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1、北北师师大大版版高高中中数数学学选选修修 4-54-5不不等等式式选选讲讲全全套套教教案案目目录录1.课题：不等式的基本性质12.课题：含有绝对值的不等式的解法33.链接：不等式的图形54.课题：平均值不等式75.课题：利用平均不等式求最大（小）值106.课题：不等式的证明方法之一：比较法147.阅读材料：琴生不等式178.课题：不等式的证明方法之二：综合法与分析法189.课题：不等式的证明方法之三：反证法2210.课题：不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 2411.链接：放缩法与贝努利不等式2612.阅读材料：贝努利家族小史2713.课题：利用柯西不等式求最大（小）值3214.课题：
2、几个著名的不等式之二：排序不等式3215.课题：数学归纳法与不等式341/39课课题题：不不等等式式的的基基本本性性质质目目的的要要求求：重重点点难难点点：教教学学过过程程：一一、引引入入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。列子汤问 中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”
3、等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(ab0)，若再加 m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖
4、水浓度为ab，加入 m 克糖 后的糖水浓度为mamb，只要证mambab即可。怎么证呢?二二、不不等等式式的的基基本本性性质质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0baba0baba0baba得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：、如果 ab，那么 ba，如果 bb。(对称性)、如果 ab，且 bc，那么 ac，即 ab，bcac。、如果 ab，那么 a+cb+c，即 aba+cb+c。推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d即 ab，cda+cb+d、如果 ab
5、，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 c0，那么 acb 0，那么nnba(nN，且 n1)、如果 ab 0，那么nnba(nN，且 n1)。三三、典典型型例例题题：例 1、已知 ab，cb-d2/39例 2 已知 ab0，ca，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。三三、小小结结：四四、练练习习：解不等式1、.1122x2、01314 x3、423xx.4、xx21.5、1422 xx6、212xx.7、42 xx8、.631xx9、21 xx10、.24 xx五五、作作业业：链链接接：不不等等式式的的图图形形借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用
6、绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。1解不等式121xxx。题意即是在数轴上找出到11与22的距离之和不大于到点13的距离的所有流动点x。首先在数轴上找到点11，22，13（如图）。31x122xx6/39-10123从图上判断，在1与2之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到1与2的距离和正好是 1，而到3的距离是)21(1)1(2xxx。现在让流动点x由点1向左移动，这样它到点3的距离变
7、，而到点1与2的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于13与11之间的某一个点1x。由),1()2()1(111xxx可得.321x再让流动点x由点2向右移动，虽然这种点到1与2的距离的和及到3的距离和都在增加，但两相比较，到1与2的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点2x而止。由),1()2()1(222xxx可得.42x从而不等式的解为.432 x2画出不等式1 yx的图形，并指出其解的范围。先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：0 x，0y，1 yx.其图形是由第一象限中直线xy1下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况
8、。从而得到不等式1 yx的图形是以原点 O 为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探探究究：利用不等式的图形解不等式1.111xx;2.12yxA 组组1解下列不等式：（1）2132 x（2）1743x（3）142xx（4）xxx21222解不等式：（1）112xx（2）112xx3解不等式：（1）321xx（2）.0312xx4利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式34xx1)，画面的上、下各留 8cm 的空白，左、右各留 5cm 的空白。怎样确定画面的高与宽尺才，能使宣传画所用纸张面积最小？(2001 年全国文科高考题)解：设画面的宽为 x cm，则画面的高为
