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1、优化设计约束优化方法优化设计约束优化方法1 1根据约束条件的不同，优化问题可以分为三种类型，其根据约束条件的不同，优化问题可以分为三种类型，其数学模型分别为：数学模型分别为：1、不等式约束优化问题（、不等式约束优化问题（IP型）型）第一节 约束优化方法概述2 2、等式约束优化问题（、等式约束优化问题（、等式约束优化问题（、等式约束优化问题（EPEP型）型）型）型）3 3、一般约束优化问题（、一般约束优化问题（、一般约束优化问题（、一般约束优化问题（GPGP型型型型）求解上述模型的方法即求解上述模型的方法即求解上述模型的方法即求解上述模型的方法即约束约束约束约束优化方法优化方法优化方法优化方法。
2、包括直接解法、间接解法包括直接解法、间接解法包括直接解法、间接解法包括直接解法、间接解法3 3 3 3、求解过程、求解过程、求解过程、求解过程对对对对构构构构成成成成的的的的新新新新目目目目标标标标函函函函数数数数进进进进行行行行无无无无约约约约束束束束优优优优化化化化求求求求解解解解；然然然然后后后后改改改改变变变变加加加加权权权权因因因因子子子子，可可可可以以以以不不不不断断断断调调调调整整整整设设设设计计计计点点点点，使使使使其其其其逐逐逐逐步步步步逼逼逼逼近近近近约约约约束束束束边边边边界界界界，从从从从而而而而间间间间接接接接地地地地获得原约束问题的最优解。获得原约束问题的最优解。获
3、得原约束问题的最优解。获得原约束问题的最优解。4 4、相关算法、相关算法、相关算法、相关算法如惩罚函数法、增广乘子法等。如惩罚函数法、增广乘子法等。如惩罚函数法、增广乘子法等。如惩罚函数法、增广乘子法等。5 5、间接法的特点、间接法的特点、间接法的特点、间接法的特点（1 1）算法日益成熟、可靠；）算法日益成熟、可靠；）算法日益成熟、可靠；）算法日益成熟、可靠；（2 2）可以有效处理等式约束问题；）可以有效处理等式约束问题；）可以有效处理等式约束问题；）可以有效处理等式约束问题；（3 3）加权因子的选取困难；）加权因子的选取困难；）加权因子的选取困难；）加权因子的选取困难；其选择影响收敛速度、计
4、算精度及计算的成败。其选择影响收敛速度、计算精度及计算的成败。其选择影响收敛速度、计算精度及计算的成败。其选择影响收敛速度、计算精度及计算的成败。第二节第二节 随机方向法随机方向法 基本思路基本思路基本思路基本思路利利利利用用用用计计计计算算算算机机机机产产产产生生生生的的的的随随随随机机机机数数数数所所所所构构构构成成成成的的的的随随随随机机机机方方方方向向向向进进进进行行行行搜搜搜搜索索索索，产产产产生生生生的新点必须在可行域内，即满足直接法的特性。的新点必须在可行域内，即满足直接法的特性。的新点必须在可行域内，即满足直接法的特性。的新点必须在可行域内，即满足直接法的特性。优点优点优点优点
5、对目标函数的性态无特殊要求；对目标函数的性态无特殊要求；对目标函数的性态无特殊要求；对目标函数的性态无特殊要求；收收收收敛敛敛敛速速速速度度度度较较较较快快快快，是是是是求求求求解解解解小小小小型型型型机机机机械械械械优优优优化化化化问问问问题题题题的的的的一一一一种种种种十十十十分分分分有有有有效效效效的的的的方法。方法。方法。方法。随随随随机机机机方方方方向向向向法法法法，是是是是约约约约束束束束最最最最优优优优化化化化问问问问题题题题的的的的一一一一种种种种常常常常用用用用的的的的直直直直接接接接求求求求解解解解方方方方法法法法。它和随机梯度法等都属于约束随机法。它和随机梯度法等都属于约
6、束随机法。它和随机梯度法等都属于约束随机法。它和随机梯度法等都属于约束随机法。在在在在约约约约束束束束可可可可行行行行域域域域S S内内内内选选选选取取取取一一一一个个个个初初初初始始始始点点点点X X(0)(0)，在在在在不不不不破破破破坏坏坏坏约约约约束束束束的的的的条条条条件件件件下下下下以以以以合合合合适适适适的的的的步步步步长长长长，沿沿沿沿X X(0)(0)点点点点周周周周围围围围几几几几个个个个不不不不同同同同的的的的方方方方向向向向（以以以以某某某某种种种种形形形形式式式式产产产产生生生生的的的的随随随随机机机机方方方方向向向向）进进进进行行行行若若若若干干干干次次次次探探探探
