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1、1.1 集合论发展史1 集合论发展史集合论发展史u集合论集合论(SetTheory)是现代数学的基础它的是现代数学的基础它的起源可追溯到起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行卓世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究有成效的研究u集合论实际发展是由集合论实际发展是由19世纪世纪70年代德国数学年代德国数学家康托尔家康托尔(GCantor)在无穷序列和分析的有关在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立的课题的理论研究中创立的Cantor对具有任意对具有任意特性的无穷集合进行了深入的探讨，提出了关特性的无穷集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定于基数、序数、超穷数
2、和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础因此，了集合论的深厚基础因此，Cantor被誉为集被誉为集合论的创始人他创立的集合论是实数理论，合论的创始人他创立的集合论是实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。以至整个微积分理论体系的基础。集合论创始人 康托尔 德国数学家德国数学家(Georg Cantor 18451918)18451845年年3 3月月3 3日日 出生于俄国的一个丹麦出生于俄国的一个丹麦犹太血统的家庭。犹太血统的家庭。18561856年年 与父母一起迁到德国的法兰克福。与父母一起迁到德国的法兰克福。18631863年年 进入柏林大学，转到纯粹的数学。进入柏林大学，转到纯粹的数学。1
3、8661866年年 获得博士学位。获得博士学位。18741874年年 在在数学杂志数学杂志上发表了关于无穷集合理论上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。章的发表标志着集合论的诞生。2 Cantor生平生平l 1879 1879年年 任哈雷大学教授。任哈雷大学教授。l 1891 1891年年 组建德国数学家联合会，被选为第一任主席。组建德国数学家联合会，被选为第一任主席。l 1904 1904年年 被伦敦皇家学会授予当时数学界最高荣誉被伦敦皇家学会授予当时数学界最高荣誉西尔威斯特（西尔威斯特（Syl
4、vesterSylvester）奖章。）奖章。法国数学家庞加莱：庞加莱是一位博学家，法国数学家庞加莱：庞加莱是一位博学家，在数学、数学物理、天体力学和哲学方面都有在数学、数学物理、天体力学和哲学方面都有很深的造诣。他是第一个发现混沌确定系统的很深的造诣。他是第一个发现混沌确定系统的人，并为现代混沌理论打下了基础，甚至在相人，并为现代混沌理论打下了基础，甚至在相对论研究上，他第一篇论文的发表也比爱因斯对论研究上，他第一篇论文的发表也比爱因斯坦的论文早了一个多月。坦的论文早了一个多月。l庞加莱猜想：在一个封闭的三维空间，假如每庞加莱猜想：在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个
5、空间一定条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间一定是一个圆球。是一个圆球。l集合论是一个有趣的集合论是一个有趣的“病理学病理学”，并预测后一，并预测后一代将把（代将把（CantorCantor）集合论当作一种疾病，而人）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了们已经从中恢复过来了。德国数学家魏尔（德国数学家魏尔（C.H.HermannWeyl，18851955）:关于基数的等级观点是雾上之雾。关于基数的等级观点是雾上之雾。菲利克斯菲利克斯.克莱因克莱因（F.Klein，18491925）:不赞成集合论的思想。不赞成集合论的思想。数学家数学家HA施瓦兹施瓦兹Cantor的好友的好友由于反对集合
