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1、黄冈市2017年秋季高三年级期末考试 数 学 试 题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题 共60分）一、 选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设z= ,f(x)=x2-x+1,则f(z)= ( ) A.i B.-i 2.已知集合M=y|y=,x3,N=x|x2+2x-30,则MN= ( ) A.-3,1 B.-2,1 C.-3,-2 D.-2,33.设等差数列an的前n项的和为Sn,且S13=52,则a4+a8+a9= ( ) A.8 B.12 (a0,b0)
2、的渐近线与圆x2+(y-2)2= 3相切,则双曲线的离心率为( ) A. B. C.5.从图中所示的矩形OABC区域内任取一点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为 ( ) A. B. C. D.6.函数y= 的大致图象是 ()7.已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(8)m,设从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为t，s，共可得到lg tlg s的不同值的个数是m,则f(2 018)的值为()A.15 B.-16 C.-17 D.188.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B.C. D. 9.若ab1,-1c0, 则( )c
3、bac B.acbc C.a10.执行右面的程序框图，如果输入的x-1，4，则输出的y属于 ( )A.-2,5 B.-2,3)C.-3,5)D.-3,5 11.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,其准线与双曲线-x2=1相交于M,N两点,若MNF为直角三角形,其中F为直角顶点,则p= ( ) B. 12.若函数f(x)= - x- cos2x+m(sinx-cosx)在(-,+)上单调递减，则m的取值范围是( )A.-, B.- , C.-, D.-,第卷（非选择题 共90分）（本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23 题为选考题，考生根据
4、要求作答）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在题中的横线上）13.设向量=(-1,2),=(1,m)(m0),且(+)(-)=|2-|2,则抛物线y2=-2mx的焦点坐标是_.14.设(1-ax)2018=a0+a1x+a2x2+a2018x2018,若a1+2a2+3a3+2018a2018=2018a(a0),则实数a=_.15.设等比数列an满足an0,且a1+a3= ,a2+a4= ,则的最小值为_.16.中国古代数学名著九章算术中的“引葭赴岸”是一道名题。根据该问题我们拓展改编一题：今有边长为12 尺的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为2尺，将芦苇牵
5、引向池岸，恰巧与水岸齐接。如图，记正方形水池的剖面图为矩形ABCD,芦苇根部O为池底AB的中点,顶端为P(注:芦苇与水面垂直),在牵引顶端P向水岸边点D的过程中，当芦苇经过DF的三等分点E（靠近D点）时，设芦苇的顶端为Q,则点Q在水面上的投影离水岸边点D的距离为_尺.（注： 2.236, ）三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本题满分10分) 已知集合A x |1，Bx|log3(xa)1，若xA是xB的必要不充分条件，求实数a的取值范围18.(本题满分12分)如图，在锐角ABC中，D为BC边的中点，且AC=,AD=,0为ABC外接圆的圆
6、心，且cosBOC= - .(1)求sinBAC的值; (2)求ABC的面积. 19.(本题满分12分)设同时满足条件：bnbn22bn1；bnM(nN*，M是常数)的无穷数列bn叫“欧拉”数列已知数列an的前n项和Sn满足(a1)Sna (an1)(a为常数，且a0，a1)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn1，若数列bn为等比数列，求a的值，并证明数列为“欧拉”数列20.(本题满分12分)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用
7、寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示.(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率(3)从这两种品牌产品中,抽取寿命超过300小时的产品3个,设随机变量X表示抽取的产品是甲品牌的产品个数,求X的分布列与数学期望值. 21.(本题满分12分)如图,椭圆C1:(ab0)的离心率为,抛物线C2:y=-x2+2截x轴所得的线段长等于2与y轴的交点为M，过点P(0,1)作直线l与C2相交于点A，B,直线MA，MB分别与C1相交于D、E. (1)求证:为定值; (2)设MAB,MDE的面
8、积分别为S1、S2,若S1=2S2(0),求的取值范围.22.(本题满分12分)已知f(x)= (a0,且a为常数). (1)求f(x)的单调区间； (2)若a=,在区间(1,+)内，存在x1,x2,且x1x2时，使不等式|f(x1)-f(x2)|k|lnx1-lnx2|成立，求k的取值范围.黄冈市2017年秋季高三年级期末考试 数 学 试 题（理科）参考答案一、选择题 ACBBB CDBDD AB9.D 【解析】-1c0得0|c|1,又ab1, 0, -0, ab10,-a-b, 即ba.故选D.11.A 【解析】y2=2px的准线为x=- ,代入双曲线方程-x2=1解得 y=,由双曲线的对