7、索索索索，并并并并计计计计算算算算各各各各方方方方向向向向上上上上等等等等距距距距离离离离（步步步步长长长长 ）点的函数值，找出其中的最小值）点的函数值，找出其中的最小值）点的函数值，找出其中的最小值）点的函数值，找出其中的最小值f f(X(X(l)(l)及点及点及点及点X X(l)(l)。若若若若f f（X X(l)(l)）f f（X X(0)(0)），则则则则继继继继续续续续沿沿沿沿方方方方向向向向（X X(l)(l)-X-X(0)(0)）以以以以适适适适当当当当的的的的步步步步长长长长 向向向向前前前前跨跨跨跨步步步步，得得得得到到到到新新新新点点点点X X(1)(1)，若若若若f f（
8、X X(1)(1)）老老老老f f（X X(l)(l)），则则则则将将将将新的起点移至新的起点移至新的起点移至新的起点移至X X(1)(1)，重复前面过程。，重复前面过程。，重复前面过程。，重复前面过程。否否否否则则则则应应应应缩缩缩缩短短短短步步步步长长长长，直直直直至至至至取取取取得得得得约约约约束束束束好好好好点点点点。如如如如此此此此循循循循环环环环下下下下去去去去。当当当当迭迭迭迭代代代代的的的的步步步步长长长长已已已已经经经经很很很很小小小小时时时时，则则则则表表表表明明明明已已已已经经经经逼逼逼逼近近近近约约约约束束束束最最最最优优优优点点点点。达达达达到到到到计计计计算算算算精
9、度要求时，即可结束迭代计算。精度要求时，即可结束迭代计算。精度要求时，即可结束迭代计算。精度要求时，即可结束迭代计算。随机方向探索法的一般迭代计算公式为：随机方向探索法的一般迭代计算公式为：随机方向探索法的一般迭代计算公式为：随机方向探索法的一般迭代计算公式为：X X(k+1)(k+1)=X=X(k)(k)+d d(k)(k)(k=0,1,2,)(k=0,1,2,)式中式中式中式中 为步长，为步长，为步长，为步长，d d(k)(k)为第为第为第为第k k次迭代的可行搜索方向。次迭代的可行搜索方向。次迭代的可行搜索方向。次迭代的可行搜索方向。可行搜索方向产生的条件可行搜索方向产生的条件可行搜索方
10、向产生的条件可行搜索方向产生的条件.一、基本原理一、基本原理d二、算法技术二、算法技术1 1、随机数的产生随机数的产生随机数的产生随机数的产生可可可可以以以以利利利利用用用用各各各各种种种种计计计计算算算算机机机机语语语语言言言言的的的的随随随随机机机机函函函函数数数数，也也也也可可可可利利利利用用用用随随随随机机机机数数数数的的的的数数数数学学学学模型自行产生。模型自行产生。模型自行产生。模型自行产生。2 2、初始点的选择初始点的选择初始点的选择初始点的选择无法人工给出初始点时，可以用随机选择的方法得到。无法人工给出初始点时，可以用随机选择的方法得到。无法人工给出初始点时，可以用随机选择的方
11、法得到。无法人工给出初始点时，可以用随机选择的方法得到。（1 1）产生一个随机点）产生一个随机点）产生一个随机点）产生一个随机点3 3、随机搜索方向的产生、随机搜索方向的产生、随机搜索方向的产生、随机搜索方向的产生即从即从即从即从k k（knkn）个随机方向中选择一个较好的方向。）个随机方向中选择一个较好的方向。）个随机方向中选择一个较好的方向。）个随机方向中选择一个较好的方向。（2 2）判断点）判断点）判断点）判断点x x可行否，不可行则重新产生。可行否，不可行则重新产生。可行否，不可行则重新产生。可行否，不可行则重新产生。01之间的随机数之间的随机数维数维数（3 3）去除）去除）去除）去除