6、论而同由于反对集合论而同Cantor断交。断交。这对我来说是最值得钦佩的数学理智之这对我来说是最值得钦佩的数学理智之花，也是在纯粹理性范畴中人类活动所花，也是在纯粹理性范畴中人类活动所取得的最高成就之一。取得的最高成就之一。没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱赶出去。赶出去。希尔伯特希尔伯特超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一。一。罗罗素素由康托尔的工作所带来的哲学革命也许甚由康托尔的工作所带来的哲学革命也许甚至比数学本身还伟大。至比
7、数学本身还伟大。约约代代因因3Cantor的主要研究成果的主要研究成果l通过一一对应关系建立了集合之间等势的概通过一一对应关系建立了集合之间等势的概念，奠定了无限集分类的基础。念，奠定了无限集分类的基础。最著名的著作最著名的著作-超穷理论基础超穷理论基础:数学理论数学理论必须肯定实无穷，因为很多最基本的数学性必须肯定实无穷，因为很多最基本的数学性质，例如一切正整数，圆周上的一切点等，质，例如一切正整数，圆周上的一切点等，事实上都是实无穷性的概念。而且不能把能事实上都是实无穷性的概念。而且不能把能有穷所具有的性质强加于无穷。他的有穷所具有的性质强加于无穷。他的“一一一一对应对应”的原理突破了传统
8、的的原理突破了传统的“整体大于部分整体大于部分”的旧观念，例如全体正整数与（其部分）的旧观念，例如全体正整数与（其部分）全体正偶数一一对应，正整数集与正偶数集全体正偶数一一对应，正整数集与正偶数集等势。等势。l引进了可数集的概念，证明了有理数全体及代引进了可数集的概念，证明了有理数全体及代数数（有理多项式的根）全体都是可数集合。数数（有理多项式的根）全体都是可数集合。l运用对角线方法证明了实数集是不可数集，从运用对角线方法证明了实数集是不可数集，从而间接推导出超越数（非代数数的实数）比代而间接推导出超越数（非代数数的实数）比代数数多，同时也说明了无限集可按大小区分为数数多，同时也说明了无限集可
9、按大小区分为不同的类。不同的类。l证明了证明了n n维空间与一维直线之间存在一一维空间与一维直线之间存在一一对应。对应。l系统研究了序数理论，提出了良序原理。系统研究了序数理论，提出了良序原理。l证明了集的幂集比原集有更大的基数。证明了集的幂集比原集有更大的基数。l提出了连续统假设。提出了连续统假设。集合论发展史（继续）集合论发展史（继续）u随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，联系所作的讨论，1900年前后，出现了许多年前后，出现了许多悖论，有力冲击了或者说动摇了集合论的发悖论，有力冲击了或者说动摇了集合论的发展展u数学史上的三次危机数学
10、史上的三次危机1.无理数的发现无理数的发现第一次数学危机第一次数学危机2.无穷小是零吗？无穷小是零吗？第二次数学危机第二次数学危机3.悖论的产生悖论的产生第三次数学危机第三次数学危机康托尔的朴素集合论剖析康托尔集合论中的许多证明便知，几乎他所证明的剖析康托尔集合论中的许多证明便知，几乎他所证明的一切定理均能从如下三个公理得出一切定理均能从如下三个公理得出:l外延外延公公理理任意两个集合相等，当且仅当它们中的各个元素都任意两个集合相等，当且仅当它们中的各个元素都是相同的。是相同的。l抽象抽象公公理理任给一个性质，都有一个满足该性质的对象所组成任给一个性质，都有一个满足该性质的对象所组成的集合。的