9、称性知MNF为等腰直角三角形,FMN=, tanFMN= =1,p2=3+,即p=2,故选A.12.B【解析】f(x)= - x- cos2x+m(sinx-cosx)在(-,+)上单调递减知,f(x)= - + sin2x+m(cosx+sinx)0在(-,+)上恒成立,令t=sinx+cosx,t-,.则sin2x=t2-1,即t2+mt-10对t-,恒成立,构造函数g(t)= t2+mt-1,则g(t)的图象开口向上，从而函数g(t)在区间-,上的最大值只能为端点值,故只需-m,故选B.二、填空题13.32 14.2 15.-10 16. 14.2 【解析】(1-ax)2018=a0+a
10、1x+a2x2+a2018x2018两边同时对x求导得2018(1-ax)2017(-a)=a1+2a2x+3a3x2+2018a2018x2017,令x=1得-2018a(1-a)2017=a1+2a2+3a3+2018a2018=2018a,又a0,所以(1-a)2017=-1,1-a=-1,故a=2.答案:2.15.-10【解析】本题考查等比数列的性质及等差数列求和公式.由于an是正项等比数列，设an=a1qn-1，其中a1是首项，q是公比 则,解得 .故an=2n-5,= =(-4)+(-3)+(n-5)= n(n-9)= (n-)2- ,当n=4或5时, 取最小值-10. 解析:设水
11、深为x尺，则x2+62 =（x+2)2，解得，x=8 .水深为8 尺，芦苇长为10 尺，以AB 所在的直线为x 轴，芦苇所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系,在牵引过程中， P的轨迹是以O为圆心，半径为10 的圆弧，其方程为x2 +y2=100（6x6，8y10），E点的坐标为(- 4,8)，OE所在的直线方程为 y=- 2x，设Q点坐标为(x,y),由联立解得 x=-2,DG=6-2 故.三、解答题17. 解析：由1，得x2x60，解得x2或x3，故Ax| x2或x3 .3分由log3(xa)1，得x+a3故Bx|x3a5分由题意，可知BA，所以3a2或3a3，8分解得a5或a0
12、.10分18.解:(1)由题设知BOC=2BAC,1分cosBOC=cos2BAC=1-2sin2BAC= - 3分sin2BAC= ,sinBAC= .5分(2)延长AD至E,使AE=2AD,连接BE,CE,则四边形ABEC为平行四边形,CE=AB.6分 在ACE中,AE=2AD=,AC=,ACE=-BAC,cosACE=-cosBAC=- .7分 由余弦定理得,AE2=AC2+CE2-2ACCEcosACE, 即()2=()2+CE2-2CE(-),解得CE=2,AB=CE=2, 9分SABC=ABACsinBAC=2=.12分19.解：(1)由(a1)Sna (an1)得,S1(a11)
13、a1，所以a1a.2分当n2时，anSnSn1(anan1)，整理得a，4分即数列an是以a为首项，a为公比的等比数列所以ana an1an.6分(2)由(1)知，bn1，由数列bn是等比数列，则bb1b3，故22，解得a，9分再将a代入式得bn2n，故数列bn为等比数列，且a.由于+=+2=2 = 2，满足条件；由于，故存在M满足条件.故数列为“欧拉”数列12分20. 解: (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.(3分)(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有220210430个，其中乙品牌产品是210个，所以在样本中，
14、寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为.(7分) (3)由题意知X可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)= ,P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = .(9分)X0123P X的分布列为 故E(X)= 0+1+2+3= .(12分)21. 解:(1)由题设得b=2,(b0),b=2,又e= =,c2=a2=a2-4,解得a2=9. 因此椭圆C1和方程为+ 2的方程为y=-x2+2,得M(0,2).(2分) 设直线l的方程为 y=kx+1(k存在),A(x1,y1),B(x2,y2).于是.由消去y得
15、x2+kx-1=0,(3分) =(x1,y1-2)(x2,y2-2)=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+1-2)(kx2+1-2)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1,将代入上式得=-1-k2+k2+1=0(定值).(5分)(2)由(1)知,MAMB,MAB和MDE均为直角三角形,设直线MA方程为y=k1x+2,直线MB方程为y=k2x+2,且k1k2=-1,由解得或,A(-k1,-k12+2),同理可得B(-k2,-k22+2),(7分) S1=|MA|MB|= |k1|k2|.(8分) 由解得或,D(,),同理可得E(,),(9分) S2=|MD|ME|= ,
16、(10分) 2= = (4+9k12)(4+9k22)= (16+81k12k22+36k12+36k22)= (97+ 36k12+ ),又0, 故的取值范围是,+)(12分)22.解:(1)f(x)= (a0,且a为常数),f(x)= = - .(1分)若a0时,当 0x1, f(x)0;当x1时, f(x)0. 即a0时,函数f(x)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).(3分) 若a0时,当 0x1, f(x)0;当x1时, f(x)0. 即a0时,函数f(x)单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).(5分) (2)由(1)知, f(x)= 在区间(1,+)上单调递减,不妨设x2x11,则f(x1)f(x2), 不等式|f(x1)-f(x2)|k|lnx1-lnx2|可化为f(x1)-f(x2)k(lnx2-lnx1).(8分) 即f(x1)+kx1f(x2)+kx2,令F(x)=f(x)+klnx,则F(x)在区间(1,+)上存在单调递减区间， F(x)= f(x)+ =+= 0有解，即kxlnx(x1), k有解,令G(x)= ,则G(x)= ，由G(x)=0得x=e,(10分)当x(1,e)时，G(x)0,G(x)单调递增;当x(e,+)时, G(x)0,G(x)单调递减.G(x)max=G(e)= ,故k.(12分)- 10 -