12、k k个点中的非可行点，选出目标函数值最小的点个点中的非可行点，选出目标函数值最小的点个点中的非可行点，选出目标函数值最小的点个点中的非可行点，选出目标函数值最小的点x xL L。（4 4）比比比比较较较较x xL L和和和和x x0 0，若若若若f f(x xL L)f f(x x0 0)，则则则则二二二二者者者者连连连连线线线线为为为为搜搜搜搜索索索索方方方方向向向向；否否否否则则则则，缩缩缩缩小小小小 0 0 ，至至至至（1 1）重重重重新新新新开开开开始始始始，反反反反复复复复进进进进行行行行直直直直到到到到成成成成功功功功。若若若若 0 0太太太太小小小小（1010-6-6），则），
13、则），则），则x x0 0为局部低点，更换初始点再从头开始。为局部低点，更换初始点再从头开始。为局部低点，更换初始点再从头开始。为局部低点，更换初始点再从头开始。随机搜索方向的产生随机搜索方向的产生随机搜索方向的产生随机搜索方向的产生（1 1）产产产产生生生生伪伪伪伪随随随随机机机机数数数数r ri ij j（i=1i=1，2 2，n n；j=1j=1，2 2，k k），并并并并构成单位随机矢量构成单位随机矢量构成单位随机矢量构成单位随机矢量e ej j，即：，即：，即：，即：（2 2）取试验步长）取试验步长）取试验步长）取试验步长 0 0，计算，计算，计算，计算k k个随机点个随机点个随机点
14、个随机点 .4 4、搜索步长的确定、搜索步长的确定、搜索步长的确定、搜索步长的确定d d确定后，确定后，确定后，确定后，x x0 0 x xL L，采加速步长（如每次增，采加速步长（如每次增，采加速步长（如每次增，采加速步长（如每次增30%30%）搜索，即）搜索，即）搜索，即）搜索，即 =5 5、收敛条件、收敛条件、收敛条件、收敛条件若获得新点若获得新点若获得新点若获得新点x x，与前一点，与前一点，与前一点，与前一点x x0 0的关系满足的关系满足的关系满足的关系满足则迭代终止。则迭代终止。则迭代终止。则迭代终止。三、计算步骤及框图三、计算步骤及框图三、计算步骤及框图三、计算步骤及框图计算实
15、例计算实例四、随机方向法四、随机方向法 计算实例计算实例求约束优化问题求约束优化问题求约束优化问题求约束优化问题s.t.s.t.解：解：解：解：可获得最优解可获得最优解可获得最优解可获得最优解x*=(-0.0027,-3.0)x*=(-0.0027,-3.0)T Tf(x*)=-3f(x*)=-3复复复复合合合合形形形形法法法法是是是是求求求求解解解解约约约约束束束束非非非非线线线线性性性性最最最最优优优优化化化化问问问问题题题题的的的的一一一一种种种种重重重重要要要要的的的的直直直直接接接接方方方方法法法法。来来来来源源源源于于于于用用用用于于于于求求求求解解解解无无无无约约约约束束束束非非
16、非非线线线线性性性性最最最最优优优优化化化化问问问问题题题题的的的的单单单单形形形形替替替替换换换换法法法法，是单形替换法在约束优化问题中的发展。是单形替换法在约束优化问题中的发展。是单形替换法在约束优化问题中的发展。是单形替换法在约束优化问题中的发展。在在在在求求求求解解解解无无无无约约约约束束束束问问问问题题题题的的的的单单单单形形形形替替替替换换换换法法法法中中中中，不不不不需需需需计计计计算算算算目目目目标标标标函函函函数数数数的的的的梯梯梯梯度度度度，而而而而是是是是靠靠靠靠选选选选取取取取单单单单纯纯纯纯形形形形的的的的顶顶顶顶点点点点并并并并比比比比较较较较各各各各顶顶顶顶点点点
17、点处处处处目目目目标标标标函函函函数数数数值值值值的的的的大小，来寻找下一步的探索方向的。大小，来寻找下一步的探索方向的。大小，来寻找下一步的探索方向的。大小，来寻找下一步的探索方向的。复复复复合合合合形形形形法法法法中中中中，上上上上述述述述原原原原理理理理与与与与单单单单形形形形替替替替换换换换法法法法相相相相同同同同。只只只只是是是是，复复复复合合合合形形形形各各各各顶顶顶顶点点点点的的的的选选选选择择择择和和和和替替替替换换换换，不不不不仅仅仅仅要要要要满满满满足足足足目目目目标标标标函函函函数数数数值值值值的的的的下下下下降降降降，还还还还应应应应当当当当满足所有的约束条件。满足所有