11、集合。l选择选择公公理理每个集合都有一个选择函数。每个集合都有一个选择函数。Note:毛病出在抽象公理上毛病出在抽象公理上.1903年年,Russel发现发现“由不为自身的成员这一性质的所有客体的集合由不为自身的成员这一性质的所有客体的集合”会导出矛盾来会导出矛盾来,这就是著名的罗素悖论这就是著名的罗素悖论.l是否存在集合是否存在集合A和和B,使得使得A B且且A B？若存在，请举一例。？若存在，请举一例。l设设A=a，B=a,a,b,c，则有，则有:A B且且A Bl再例如：再例如：且且 讨论：l设集合设集合S=A|A是集合，且是集合，且A A1.若若S S，则，则S是是集合集合S的的元素，
12、则根据元素，则根据S的的定义，有定义，有S S，与假设矛盾；与假设矛盾；2.若若S S，则，则S是不以自身为元素的集合，则根据是不以自身为元素的集合，则根据S的的定义，有定义，有S S，与假设矛盾。与假设矛盾。3.3.“一个理发师宣称，他不给自己刮脸的人刮脸，但一个理发师宣称，他不给自己刮脸的人刮脸，但给所有不自己刮脸的人刮脸。给所有不自己刮脸的人刮脸。”人们问：人们问：“理发师理发师先生，您自己的脸谁刮？先生，您自己的脸谁刮？”罗素悖论伯特兰伯特兰罗素（罗素（1872-1970）英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、散文作家、社会活动家散文作家、社会活动家 l1
13、872年年5月，生于英国曼摩兹郡的特雷克，幼年月，生于英国曼摩兹郡的特雷克，幼年时父母双亡，是祖母将他抚育成人。时父母双亡，是祖母将他抚育成人。l1890年进剑桥大学三一学院学习年进剑桥大学三一学院学习l1893年获数学荣誉学士学位一级。接着改学哲学年获数学荣誉学士学位一级。接着改学哲学l1894年获道德哲学荣誉学士学位一级年获道德哲学荣誉学士学位一级l毕业后曾游学德国学经济，受马克思主义影响，毕业后曾游学德国学经济，受马克思主义影响，回国后，在伦敦大学政治和经济学院任讲师。回国后，在伦敦大学政治和经济学院任讲师。ll903年发表数学原理一书，并以论文几何年发表数学原理一书，并以论文几何学基础
14、获三一学院研究员职位。学基础获三一学院研究员职位。l1908年当选为皇家学会会员。年当选为皇家学会会员。3 罗素生平罗素生平 l1910年发表哲学文集年发表哲学文集;1917年发表哲学的年发表哲学的问题问题。1914年加入工党。年加入工党。l第一次世界大战期间，因参加和平主义者的活动，第一次世界大战期间，因参加和平主义者的活动，被处罚金，革职入狱。在狱中，撰写了数学哲被处罚金，革职入狱。在狱中，撰写了数学哲学导论。学导论。l1920年访问中国和苏联，著有布尔什维主义的年访问中国和苏联，著有布尔什维主义的实践和理论。实践和理论。1920年到北大担任客座教授，一年到北大担任客座教授，一年后离开，隔
15、年写成中国问题这本书。他看年后离开，隔年写成中国问题这本书。他看见：见：“中国文化正在发生急遽的变化中国文化正在发生急遽的变化”，提出建议：，提出建议：“假如中国人能自由地吸收我们文明中他们所需假如中国人能自由地吸收我们文明中他们所需要的东西，而排斥那些他们觉得不好的东西，那要的东西，而排斥那些他们觉得不好的东西，那么他们将能够在其自身传统中获得一种有机发展，么他们将能够在其自身传统中获得一种有机发展，并产生将我们的优点同他们自己的优点相结合起并产生将我们的优点同他们自己的优点相结合起来的辉煌成就。来的辉煌成就。”l1927年，罗素和夫人布拉克在英国彼得斯费尔年，罗素和夫人布拉克在英国彼得斯费
