1 概率论的基本概念.ppt-淘文阁

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1、第1章概率论的基本概念教材：盛骤教材：盛骤概率论与数理统计概率论与数理统计第四版第四版制作、讲授：安徽师范大学制作、讲授：安徽师范大学朱仁贵朱仁贵当面对两个选择的时候，抛硬币可以帮助我们，答案在它落地后才能知晓。2随机现象随机现象结果不确定，做之前可以预知多种可能的结果，但究竟是哪一个结果，只有做了才知道。1、抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上两种不同的结果；2、用一门大炮，射击某一目标，炮弹落点不尽相同；3、罚点球，可能进也可能不进；4、参加考试，得分有多种可能；3确定性现象确定性现象在一定条件下必然发生，不需去做就可以知道结果，做了也是这个结果结果是能预知的、唯一的。1、向上抛

2、一石子，必然下落;2、在标准大气压下，将水加热到100摄氏度，必然沸腾;3、同性电荷必然相斥，异性电荷必然相吸；4、寻求长生不老药，必然失败.自然界和社会的两类现象自然界和社会的两类现象随机现象确定性现象4 统计规律性统计规律性随机现象，在相同条件下、大量多次重复的发生，虽然每次结果可能不同，但是总的来说存在一定的规律，就是统计规律性。抛一枚硬币，观察正反两面出现的情况，多次重复后，发现正反两面出现的次数基本上对半分；多次掷一颗骰子，任意一面朝上的次数基本上占总投掷次数的1/6什么是概率论什么是概率论与数理统计？与数理统计？概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。5第一章

3、第一章概率论的基本概念概率论的基本概念1.1 随机试验1.2 样本空间、随机事件1.3 频率与概率1.4 等可能概型(古典概型)1.5 条件概率1.6 独立性61.1 1.1 随机试验随机试验试验试验试验是一个含义广泛的术语。它包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验.随机试验随机试验1、可以在相同的条件下重复地进行；2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。E1、抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况;E2、将一枚硬币抛三次，观察正面H、反面T出现的情况;E3、将一枚硬币抛三次，观察出现

4、正面的次数;E4、抛一颗骰子，观察出现的点数;注意：E2和E3是一次试验.E5:记录某城市120电话台一昼夜接到的呼唤次数;E6:在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命;E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。71.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.1 1.2.1 样本空间样本空间E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。S=H,TS=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTS=0,1,2,3S=1,2,3,

5、4,5,6E5:记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。E6:在一批灯泡当中，任意抽取一只测试它的寿命。E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。S=0,1,2,3,S=t|t0S=(x,y)|T0 xyT1这里x 表示最低温度，y表示最高温度。并设这一地区的温度不会小于T0 也不会大于T1样本空间与样本点的概念样本空间与样本点的概念由随机试验E的所有可能结果所组成的集合称样本空间样本空间(S).样本空间的元素，即每个结果，称为样本点(e).S=e1,e2,e3,81.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.2 1.2.2 随机事件随机事件在一批灯泡当中任意抽取一只，测

6、试它的寿命。样本空间S=t|t0事件A=“寿命不小于500小时”=t|t500；AS 随机事件的概念随机事件的概念一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件.简称事件(通常用A,B,C表示)。测得某只灯泡得e=“寿命为600小时”事件A发生(eA:)什么叫事件发生？什么叫事件发生？当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。91.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.2 1.2.2 随机事件随机事件随机事件的分类随机事件的分类由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集由基本事件组合而成的事件由基本事件组合而成的事件1、基本事件基本事件2、复合事件复合事

7、件3、必然事件必然事件4、不可能事件不可能事件空集空集抛一枚硬币，观察正面H,反面T出现的情况：样本空间S=H,T。H、T是基本事件。抛一颗骰子，观察出现的点数：样本空间S=1,2,3,4,5,6,事件C=“出现偶点数”=2,4,6是复合事件。样本空间样本空间S是其自身的子集，作为一个事件，是其自身的子集，作为一个事件，在每次试验中它必然发生，在每次试验中它必然发生，S称为必然事件称为必然事件.101.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.3 1.2.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算若 A B,则称事件B包含事件A。事件A发生必导致事件B发生。子事件子事件(包含包含

8、)相等事件相等事件若 A B 且 BA，则A=B，称事件A与事件B相等。BAS111.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.3 1.2.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算和事件和事件事件AB称事件A与事件B的和事件。当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件AB发生。积事件积事件事件AB 称为事件A与事件B的积事件。当且仅当A,B同时发生时，事件AB 发生,也记作AB。SBASAB121.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.3 1.2.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算差事件差事件事件AB 称为事件B与事件A的差事件。当且仅当A发生、B不发生时事件