18、的约束条件。满足所有的约束条件。满足所有的约束条件。第三节 复合形法一、复合形法的基本思想在可行域内构造一个具有在可行域内构造一个具有在可行域内构造一个具有在可行域内构造一个具有k k个顶点的初始复合形。个顶点的初始复合形。个顶点的初始复合形。个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的对该复合形各顶点的对该复合形各顶点的对该复合形各顶点的目标函数值进行比较，去目标函数值进行比较，去目标函数值进行比较，去目标函数值进行比较，去掉目标函数值最大的顶点掉目标函数值最大的顶点掉目标函数值最大的顶点掉目标函数值最大的顶点（称最坏点），然后按一（称最坏点），然后按一（称最坏点），然后按一（称最坏点），然后按一
19、定法则求出目标函数值下定法则求出目标函数值下定法则求出目标函数值下定法则求出目标函数值下降的可行的新点，并用此降的可行的新点，并用此降的可行的新点，并用此降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成新的点代替最坏点，构成新的点代替最坏点，构成新的点代替最坏点，构成新的复合形，复合形就向最优复合形，复合形就向最优复合形，复合形就向最优复合形，复合形就向最优点移动一步，直至逼近最点移动一步，直至逼近最点移动一步，直至逼近最点移动一步，直至逼近最优点。优点。优点。优点。1、复合形的顶点数目、复合形的顶点数目 k通常取通常取 n+1k2n2、初始复合形的产生办法、初始复合形的产生办法可以有多种方法完成初始
20、复合形的产生。可以有多种方法完成初始复合形的产生。（1）由设计者确定）由设计者确定k个可行点构成初始复合形个可行点构成初始复合形用于维数较低的小型优化问题。用于维数较低的小型优化问题。（2）由设计者指定一个可行点，其余用随机法产生）由设计者指定一个可行点，其余用随机法产生即随机产生剩余的即随机产生剩余的k-1顶点，对于在非可行域外的点则可将其往顶点，对于在非可行域外的点则可将其往可行点靠拢，即调入可行域内。可行点靠拢，即调入可行域内。（3）由计算机自动生成初始复合形的全部顶点）由计算机自动生成初始复合形的全部顶点先随机产生一个可行点，再象（先随机产生一个可行点，再象（2）那样产生剩余的）那样产
21、生剩余的k-1个随机个随机点，然后再把其中的非可行点逐一调入可行域内。点，然后再把其中的非可行点逐一调入可行域内。二、初始复合形的形成（1）产生一个随机点）产生一个随机点 xi=ai+i(bi-ai)i=1,2,.,ni为（为（0，1）区间内产生的均匀分布的随机数，依据上式产生）区间内产生的均匀分布的随机数，依据上式产生点点X(1)=x1,x2,xnT。3 3 3 3、生成可行点、生成可行点、生成可行点、生成可行点（2）产生其余）产生其余k-1个顶点个顶点（3）位置重新排列）位置重新排列将产生的将产生的k个随机点进行判断是否在可行域内，重新排列，将可个随机点进行判断是否在可行域内，重新排列，将
22、可行点依次排在前面。行点依次排在前面。（3）将非可行点调入可行域）将非可行点调入可行域如有如有q个顶点个顶点X(1)、X(2)、X(q)是可行点，其它是可行点，其它k-q个为非可个为非可行点。行点。对对X(q+1)，将其调入可行域的步骤，将其调入可行域的步骤 这这个个新新点点X(q+1)实实际际就就是是Xc与与原原X(q+1)两两点点连连线线的的中中点点，如如图图。若若新新的的X(q+1)点点仍仍为为非非可可行行点点，按按上上式式再再产产生生X(q+1)，使使它它更更向向Xc靠拢，最终使其成为可行点。靠拢，最终使其成为可行点。按按照照这这个个方方法法，同同样样使使X(q+2)、X(q+3)、X
23、(K)都都变变为为可可行行点，这点，这k个点就构成了初始复合形。个点就构成了初始复合形。a）计算）计算q个点集的中心个点集的中心X c；b）将第）将第q+1点朝着点点朝着点Xc的方的方向移动，按下式产生新的向移动，按下式产生新的X(q+1)，即：，即：X(q+1)=Xc+0.5(X(q+1)-Xc)将非可行点调入可行域将非可行点调入可行域主要搜索方法有三个：主要搜索方法有三个：反射；反射；收缩；收缩；压缩。压缩。在可行域内生成了初始复合形后，可采用不同的搜索方法来在可行域内生成了初始复合形后，可采用不同的搜索方法来改变其形状，使复合形逐步向约束最有点趋近。改变其形状，使复合形逐步向约束最有点趋