16、尔德市附近创办一所私立学校，实验他的教育理德市附近创办一所私立学校，实验他的教育理论，是当时英国的进步主义学校之一。论，是当时英国的进步主义学校之一。l1935年离婚后，布拉克独自办到年离婚后，布拉克独自办到1939年。他一年。他一直主张直主张“自由教育自由教育”和和“爱的教育爱的教育”。认为教育的。认为教育的基本目的是品格的发展，而基本目的是品格的发展，而“活力、勇气、敏活力、勇气、敏感和智慧感和智慧”是形成是形成“理想品格理想品格”的基础；并深信的基础；并深信通过对儿童的身体、感情和智力上的通过对儿童的身体、感情和智力上的“恰当的恰当的处理处理”，可以使这些品质得到普遍的培养。，可以使这些
17、品质得到普遍的培养。l1931年他继承为第三世罗素勋爵。年他继承为第三世罗素勋爵。l1949年获荣誉勋章。年获荣誉勋章。l1950年由于他年由于他“多产而重要的哲学著作，并以多产而重要的哲学著作，并以此成为人道主义与自由思想的代言人此成为人道主义与自由思想的代言人”而获得而获得了该年度的诺贝尔文学奖。了该年度的诺贝尔文学奖。l50年代因积极参加世界和平运动，反对核战争年代因积极参加世界和平运动，反对核战争而获得世界和平奖。而获得世界和平奖。1955年年2月，爱因斯坦收到了英国著名哲学家罗素的信，告诉月，爱因斯坦收到了英国著名哲学家罗素的信，告诉他由于制造核武器的竞赛，人类的前途实在令人担心，希
18、望他由于制造核武器的竞赛，人类的前途实在令人担心，希望以爱因斯坦为首团结几个著名的科学家发表宣言避免毁灭人以爱因斯坦为首团结几个著名的科学家发表宣言避免毁灭人类战争发生。类战争发生。爱因斯坦在收到信后马上回信表示：爱因斯坦在收到信后马上回信表示：“你熟悉这些组织的工作。你熟悉这些组织的工作。你是将军我是小兵。你只要发出命令，我就随后跟从。你是将军我是小兵。你只要发出命令，我就随后跟从。”于是于是出现了著名的罗素出现了著名的罗素爱因斯坦宣言除了爱因斯坦在临终爱因斯坦宣言除了爱因斯坦在临终前签字外，约里奥前签字外，约里奥居里、汤川秀树和李诺居里、汤川秀树和李诺鲍林等多位科学家鲍林等多位科学家都在宣
19、言上签字。都在宣言上签字。l1961年，年，89岁高龄的罗素参与一个核裁军的游行后被拘岁高龄的罗素参与一个核裁军的游行后被拘禁了禁了7天。他反对越南战争，和萨特一起于天。他反对越南战争，和萨特一起于1967年年5月成月成立了一个立了一个“罗素法庭罗素法庭”，揭露美国的战争罪行。，揭露美国的战争罪行。l1959年，罗素发表了西方智慧后，年，罗素发表了西方智慧后，开始了罗素自传的创作，并在开始了罗素自传的创作，并在1967年年95岁高龄之际完成了一生最优秀的著岁高龄之际完成了一生最优秀的著作之一罗素自传。作之一罗素自传。l1970年年2月月2日去世，一生曾四次结婚，日去世，一生曾四次结婚，三次离婚
20、。三次离婚。l罗素自传序言罗素自传序言“我为什么而活着我为什么而活着”:对爱情的渴望，对知识的追求，对人类苦难不可遏对爱情的渴望，对知识的追求，对人类苦难不可遏制的同情心，这三种纯洁但无比强烈的激情支配着我的制的同情心，这三种纯洁但无比强烈的激情支配着我的一生。这三种激情就像飓风一样，在深深的苦海上，肆一生。这三种激情就像飓风一样，在深深的苦海上，肆意地把我吹来吹大，吹到濒临绝望的边缘。意地把我吹来吹大，吹到濒临绝望的边缘。我寻求爱情，首先因为爱情给我带来狂喜，它如此我寻求爱情，首先因为爱情给我带来狂喜，它如此强烈以致我经常愿意为了几小时的欢愉而牺牲生命中的强烈以致我经常愿意为了几小时的欢愉而
21、牺牲生命中的其它一切。我寻求爱情，其次是因为爱情解除孤寂其它一切。我寻求爱情，其次是因为爱情解除孤寂那是一颗震颤的心，在世界的边缘，俯瞰那冰冷死寂、那是一颗震颤的心，在世界的边缘，俯瞰那冰冷死寂、深不可测的深渊。我寻求爱情，最后是因为在爱情的结深不可测的深渊。我寻求爱情，最后是因为在爱情的结合中，我看到圣徒和诗人们所想象的天堂景象的神秘缩合中，我看到圣徒和诗人们所想象的天堂景象的神秘缩影。这就是我所寻求的，虽然它对人生似乎过于美好，影。这就是我所寻求的，虽然它对人生似乎过于美好，然而最终我还是得到了它。然而最终我还是得到了它。我以同样的热情寻求知识，我希望了解人的心灵。我以同样的热情寻求知识，
