高三月考)某学校准备从 4 名男同学和 2 名女同学中选出 2 人代表学校参加数学竞赛,则有女同学被选中的概率是_.(2017安徽江淮十校高三联考一)(2017安徽江淮十校高三联考一)8.(2017山东潍坊中学高三开学测试)1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，则从 2 号箱取出红球的概率是（）A1127B1124C1627D924【答案】A-第 8 页6(2017江西新余一中、宜春一中高三联考)袋中共有 6 个大小质地完全相同的小球，其中有
14、2 个红球、1 个白球和 3 个黑球，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为（）A34B25C35D45【答案】D【解析】试题分析：由题意2326415CPC 故选 D考点：古典概型，互斥事件的概率【名师点睛】对含“至少”、“至多”等的概率问题，可以用分类加法原理求事件数，用古典概型概率公式求解，也可以从反面入手本题直接做就是1123332645C CCPC，从反面入手就是“至少有 1 个黑球”的反面“没有黑球”，没有黑球概率为232615CC，因此至少有有一个黑球的概率为1415515(2017江西新余一中、宜春一中高三联考)把半径为 2 的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为 2
15、的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为_【答案】41【解析】试题分析：圆的面积为224S，星形面积为2211(22)41644S，所以所求概率为1164414SPS考点：几何概型【名师点睛】几何概型的常见类型的判断方法1与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；2与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将-第 9 页两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；3与体积有关的几何概型对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于
16、某些较复杂的也可利用其对立事件去求9.(2017湖南长郡中学高三开学测试)若不等式组1010102xyxyy 表示的区域，不等式2211()24xy表示的区域为，向区域均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域中芝麻约为（）A114B10C150D50【答案】A【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域内的概率为23111132422221336322P，所以落在区域中芝麻约为3236011436,故选 A.考点：1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通
17、过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.4.(2017湖南长郡中学高三开学测试)分别在区间1,6和1,4内任取一个实数，依次记为m和n，则mn的概率为（）A710B310C35D25【答案】A8.(2017湖南长郡中学高三开学测试)如图，设D是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域，-第 10 页E是D内位于函数1(0)yxx图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）Aln22B1 ln22C1 ln22D2ln22【答案】C【解析】试
18、题分析：如下图所示，四边形OABC的面积1 22S ，阴影部分的面积可分为两部分，一部分是四边形OEDC的面积11212S，另一部分是曲边梯形的面积11121221lnln2Sdxxx，所以点M来自E内的概率为121 ln22SSPS，故选 C.考点：1.几何概型；2.积分的几何意义.【名师点睛】本题考查几何概型、积分的几何意义，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过积分运算来完成的，把积分运算与几何概型有机的结合在一起是本本题的亮点.3.(2017
19、 湖南长郡中学高三摸底)抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为 6 的概率等于（）A118B19C16D536【答案】B【解析】试题分析：基本事件36种，符合题意的为 1,6,6,1,2,3,3,2共四种，故概率为19.4.(2017湖南益阳高三调研)从一个边长为 2 的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这 7 个点中任取两个点，则这两点间的距离小于 1 的概率是（）A17B37C47D67【答案】A【解析】-第 11 页试题分析：这 7 个点中只有中心到三边中点的距离小于 1，因此所求概率为27317PC 故选 A9.(2017湖北黄石高三 9 月调研)假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上
20、 6：00-7：00 之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上 6：30-7：30 之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）A18B58C12D78【答案】D【解析】试题分析：由题意得所求概率测度为面积，已知011322xy，求使得xy的概率，即为111172221 18(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有
21、限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率(2017贵州遵义南白中学高三联考一)8.在区间0,上随机地取一个数x,则事件“1sin2x”发生的概率为（）A34B23C12D13【答案】D【解析】试题分析：50,66x时，1sin2x，故概率为133.-第 12 页(2017 广东惠州高三调研一)2（15）已知2x，2y，点P的坐标为(,)x y，当,x yR时，点P满足22(2)(2)4xy的概率为.【答案】16考点：几何概型【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解
22、(2017广东珠海 9 月摸底)13.4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为A.13B12C23D34【答案】C【解析】试题分析：从这 4 张卡片中随机抽取 2 张共有种抽取方法，其中 2 张卡片上的数字之和为奇数有 12,14,32,34 共 4 种抽法，因此所求概率为4263P 故选4.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为A.151B.52C.158D.54【答案】C.-第 13 页(2017安徽六安一中高三月考一)若不