9、x4840cm，设纸张面积为 SS=676030252165000)3025(165000)164840)(10(xxxxxx当且仅当 xx3025，即 x=55 cm，此时高885548401858855答：画面高为 88cm，宽为 55cm 时，能使所用纸张面积最小。评注：在应用均值不等式解决这类实际问题时，应注意：设变量，一般把要求最大值和最小值的变量设为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；在定义域内，求函数的最大值或最小值；正确写出答案。课课题题：不不等等式式的的证证明明方方法法之之一一：比比较较法法目目的的要要求求：重重点点难难点点：教教学学过过程程：一一、引
10、引入入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：0baba0baba0baba二二、典典型型例例题题：例 1、设ba，求证：)(2322babba。例 2、若实数1x，求证：.)1()1(32242xxxx证明：采用差值比较法：2242)1()1(3xxxx15/39=3242422221333xxxxxxx=)1(234xxx=)1()1(222xxx=.43)21()1(222xx,043)21(,0)1(,122xxx且从而,043)21()1(222xx.)1()1(32242xxxx讨讨论论：若题设中去掉1x这一限制条件，要求证的结论如何变换？例 3、已
11、知,Rba求证.abbababa本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于ba,对称，不妨设.0 ba0)(0bababbabbabababababa，从而原不等式得证。2）商值比较法：设,0 ba,0,1baba.1)(baabbabababa故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果nm，问甲、乙两人谁先到
12、达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,tt。要回答题目中的问题，只要比较21,tt的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,tt，根据题意有Sntmt2211，222tnSmS，可得nmSt21，mnnmSt2)(2，从而mnnmSnmStt2)(221mnnmnmmnS)(2)(42mnnmnmS)(2)(2，16/39其中nmS,都是正数，且nm。于是021tt，即21tt。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨讨论论：如果nm，甲、乙两人谁先到达指定地点？例 5、设.1,0,12)
13、(2qppqxxf求证；对任意实数ba,，恒有).()()(qbpafbqfapf（1）证明 考虑（1）式两边的差。).()()(qbpafbqfapf 1)(2)12()12(222qbpabqap.14)1(2)1(222qppqabbqqapp（2）,0,1pqqppqabpqbpqa422)2(22.0)(22bapq即（1）成立。三三、小小结结：四四、练练习习：五五、作作业业：1比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）2x与12 xx；（2）12 xx与2)1(x.2已知.1a求证：（1）;122 aa（2）.1122 aa3若0cba，求证.)(3cbacbaabccba4比较 a
14、4-b4与 4a3(a-b)的大小解：a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)=-(a-b)20323322bba(当且仅当 db 时取等号)a4-b44a3(a-b)。5比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小6已知 x0，比较(x2+1)2与 x4+x2+1 的大小7如果 x0，比较21x与21x的大小17/398已知 a0，比较121222aaaa与1122aaaa的大小9设 x1，比
15、较 x3与 x2-x+1 的大小说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。阅阅读读材材料料：琴琴生生不不等等式式例 5 中的不等式)()()(qbpafbqfapf有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。琴生在 1905 年给出了一个定义：设函数)(xf的定义域为a,b，如果对于a,b内任意两数21,xx，都有.2)()(22121xfxfxxf（1）则称)(xf为a,b上的凸函数。若把（1）式的不等号反向，则称这样的)(xf为a,b上的凹函数。凸函数的几何意义是：过)(xfy 曲