9、AB 发生。互斥事件互斥事件(互不相容事件互不相容事件)若AB=，则称事件A与事件B是互斥的。这指的是A和B不可能同时发生。基本事件是两两互不相容的。互逆事件互逆事件(对立事件对立事件)若AB=S且AB=，则称事件A与事件B互为逆事件。每次试验，事件A,B中必有一个，且仅有一个发生。B的对立事件记为SABSBASB131.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.3 1.2.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算事件运算定律事件运算定律交换律交换律德摩根律德摩根律结合律结合律分配律分配律A(BC)=(A B)(AC)A(BC)=(AB)(AC)14123信号灯令A=“信号灯亮”

10、Bi=“开关i闭合”，i=1,2,31.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.3 1.2.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算151.3 1.3 频率与概率频率与概率大量试验证实，当重复试验的次数n逐渐增大时，频率呈现稳定性，稳定于某个常数,如下表所示的投币试验，观察正面H出现的情况:频率的概念频率的概念在相同的条件下，进行n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA 与n的比值称为事件A发生的频率，并记成 fn(A)161.3 1.3 频率与概率频率与概率概率的公理化定义设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数记P(A)，称为事件A的概率，如果

11、集合函数P()满足下列条件：1、非负性：对于每一事件A，有 P(A)0；2、规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；3、可列可加性(又称完全可加性)：设A1,A2,是两两互不相容的事件，即AiAj=,则有或写成171.3 1.3 频率与概率频率与概率概率的一些重要性质概率的一些重要性质1、不可能事件的概率为零：P()=0注意：概率为零的事件不一定是不可能事件。2、有限可加性：若A1,A2,An 是两两互不相容的事件，则有3、差事件概率：设A,B是两个事件，若 A B，则有4、对于任一事件A,有P(A)15、逆事件概率：对于任一事件A，有P()=1P(A)6、和事件概率(加法公式)：对于任意两

12、事件A,B有181.3 1.3 频率与概率频率与概率可推广到多个事件的和事件可推广到多个事件的和事件191.4 1.4 等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)等可能概型的定义与概率的计算等可能概型的定义与概率的计算具有如下两个特点的试验，称为等可能概型(又叫古典概型)：2、试验中每个基本事件发生的概率相同:P(e1)=P(e2)=P(en)1、试验的样本空间只包含有限个元素；S=e1,e2,en;P(S)=1有限可加基本事件基本事件的概率的概率：P(e)=1/n若事件若事件A包包含含k个基本个基本事件数目，事件数目，则则P(A)=k/n将一枚硬币抛掷三次：S=HHH,HHT,HTH,THH,

13、HTT,THT,TTH,TTT;A1=“恰有一次出现正面”=HTT,THT,TTH;A2=“至少有一次出现正面”；P(A1)=3/8;P(A2)=1P()=11/8=7/8201.4 1.4 等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)一个口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。抽样抽样放回放回不放回不放回放回抽样计虚线；不放回抽样不计虚线相同颜色的球可分辨，可编号，可区分。样本空间基本事件数目放回，66不放回，65211.4 1.4 等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)

14、。选排列选排列S的基本事件数目：Nn每只球都可以放入N个盒子中的任一个事件A=“每个盒子至多有一只球”A所含基本事件数目：相当于放回抽样相当于放回抽样相当于不放回抽样相当于不放回抽样事件A的概率：现实中的类现实中的类似问题：似问题：一年365天,n(n0),事件AB所包含的基本事件数为k。AB A将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。设事件A=“至少有一次为H”,事件B=“两次掷出同一面”。求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率。S=HH,HT,TH,TT;A=HH,HT,TH;B=HH,TTP(A)=3/4P(B)=2/4=1/2AB=HHP(AB)=1/4P(B|A)=1/3注意P

15、(B|A)P(B)251.5 1.5 条件概率条件概率1.5.1 1.5.1 条件概率条件概率前述概率的6个性质，对条件概率也是适用的.例如对任意两事件B1和B2有1、非负性：对于每一事件B,有P(B|A)0；2、规范性：对于必然事件S,有P(S|A)=1;3、可列可加性：设 B1,B2,.是两两互不相容的事件，则有条件概率的性质条件概率的性质261.5 1.5 条件概率条件概率1.5.1 1.5.1 条件概率条件概率一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，做不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率

17、件概率条件概率1.5.2 1.5.2 乘法定理乘法定理Ai=“第i次落下打破”B=“落下三次均未破”设某光学仪器厂制设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时造的透镜，第一次落下时打破的概率为打破的概率为1/2。若第一。若第一次落下未打破，第二次落次落下未打破，第二次落下打破的概率为下打破的概率为7/10。若。若前两次落下未打破，第三前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10。试求透镜落下三次而未打试求透镜落下三次而未打破的概率。破的概率。设袋中装有设袋中装有r只红球，只红球，t只白球只白球.每次自袋中任每次自袋中任取一只球，观察其颜色然取一只球，观察其颜色然后放回，并再放

18、入后放回，并再放入a只与只与所取的那只球同色的球。所取的那只球同色的球。若在袋中连续取球四次，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的且第三、四次取到白球的概率。概率。Ai=“第i次取到红球”291.5 1.5 条件概率条件概率1.5.3 1.5.3 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式样本空间的一个划分样本空间的一个划分设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn为E的一组事件；若：(1)BiBj=;(2)则称B1,B2,Bn 为S的一个划分。贝叶斯公式贝叶斯公式全概率公式全概率公式301.5 1.5 条件概率条件概率1.5.3 1.5.3