22、我希望了解人的心灵。我希望知道星星为什么闪闪发光，我试图理解毕达哥我希望知道星星为什么闪闪发光，我试图理解毕达哥拉斯的思想威力，即数字支配着万物流转。这方面我拉斯的思想威力，即数字支配着万物流转。这方面我获得一些成就，然而并不多。获得一些成就，然而并不多。爱情和知识，尽其可能地把我引上天堂，但是同爱情和知识，尽其可能地把我引上天堂，但是同情心总把我带回尘世。痛苦的呼号的回声在我心中回情心总把我带回尘世。痛苦的呼号的回声在我心中回荡，饥饿的儿童，被压迫者折磨的受害者，被儿女视荡，饥饿的儿童，被压迫者折磨的受害者，被儿女视为可厌负担的无助的老人以及充满孤寂、贫穷和痛苦为可厌负担的无助的老人以及充满
23、孤寂、贫穷和痛苦的整个世界，都是对人类应有生活的嘲讽。我渴望减的整个世界，都是对人类应有生活的嘲讽。我渴望减轻这些不幸，但是我无能为力，而且我自己也深受其轻这些不幸，但是我无能为力，而且我自己也深受其害。害。这就是我的一生，我觉得它值得活。如果有机会这就是我的一生，我觉得它值得活。如果有机会的话，我还乐意再活的话，我还乐意再活次。次。罗素谚语罗素谚语 l许多人宁愿死，也不愿思考，事实上他们也确实至死都许多人宁愿死，也不愿思考，事实上他们也确实至死都没有思考。没有思考。l我的人生正是：使事业成为喜悦，使喜悦成为事业。我的人生正是：使事业成为喜悦，使喜悦成为事业。l一部分儿童有思考的习惯，而教育的
24、目的在于铲除他们一部分儿童有思考的习惯，而教育的目的在于铲除他们的这种习惯。的这种习惯。l乞丐并不会妒忌百万富翁，但是他肯定会妒忌收入更高乞丐并不会妒忌百万富翁，但是他肯定会妒忌收入更高的乞丐。的乞丐。l即使真相并不令人愉快，也一定要做到诚实，因为掩盖即使真相并不令人愉快，也一定要做到诚实，因为掩盖真相往往要费更大力气。真相往往要费更大力气。l不要为自己持独特看法而感到害怕，因为我们现在所接不要为自己持独特看法而感到害怕，因为我们现在所接受的常识都曾是独特看法。受的常识都曾是独特看法。l不用盲目地崇拜任何权威，因为你总能找到相反的权威。不用盲目地崇拜任何权威，因为你总能找到相反的权威。l凡事不
25、要抱绝对肯定的态度。凡事不要抱绝对肯定的态度。u由于由于Cantor所创立的朴素集合论产生了悖论，所创立的朴素集合论产生了悖论，促进了集合论公理化的工作。促进了集合论公理化的工作。l具有代表性的工作有两个：具有代表性的工作有两个：由德国数学家策梅洛由德国数学家策梅洛(E.Zermelo)于于1908年首先建立，年首先建立，后来由以色列数学家弗兰克尔后来由以色列数学家弗兰克尔(A.A.Fraenkel)，挪威挪威数学家斯科伦数学家斯科伦(T.Skolem)与冯与冯诺依曼诺依曼(vonNeumann)等人于等人于20世纪世纪20年代加以改进的年代加以改进的ZF公理公理集合论系统，加入选择公理的系统
26、成为集合论系统，加入选择公理的系统成为ZFC。vonNeumann-Bernays-Gdel公理系统，简称公理系统，简称NBG系统。系统。l教材主要介绍教材主要介绍Cantor的朴素集合论的工作。的朴素集合论的工作。集合论发展史（继续）集合论发展史（继续）l设设A，B是是两两个个集集合合，所所有有有有序序对对(x,y)做做成成的的集集合合(其其中中x A，y B)，称称为为A，B的的直乘积直乘积(笛卡儿积笛卡儿积)，记以，记以A B。lA B=(x，y)x A且且y B。4 笛卡儿积(Cartesian product)笛卡儿笛卡儿(RenDescartes，15961650)在数学史上，笛卡