16、线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。其推广形式是：若函数)(xf的是a,b上的凸函数，则对a,b内的任意数nxxx,21，都有.)()()(2121nxfxfxfnxxxfnn（2）当且仅当nxxx21时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。更为一般的情况是：设)(xf是定义在区间a,b上的函数，如果对于a,b上的任意两点21,xx，有),()()(2121qxpxfxqfxpf其 中1,qpRqp，则 称)(xf是 区 间 a,b 上 的 凸 函 数。如 果 不 等 式 反 向，即 有),()()(2121qxpxfxqfxpf则称)(xf是a,b上的凹函数。其 推 广
17、形 式，设1,2121nnqqqRqqq，)(xf是 a,b 上 的 凸 函 数，则 对 任 意,21baxxxn有)()()()(22112211nnnnxfqxfqxfqxqxqxqf，当且仅当nxxx21时等号成立。若)(xf是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的18/39函数，可以推出许多著名不等式。课课题题：不不等等式式的的证证明明方方法法之之二二：综综合合法法与与分分析析法法目目的的要要求求：重重点点难难点点：教教学学过过程程：一一、引引入入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者
18、在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，ABBA222是常常要用到的一个重要不等式。二二、典典型型例例题题：例 1、ba,都是正数。求证：.2abba证明：由重
19、要不等式ABBA222可得.22abbaabba本例的证明是综合法。例 2、设0,0ba，求证.2233abbaba证法一分析法要证2233abbaba成立.只需证)()(22baabbababa成立，又因0ba，只需证abbaba22成立，又需证0222baba成立，即需证0)(2ba成立.而0)(2ba显然成立.由此命题得证。19/39证法二综合法abbababababa22222020)(注意到0,0ba，即0ba，由上式即得)()(22baabbababa，从而2233abbaba成立。议议一一议议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例 3、已知 a，b，m 都是正数
20、，并且.ba 求证：.bambma（1）证法一要证（1），只需证)()(mbamab（2）要证（2），只需证ambm（3）要证（3），只需证ab（4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二因为mab,是正数，所以ambm 两边同时加上ab得)()(mbamab两边同时除以正数)(mbb得（1）。读读一一读读：如果用QP 或PQ 表示命题 P 可以推出命题 Q（命题 Q 可以由命题 P 推出），那么采用分析法的证法一就是（1）).4()3()2(而采用综合法的证法二就是).1()2()3()4(如果命题 P 可以推出命题 Q，命题 Q 也可以推出命
21、题 P，即同时有PQQP,，那么我们就说命题 P与命题 Q 等价，并记为.QP 在例 2 中，由于mbmb,都是正数，实际上).4()3()2()1(例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为2L，截面积为22L；周长为L的正方形为4L，截面积为24 L。所以本题只需证明2242LL。20/39证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为22L，截面是正方形的水管的截面面积为24 L。只需证明：2242LL。为
22、了证明上式成立，只需证明164222LL。两边同乘以正数24L，得：411。因此，只需证明4。上式显然成立，所以2242LL。这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例 5、证明：cabcabcba222。证法一因为abba222（2）bccb222（3）caac222（4）所以三式相加得)(2)(2222cabcabcba（5）两边同时除以 2 即得（1）。证法二因为,0)(21)(21)(21)(222222accbbacabcabcba所以（1）成立。例 6、证明：.)()(22222bdacdcba（1）证明（
23、1）0)()(22222bdacdcba（2）0)2(222222222222dbabcdcadbdacbca（3）022222abcddacb（4）0)(2 adbc（5）（5）显然成立。因此（1）成立。例 7、已知cba,都是正数，求证.3333abccba并指出等号在什么时候成立？分析：本题可以考虑利用因式分解公式21/39)(3222333cabcabcbacbaabccba着手。证明：abccba3333=)(222cabcabcbacba=.)()()(21222accbbacba由于cba,都是正数，所以.0cba而0)()()(222accbba，可知03333abccba即a
24、bccba3333（等号在cba时成立）探探究究：如果将不等式abccba3333中的333,cba分别用cba,来代替，并在两边同除以 3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(accbba，其中cba,是互不相等的正数，且1abc.三三、小小结结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四四、练练习习：1、已知,0 x求证：.21xx2、已知,0,0yx