19、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下数据：根据以往的记录有以下数据：Bi=“元件由第i家工厂提供”P(B1)=0.15;P(B2)=0.80;P(B3)=0.05.P(A|B1)=0.02;P(A|B2)=0.01;P(A|B3)=0.03.A=“取到的是一只次品”全概率公式贝叶斯公式311.5 1.5 条件概率条件概率1.5.3 1.5.3 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率为据美国的一份资料报道，在美

20、国总的来说患肺癌的概率为0.1%，在人群中有在人群中有20%是吸烟者，他们换肺癌的概率约为是吸烟者，他们换肺癌的概率约为0.4%,求不吸烟者患肺癌的概率是多少求不吸烟者患肺癌的概率是多少?吸烟与否人数比肺癌率Y0.20.004N0.8?A=“此人吸烟”；C=“此人患肺癌”.P(A)P(C|A)P()P(C|)321.6 1.6 独立性独立性互相独立与互不相容是不同概念，互不等价。抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况(先抛甲后抛乙先抛甲后抛乙)S=HH,HT,TH,TTA=“甲币出现H”=HH,HTB=“乙币出现H”=TH,HHAB=HHP(A)=1/2P

21、(B)=1/2P(AB)=1/4P(AB)=P(A)P(B)或P(B|A)=P(B)A、B独立事件独立性的定义事件独立性的定义设A,B是两事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B相互独立，简称独立。P(B|A)=P(B)331.6 1.6 独立性独立性多事件的独立性定义多事件的独立性定义一般的，设 A1,A2,An是 n(n2)个事件，如果对其中任意2个、任意3个、一直到n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率的积，则称这些事件相互独立.P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C);P(AC)=P(A)P(C);P(ABC)=P(A)P(B)P(C)A、B、

22、C三者独立1、设A、B是两事件，且P(A)0。若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然。2、若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与，与B，与。3、若事件A1,A2,An(n2)相互独立，则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立的.4、若事件 A1,A2,An(n2)相互独立，则将 A1,A2,An 中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。事事件件独独立立性性的的推推论论341.6 1.6 独立性独立性能正常工作的概率称为可靠性可靠性。已知：第i个元件的可靠性为pi （i=1,2,3,4），），4个元件工作独立求系统的可靠性。A=“系统正常工

23、作”=A1A2A3A4Ai=“第i个元件正常工作”，P(Ai)=pi P(A)=P(A1A2A3A4)=P(A1A2)+P(A3A4)P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=p1p2+p3p4p1p2p3p43536习题习题3.(1)设A,B,C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。解：利用加法公式P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)其中P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=0故P

24、(ABC)=1/4+1/4+1/4 1/8=5/837,3.(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求的概率。利用德摩根律和逆事件概率可得：解：由加法公式可得P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)=17/20P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=1/2+1/31/10=11/1538利用差事件概率可得由加法公式可得3.(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(B

25、C)=1/20,P(ABC)=1/30,求的概率。或利用条件概率的乘法定理可得：或393.(3)已知P(A)=1/2,(a)若A,B互不相容，求 ,(b)若P(AB)=1/8,求若A,B互不相容，则P(AB)=0,故(a)(b)解：利用差事件概率可得405.10片药片中有5片是安慰剂.(1)从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率.(2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前三次都取到安慰剂的概率.解(1):这属于经典概型的组合问题令Ai=“取到的5片中有i片是安慰剂”，i=0,1,2,3,4,5，它们是互不相容的。根据概率的有限可加性，所求概率为则且(2)令Ai=“第i次取到的是安慰剂”

26、利用条件概率的乘法定理可得或418.在1500件产品中有400件次品，1100件正品，任取200件.(1)求恰有90件次品的概率.(2)求至少有2件次品的概率。解(1)这属于经典概型的组合问题恰有90件次品的概率(2)令Ai=“取出的200件产品中有i件次品”，则所求概率为4221.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者.问此人是男性的概率是多少?解：设A=“任选一人为男性”，B=“任选一人为色盲”则由题意知：利用全概率公式可得再根据贝叶斯公式可得所求概率为4334.试分别求以下两个系统的可靠性:(1)设有4个独立工作的元件1，2，3，4.它们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按图1方式连接.(2)设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5.它们的可靠性均为p,将它们按图2方式连接.解：令Ai=“元件i正常工作”图11234图212345(1)利用加法公式可得交换律及由独立性(2)解法(一)列举出系统正常工作的各种可能情况44套用多个事件的加法公式可得图212345(3)解法(二)令 A=“系统正常工作”则45(2)解法(三)令A=“系统正常工作”。根据全概率公式可得其中故图21234546(2)解法(四)令A=“系统正常工作”，则其中所以图21234547

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