24、近。三、复合形法的搜索方法三、复合形法的搜索方法（2）计算除）计算除xH外其余各顶点的中心外其余各顶点的中心xc，即，即分以下几个步骤：分以下几个步骤：（1）确定最好点）确定最好点xL、最坏点、最坏点xH和次坏点和次坏点xG，即，即1、反射、反射（3）计算反射点）计算反射点xR，即，即其中，其中，是反射系数，一般，是反射系数，一般，.不可行，则将不可行，则将缩至缩至0.7倍，重新反射，直到倍，重新反射，直到f(xR)f(xH)为止。为止。可行，则进一步比较：若可行，则进一步比较：若f(xR)f(xH)，则用，则用xR取代取代xH，完成一，完成一次迭代。若次迭代。若f(xR)f(xH)，则将，则
25、将缩至缩至0.7倍，重新反射，直到倍，重新反射，直到f(xR)f(xH)为止。为止。（4 4）判别反射点的位置）判别反射点的位置）判别反射点的位置）判别反射点的位置即，反射成功的条件为即，反射成功的条件为若若xR下下降降较较多多，如如f(xR)f(xC)，则则可可采采用用扩扩张张的的方方法法继继续续向向前前移动，可能找到更好的点移动，可能找到更好的点xE。若若xE可可行行且且f(xE)f(xR)，则则扩扩张张成成功功，用用xE取取代代xR，可可构构成成新的复合形；否则放弃。新的复合形；否则放弃。扩张系数扩张系数=1其中，收缩系数其中，收缩系数=0.7若若f(xK)f(xH)，则收缩成功，可用，
26、则收缩成功，可用xK取代取代xH，构成新的复合形。，构成新的复合形。当在中心点当在中心点xC外找不到好的反射点，可以在外找不到好的反射点，可以在xC以内找，即以内找，即2、收缩、收缩若若某某顶顶点点压压缩缩后后在在可可行行域域外外，可可将将其其继继续续向向xL靠靠拢拢，直直到到其其回到可行域。回到可行域。若上述方法均无效，可让复合形各顶点向若上述方法均无效，可让复合形各顶点向xL靠拢，即压缩复靠拢，即压缩复合形。合形。3、压缩、压缩1、确定、确定k值，产生初始复合形；值，产生初始复合形；2、比较各顶点，排序；、比较各顶点，排序；3、计算除、计算除xH外的中心点外的中心点xC。若可行，则继续，否
27、则则重新确。若可行，则继续，否则则重新确定设计变量的下限和上限，即定设计变量的下限和上限，即a=xL，b=xC，转而重新构造初始复，转而重新构造初始复合形；合形；4、反射，反复反射，直至成功。、反射，反复反射，直至成功。5、收敛条件、收敛条件四、复合形法的迭代步骤只含反射功能的复合形法迭代步骤为：只含反射功能的复合形法迭代步骤为：若满足，则输出若满足，则输出xL。否则，至步骤。否则，至步骤2继续。继续。复合形法程序框图复合形法程序框图1 1、复复复复合合合合形形形形法法法法是是是是求求求求解解解解约约约约束束束束非非非非线线线线性性性性最最最最优优优优化化化化问问问问题题题题的的的的一一一一种
28、种种种直直直直接接接接方方方方法法法法，仅仅仅仅通通通通过过过过选选选选取取取取各各各各顶顶顶顶点点点点并并并并比比比比较较较较各各各各点点点点处处处处函函函函数数数数值值值值的的的的大大大大小小小小，就就就就可可可可寻寻寻寻找找找找下下下下一步的探索方向。一步的探索方向。一步的探索方向。一步的探索方向。但但但但复复复复合合合合形形形形各各各各顶顶顶顶点点点点的的的的选选选选择择择择和和和和替替替替换换换换，不不不不仅仅仅仅要要要要满满满满足足足足目目目目标标标标函函函函数数数数值值值值下下下下降降降降的要求，还应当满足所有的约束条件。的要求，还应当满足所有的约束条件。的要求，还应当满足所有的约束条件。的要求，还应当满足所有的约束条件。2 2、复合形法适用于仅含不等式约束的问题。、复合形法适用于仅含不等式约束的问题。、复合形法适用于仅含不等式约束的问题。、复合形法适用于仅含不等式约束的问题。五、复合形法的方法特点复合形法例题复合形法例题结束结束