23、等式组101010.2xyxyy 表示的区域，不等式2211()24xy表示的区域为，向区域均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域中芝麻数为（）A150B114C70D50【答案】B【解析】试题分析：作出平面区域，如图所示，则区域的面积为1393224ABCS，区域表示 以1(,0)2D为 圆 心，以12为 半 径 的 圆，则 区 域和的 公 共 面 积 为22311131()()4222168S，所以芝麻落入区域的概率为3236ABCSS，所以落在区域中的芝麻数约为32360302011436，故选 B.(2017湖北黄石高三 9 月调研)（本小题满分 12 分）某校 100 名学生期中考试
24、数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组50 60，60 70，70 80，80 90，900，10（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分；（3）现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取 2 名，求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率？【答案】（1）0.005a（2）74.5（3）13-第 14 页55 565 3575 3085 295 1074.5100 （3）由分层抽样法得第 3、4、5 组中各抽取 3、2、1 人，利用枚
25、举法得随机抽取 2 名，共有 15 个基本事件，其中恰有 1 人分数不低于 90 分的基本事件有 5 个，因此概率为 51153P A 试题解析：（1）由题意得：0.0100.0200.0300.035101a，即0.005a 4 分（2）数学成绩的平均分为：55 565 3575 3085 295 1074.5100 8分（3）第 3、4、5 组中共有学生人数分别为 30、20、10 人，用分层抽样法抽 6 人，即在第3、4、5 组中各抽取 3、2、1 人，设 6 名学生为abcdef、随机抽 2 人，共有abacadaeafbcbdbebfcdcecfdedfef、共 15 个基本事件，其
26、中恰有 1 人分数不低于 90 分的基本事件有afbfcfdfef、5 个，记其中恰有 1 人分数不低于 90 分为事件A，51153P A 12 分20(2017湖南益阳高三调研)名同学参加某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（）求频率分布直方图中a的值；（）分别求出成绩落在50,60)，60,70)中的学生人数；（）从成绩在50,70)的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在60,70)中的概率.【答案】（）0.005；（）落在50,60)中的学生人数为 2，落在60,70)中的学生人数,3；（）310【解析】试题解析：（）据直方图知组距为 10，由-第 15 页(236
27、72)101aaaaa，解得10.005200a.3 分（）成绩落在50,60)中的学生人数为2 0.005 10 202，成绩落在60,70)中的学生人数为3 0.005 10 203.7 分（）记成绩落在50,60)中的 2 人为1A，2A，成绩落在60,70)中的 3 人为1B、2B、3B，则从成绩在50,70)的学生中选 2 人的基本事件共有 10 个：12(,)A A，11(,)A B，12(,)A B，13(,)A B，21(,)A B，22(,)A B，23(,)A B，12(,)B B，13(,)B B，23(,)B B.9 分其中 2 人的成绩都在60,70)中的基本事件有
28、3 个：12(,)B B，13(,)B B，23(,)B B.11 分故所求概率为310P.12 分19.(2017湖南长郡中学高三开学测试)（本小题满分 12 分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p的值和频率分布直方图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在10,15)和25,30)的人中共抽取 6 人，再从这 6 人中选 2 人，求 2 人服务次数都在10,15)
29、的概率.【答案】(1)0.625,0.075np,0.125a，中位数为17；（2）23.试题解析：（1）因200.25M，所以80M，所以500.62580n，中位数位于区间15,20)，设中位数为(15)x，则0.1250.25x，所以2x，所以学生参加社区服务区次数的中位数为 17 次.（2）由题意知样本服务次数在10,15)有 20 人，样本服务次数在25,30)有 4 人，如果用分层抽样的方法从样本服务次数在10,15)和25,30)的人中共抽取 6 人，则抽取的-第 16 页服务次数在10,15)和25,30)的人数分别为：206524和46124.记服务次数在10,15)为123
30、45,a a a a a，在25,30)的为b.从已抽取的 6 人任选两人的所有可能为：3534545(,),(,),(,),(,),(,),a aa ba aa ba b共 15 种，设“2 人服务次数都在10,15)”为事件A，则事件A包括共 10 种，所有102()153P A.考点：1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型.18(2017桂林十八中高三月考一)（本小题满分 12 分）体育课上，某老师对高一（1）班50名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20与70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：20,30，第二组：30,40，第五组：60,70），并绘制
31、成如右图所示的频率分布直方图（）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出2名同学进行搭档，求至少有一名同学在第一组的概率解析】（）第四组的人数为10.0040.0080.0160.04105016，中位数为400.50.0040.016100.0447.5分（）据题意，第一组有0.004 10 50=2人，第五组有0.008 10 50=4人，记第一组成绩为,A B,第五组成绩为,a b c d，则可能构成的基本事件有 ,A aA bA cA dB aB bB cB dA B ,a ba ca db cb dc d共15种,8 分其中至少有
32、一名是第一组的有 ,A aA bA cA dB aB bB cB dA B共9种,10 分概率93155P 12 分-第 17 页(2017河南中原名校高三质检一)18(2017湖北宜城一中高三月考)（本题 12 分）已知 P：Rx且0322 xx，已知：Rx且032xx（）在区间（4,4）上任取一个实数 x，求命题“且”为真的概率；（）设 在 数 对ba,中，真PZxa|，真QZxb|，求“事 件真或QPxab|”发生的概率.（）在区间（4,4）上任取一个实数 x，命题“且”为真的概率83p（）事件“真或QPxab|”发生的概率431292p解：（）真)0322Rxxx（13x；真 Rxxx
33、Rxxx,032,03232x；“且”真真真且QP32,13xx12x区间4,4的长度为，区间1,2的长度为，故在区间（4,4）上任取一个实数 x，命题“且”为真的概率83p 6 分（）在（）的基础上易知,012、a,2101、b，则基本事件ba,共有 12个：（2,1）,（2,0），（2,1），（2,2），（1,1），（1,0），（1,1），（1,2），（0,1），（0,0），（0,1），（0,2）“或”真真或真33x，符合真或QPxab|的基本事件为：（2,1）,（2,0），（1,1），（1,0），（11），（0,1），（0,0），（0,1），（0,2），共个故事件“真或QPxab|”发生的概率431292p