25、yx求证.411yxyx3、已知,0 ba求证.baba4、已知.0,0ba求证：（1）.4)(11baba（2）.8)()(333322babababa5、已知dcba,都是正数。求证：（1）;2cdabdcba（2）.44abcddcba6、已知cba,都是互不相等的正数，求证.9)(abccabcabcba五五、作作业业：22/39课课题题：不不等等式式的的证证明明方方法法之之三三：反反证证法法目目的的要要求求：重重点点难难点点：教教学学过过程程：一一、引引入入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不
26、等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则 q”，而是先肯定命题的条件 p，并否定命题的结论 q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出
27、矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二二、典典型型例例题题：例 1、已知0 ba，求证：nnba（Nn且1n）例 1、设233ba，求证.2ba证明：假设2ba，则有ba 2，从而.2)1(68126,61282233323bbbbabbba因为22)1(62b，所以233ba，这与题设条件233ba矛盾，所以，原不等式2ba成立。例 2、设二次函数qpxxxf2)(，求证：)3(,)2(,)1(fff中至少有一个不小于21.证明：假设)3(,)2(,)1(fff都小于21，则.2)3()2(2)1(fff（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，
28、有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(qpqpqpffffff（2）23/39（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注注意意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议议一一议议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例 3、设 0 a,b,c 41,(1 b)c 41,(1 c)a 41,则三式相乘：ab (1 a)b(1 b)c
29、(1 c)a 641又0 a,b,c 0，ab+bc+ca 0，abc 0，求证：a,b,c 0证：设 a 0,bc 0,则 b+c=a 0ab+bc+ca=a(b+c)+bc 0 矛盾，必有 a 0同理可证：b 0,c 0三三、小小结结：四四、练练习习：1、利用反证法证明：若已知 a，b，m 都是正数，并且ba，则.bambma2、设 0 a,b,c 0，且 x+y 2，则xy1和yx1中至少有一个小于 2。提示：反设xy12，yx12x,y 0，可得 x+y 2与 x+y 2 矛盾。五五、作作业业：24/39课课题题：不不等等式式的的证证明明方方法法之之四四：放放缩缩法法与与贝贝努努利利不
30、不等等式式目目的的要要求求：重重点点难难点点：教教学学过过程程：一一、引引入入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二二、典典型型例例题题：例 1、若n是自然数，求证.213121112222n证明：.,4,3,2,111)1(112nkkkkkknnn)1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11nn=.212n注注意意：实际上，我
31、们在证明213121112222n的过程中，已经得到一个更强的结论nn1213121112222，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。例 2、求证：.332113211211111n证明：由,212221132111kk（k是大于 2 的自然数）得n32113211211111.3213211211121212121111132nnn例 3、若 a,b,c,dR+，求证：21caddbdccacbbdbaa25/39证：记 m=caddbdccacbbdbaaa,b,c,dR+1cbaddbadccacbabdcbaam2cdddccbabbaam1 m 2 时，求证：1)1(log)1
32、(lognnnn证：n 20)1(log,0)1(lognnnn2222)1(log2)1(log)1(log)1(log)1(lognnnnnnnnnn12log22nnn 2 时,1)1(log)1(lognnnn三三、小小结结：四四、练练习习：1、设n为大于 1 的自然数，求证.2121312111nnnn2、设n为自然数，求证.!1)122()52)(32)(12(nnnnnn五五、作作业业：A 组组1、对于任何实数x，求证：（1）4312 xx；（2）.41112xx2、设ba，求证：（1）)(2322babba；（2）).(46224224baabbbaa3、证明不等式3344ab