27、儿因与费马共同创立解析几何在数学史上，笛卡儿因与费马共同创立解析几何而闻名于世。与此同时，笛卡儿还是一位而闻名于世。与此同时，笛卡儿还是一位哲学哲学家、物理学家、生物学家，尤其在哲学上的杰出家、物理学家、生物学家，尤其在哲学上的杰出贡献使他成为当之无愧的一代哲学大师。贡献使他成为当之无愧的一代哲学大师。l笛卡儿是法国人，出生于一个贵族笛卡儿是法国人，出生于一个贵族家庭，家庭，由于体弱多病，养成了在床上读由于体弱多病，养成了在床上读书的习惯，书的习惯，这使得他有更多的时间独自静静地思考各种这使得他有更多的时间独自静静地思考各种关于自然、科学与人的问题。关于自然、科学与人的问题。l1628年，笛卡
28、儿移居荷兰，潜心从事哲学、年，笛卡儿移居荷兰，潜心从事哲学、数学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等天文学、物理学、化学和生理学等领域的研究。他的主要著作都是在荷兰完成领域的研究。他的主要著作都是在荷兰完成的，其中的，其中1637年出版的方法论年出版的方法论一书成一书成为哲学经典。这本书中的为哲学经典。这本书中的3个著名附录几个著名附录几何、折光和气象更奠定了笛卡儿何、折光和气象更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。在数学、物理和天文学中的地位。l在几何中，笛卡儿分析了几何学与在几何中，笛卡儿分析了几何学与代代数学的优缺点，指出：希腊人的几何过多的数学的优缺点，指出：希腊人的几何过多的
29、依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻碍了自由的思想和创造。他同时看到了几何碍了自由的思想和创造。他同时看到了几何的直观与推理的优势和代数机械化运算的力的直观与推理的优势和代数机械化运算的力量。于是笛卡儿着手解决这个问题，并由此量。于是笛卡儿着手解决这个问题，并由此创立了解析几何。创立了解析几何。l1650年年2月，笛卡儿在瑞典病逝。月，笛卡儿在瑞典病逝。l结论结论1设A1，A2是有限集，且不相交，则|A1 A2|=|A1|+|A2|。l结论结论2设A1，A2是任意有限集，则|A1
30、 A2|=|A1|+|A2|-|A1 A2|。l结论结论3设设A1，A2，A3是任意有限集，则是任意有限集，则|A1A2A3|=|A1|+|A2|+|A3|-|A1A2|-|A1A3|-|A2A3|+|A1A2A3|5 容斥原理(principle of inclusion-exclusion)1.等幂律：等幂律：AA=A，AA=A。2.交换律：交换律：AB=BA，AB=BA。3.结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)。4.分配律分配律：A(BC)=(AB)(AC)，5.A(BC)=(AB)(AC)。5.吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A。6 集合的运算定律
31、6.互补律：7.De Morgan律：8.同一律：EA=A，A=A。9.零一律：A=，EA=E。10.双重否定律：证明：证明：A(BC)=(AB)(AC)证明：先证证明：先证A(BC)（AB）（AC）。）。任取任取aA(BC)，则，则aA并且并且aBC。由由aBC知，知，aB或或aC。若若aB，则，则aAB；若若aC，则，则aAC。因此，因此，aAB或或aAC,即即a(AB)(AC)。再证再证(AB)(AC)A(BC)。任取任取a(AB)(AC),则则aAB或或aAC。若若aAB，则，则aA且且aB；若若aAC，则，则aA且且aC。总之，总之，aA，且，且aB或或aC，即，即aA且且aBC，亦即亦即aA(BC)。综上：综上：(AB)(AC)=A(BC)。证明：任取 ，即aAB，亦即aA且aB，于是 且 ，故 ，所以任取 ，即 且 ，亦即aA且aB，于是aAB，故 ，所以综上，得证。证明：