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1、-高中数学知识大纲-第 8 页1.集(hexie)合（set）1.1集(hexie)合的阶，集(hexie)合之间的关系。1.2集(hexie)合的分划1.3子集，子集族1.4容斥原理2.函数（function）2.1函数的定义域、值域2.2函数的性质2.2.1单调性2.2.2奇偶性2.2.3周期性2.2.4凹凸性2.2.5连续性2.2.6可导性2.2.7有界性2.2.8收敛性2.3初等函数2.3.1一次、二次、三次函数2.3.2幂函数2.3.3双勾函数2.3.4指数、对数函数2.4函数的迭代2.5函数方程3.三角函数（trigonometric function）3.1三角函数图像与性质3.
2、2三角函数运算3.3三角恒等式、不等式、最值3.4正弦、余弦定理3.5反三角函数3.6三角方程4.向量（vector）4.1向量的运算4.2向量的坐标表示，数量积5.数列（sequence）5.1数列通项公式求解5.1.1换元法5.1.2特征根法5.1.3不动点法，迭代法5.1.4数学归纳法，递归法6 不等式（inequality）6.1解不等式6.2重要不等式6.2.1均值不等式6.2.2柯西不等式6.2.3排序不等式6.2.4契比雪夫不等式6.2.5赫尔德不等式6.2.6权方和不等式6.2.7幂平均不等式6.2.8琴生不等式6.2.9 Schur不等式6.2.10嵌入不等式6.2.11卡尔
3、松不等式6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式6.3.2调整法6.3.3归纳法6.3.4切线法6.3.5展开法6.3.6局部法6.3.7反证法6.3.8其他7.解析几何（analytic geometry）7.1直线与二次曲线方程7.2直线与二次曲线性质7.3参数方程7.4极坐标系8立体几何（solid geometry）8.1空间中元素位置关系8.2空间中距离和角的计算8.3棱柱，棱锥，四面体性质8.4体积，表面积8.5球，球面8.6三面角8.7空间向量9. 排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability）9.1排列组合的基本公
4、式9.1.1加法、乘法原理9.1.2无重复的排列组合9.1.3可重复的排列组合9.1.4圆排列、项链排列9.1.5一类不定方程非负整数解的个数9.1.6错位排列数9.1.7 Fibonacci数9.1.8 Catalan数9.2计数方法9.2.1映射法9.2.2容斥原理9.2.3递推法9.2.4折线法9.2.5算两次法9.2.6母函数法9.3证明组合恒等式的方法9.3.1 Abel法9.3.2算子方法9.3.3组合模型法9.3.4归纳与递推方法9.3.5母函数法9.3.6组合互逆公式9.4二项式定理9.5概率9.5.1独立事件概率9.5.2互逆事件概率9.5.3条件概率9.5.4全概率公式，贝
5、叶斯公式9.5.5现代概率，几何概率9.6数学期望10.极限，导数（limits, derivatives）10.1极限定义，求法10.2导数定义，求法10.3导数的应用10.3.1判断单调性10.3.2求最值10.3.3判断凹凸性10.4洛比达法则10.5偏导数11. 复数（complex numbers）11.1复数概念及基本运算11.2复数的几个形式11.2.1复数的代数形式11.2.2复数的三角形式11.2.3复数的指数形式11.2.4复数的几何形式11.3复数的几何意义，复平面11.4复数与三角，复数与方程11.5单位根及应用12.平面几何（plane geometry）12.1几个
6、重要的平面几何定理12.1.1梅勒劳斯定理12.1.2塞瓦定理12.1.3托勒密定理12.1.4西姆松定理12.1.5斯特瓦尔特定理12.1.6张角定理12.1.7欧拉定理12.1.8九点圆定理12.2圆幂，根轴12.3三角形的巧合点12.3.1内心12.3.2外心12.3.3重心12.3.4垂心12.3.5旁心12.3.6费马点12.4调和点列12.5圆内接调和四边形12.6几何变换12.6.1平移变换12.6.2旋转变换12.6.3位似变换12.6.4对称变换（反射变换）12.6.5反演变换12.6.6配极变换12.7几何不等式12.8平面几何常用方法12.8.1纯几何方法12.8.2三角
7、法12.8.3解析法12.8.4复数法12.8.5向量法12.8.6面积法13.多项式（polynomials）13.1多项式恒等定理13.2多项式的根及应用13.2.1韦达定理13.2.2虚根成对原理13.3多项式的整除，互质13.4拉格朗日插值多项式13.5差分多项式13.6牛顿公式13.7单位根13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematical induction）14.1第一数学归纳法14.2第二数学归纳法14.3螺旋归纳法14.4跳跃归纳法14.5反向归纳法14.6最小数原理15. 初等数论（elementary number theory）15.1整数，整除
8、15.2同余15.3素数，合数15.4算术基本定理15.5费马小定理，欧拉定理15.6拉格朗日定理，威尔逊定理15.7裴蜀定理15.8平方数15.9中国剩余定理15.10高斯函数15.11指数，阶，原根15.12二次剩余理论15.12.1二次剩余定理及性质15.12.2 Legendre符号15.12.3 Gauss二次互反律15.13不定方程15.13.1不定方程解法15.13.1.1同余法15.13.1.2构造法15.13.1.3无穷递降法15.13.1.4反证法15.13.1.5不等式估计法15.13.1.6配方法，因式分解法15.13.2重要不定方程15.13.2.1一次不定方程（组）
9、15.13.2.2勾股方程15.13.2.3 Pell方程15.14 p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics）16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）16.3存在性问题16.4组合极值问题16.5操作变换，对策问题16.6组合几何16.6.1凸包16.6.2覆盖16.6.3分割16.6.4整点16.7图论16.7.1图的定义，性质16.7.2简单图，连通图16.7.3完全图，树16.7.4二部图，k部图16.7.5托兰定理16.7.6染色与拉姆塞问题16.7.7欧拉与哈密顿问题16.7.8有向图，竞赛图16.8组合方法16.
10、8.1映射法，对应法，枚举法16.8.2算两次法16.8.3递推法16.8.4抽屉原理16.8.5极端原理16.8.6容斥原理16.8.7平均值原理16.8.8介值原理16.8.9母函数法16.8.10染色方法16.8.11赋值法16.8.12不变量法16.8.13反证法16.8.14构造法16.8.15数学归纳法16.8.16调整法16.8.17最小数原理16.8.18组合计数法17.其他（others） （了解即可，不作要求）17.1微积分，泰勒展开17.2矩阵，行列式17.3空间解析几何17.4连分数17.5级数，p级数，调和级数，幂级数17.6其他奥赛经典（几何，代数，组合，数论问题） 沈文选等 编 湖南师范大学出版社高中竞赛数学教程 刘诗雄，熊斌 编 武汉大学出版社数学奥林匹克小丛书（共计16本） 华东师范大学出版社初等数论 潘承洞，潘承彪 编 北京大学出版社数学奥林匹克命题人讲座 单壿 主编 上海科技教育出版社