33、baba.4、若cba,都是正数，求证：.)()(2222333cbacbacba5、若,0cba求证.222bacacbcbacbacba6、如果ba,同号，且均不为 0.求证：2abba，并指出等号成立的条件.7、设cba,是互不相等的正数，求证：.3ccbabbacaacb8、已知三个正数cba,的和是 1，求证这三个正数的倒数的和必不小于 9.9、若20，则2cossin1.10、设Ryx,，且,1 yx求证：.9)11)(11(yx26/3911、已知0 x，求证：（1）11122xx；（2）22322xx.12、设ba,是互不相等的正数，求证：.81122babaabbaab13、
34、已知ba,都是正数，求证：（1）;9)1)(1(22abbaba（2）.9)(222222babaabbaba14、已知,1,1222222zyxcba求证：.1czbyax15、已知,1,12222yxba求证：.1byax16、已知dcba,都是正数，且有2222,dcybax求证：)(bcadbdacxy17、已知naaaa,321都是正数，且1321naaaa，求证：nnaaaa2)1()1)(1)(1(32118、设ABC的三条边为,cba求证)(2222cabcabcbacabcab.19、已知yxba,都是正数，设.,1aybxvbyaxuba求证：.xyuv 20、设n是自然数
35、，利用放缩法证明不等式.231312111nnnn21、若n是大于 1 的自然数，试证.11131211121222nnnB 组组22、已知zyxcba,都是正数，且,czbyax求证：.czcbazyxax23、设0 ba，试用反证法证明bxabxasinsin不能介于baba与baba之间。24、若n是自然数，求证.4713121112222n链链接接：放放缩缩法法与与贝贝努努利利不不等等式式在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式edcba27/39里ed和都是正数，可以舍掉ed和，从而得到一个明显成立的不等式cbaedcba.例如，对于任何0 x
36、和任何正整数n，由牛顿二项式定理可得.321)2)(1(21)1(1)1(22nnxxnnnxnnnxx舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式：nxxn1)1(.在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当n是正整数的时候成立，而且当n是任何大于 1 的有理数的时候也成立。这就是著名的贝贝努努利利不不等等式式。在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设1x，则在1或0时，xx1)1(，在10时，.1)1(xx阅阅读读材材料料：贝贝努努利利家家族族小小史史在数学发展史上，17-18 世纪出现了一个著名的数学世家贝努利（Bernoulli
37、）家族（瑞士），这个家族中的三代人中共出现了 8 位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。其中，又以第一代的雅各布贝努利（Jacob Bernoulli，1654.12-1705.8）、约翰贝努利（Johann Bernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔贝努利（Danial Bernoulli，1700.2-1782.3，约翰贝努利的儿子）最为著名。在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。除了我们前面提到的“贝努利不等式”之外，将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程”、“贝努利级数判别法”，解析几何中的“贝努利双纽线”，概率
38、论中的“贝努利定理”（即“大数定律”的早期形式）、“贝努利数”、“贝努利多项式”等等。特别是，丹尼尔贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中，取得了卓著的成就，被推崇为数学物理方法的奠基人。贝努利家族之所以取得如此大的数学成就，至少有以下几个方面的主要原因：（1）对数学的真挚热爱。考察贝努利家族的 8 位数学家，可以发现一个共同的特点：都是从父辈不同意他们研究数学，而要求他们经商、从医或做律师开始，到最终走上从事数学的生涯。这一过程中，个人对数学的极大热情和兴趣起到了决定性的作用。当然，家族的数学传统和学习精神的影响也是不容忽视的重要因素。（2）广泛的学术交流。贝努利家族的成员们，都注重与
39、当时的数学家和科学家进行广泛的学术交流和争辩，以此互相促进和提高。如雅各布贝努利、约翰贝努利与他们那个时代的大数学家、微积分的创始人莱布尼茨之间，丹尼尔贝努利与当时欧洲数学界的中心人物欧拉的频繁通信交流成为数学史上的美谈。（3）继承基础上的大胆创新。在继承已有数学研究成果的基础上大胆开拓、创新，是贝努利家族成员从事研究的又一个共同特点。贝努利家族的主要成员正处于数学思想方法的两次大转变时期：一是从常量数学到变量数学的转折；二是从确定性数学到可能性数学的转折。他们不仅善于接纳新思想、新方法，更是进行了大胆地改进、突破，取得了许多开创性的成就。亲爱的同学们，你能从贝努利家族的成功中得到哪些启示呢？
40、课课题题：几个著名的不等式之一：柯西不等式目目的的要要求求：重重点点难难点点：教教学学过过程程：一一、引引入入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：28/39定定理理 1：（柯西不等式的代数形式）设dcba,均为实数，则22222)()(bdacdcba，其中等号当且仅当bcad 时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为 A（ba,），B（dc,），那么它们的数量积为bdac，而22|ba，22|dc，
41、所以柯西不等式的几何意义就是：|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定定理理 2：（柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式）设，为平面上的两个向量，则|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定定理理 3：（三三角角形形不不等等式式）设332211,yxyxyx为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定定理理 4：（柯柯西西不不等等式式的的推推广广形形式式）：设n为大于 1 的自然数，iiba,（i1，2，n）为任意实
42、数，则：211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，n）。证明：构造二次函数：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf即构造了一个二次函数：niiniiiniibxbaxaxf121212)(2)()(由于对任意实数x，0)(xf恒成立，则其0，即：0)(4)(4121221niiniiniiibaba，29/39即：)()(121221niiniiniiibaba，等号当且仅当02211nnbxabxabxa，即等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，n）
43、。如果ia（ni 1）全为 0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变变式式 1 设),2,1(0,nibiRaiiiniiibaba212)(，等号成立当且仅当)1(niabii变变式式 2设 ai，bi同号且不为 0（i=1，2，n），则：iiiniiibaaba21)(，等号成立当且仅当nbbb21。二二、典典型型例例题题：例 1、已知122ba，122 yx，求证：1|byax。例 2、设Rdcba,，求证：222222)()(dbcadcba。例 3、设,为平面上的向量，则|。例 4、已知cba,均为正数，且1cba，求证：9111cba。方法 1：方法 2：（应用柯西不等式）
44、30/39例 5：已知1a，2a，na为实数，求证：2112)(1niiniiana。分析：推论：在n个实数1a，2a，na的和为定值为 S 时，它们的平方和不小于21Sn，当且仅当naaa21时，平方和取最小值21Sn。三三、小小结结：四四、练练习习：1、设 x1，x2，xn0,则1111nxxxniiniii2、设Rxi（i=1，2，n）且111niiixx求证:njijiniixxx1123、设 a 为实常数,试求函数)cos(sin)(xaxxf(xR)的最大值4、求函数xbxaxfcossin)(在)2,0(上的最大值,其中 a，b 为正常数五五、作作业业：1、已知：122ba，22
45、2 nm,证明：22bnam。提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。2、若Rzyx,，且zyx=a，222zyx=221a)0(a，求证：zyx,都是不大于a32的非负实数。证明：由yxaz代入222zyx=221a可得021)()(22222ayaxyaxRx0即021)(8)(42222ayayya化简可得：0232 ayy0aay320同理可得：ax320，az32031/39456xyzDFEABCP由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。3、设 ab 为不相等的正數，试证：(ab)(a3b3)(a2
46、b2)2。4、设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=10，求z9y1x4的最小值。5、设 x，y，zR，求222zy2xzyx2的最大值。6、ABC 之三边长为 4，5，6，P 为三角形內部一点 P，P 到三边的距离分別为 x，y，z，求 x2+y2+z2的最小值。解：s=2152654ABC 面积=4715232527215)()(csbsass且ABC=PAB+PBC+PAC)654(214715zyx4x+5y+6z=2715由柯西不等式(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)47152(x2+y2+z2)77x2+y2+z2442257、设三个正实数 a,b,
47、c 满足)(2)(4442222cbacba，求证：a，b，c 一定是某三角形的三边长。8、求证)3(nn个正实数 a1，a2，an满足)(1()(44241222221nnaaanaaa9、已知Rzyx,且12xx求证:1222222zzyyxx。10、设Rzyx,求证:1222222222xyyxzzxxzyyzzyx。11、设Rzyx,且 x+2y+3z=36,求zyx321的最小值32/39JFDEGCBAOP课课题题：利利用用柯柯西西不不等等式式求求最最大大（小小）值值目目的的要要求求：重重点点难难点点：教教学学过过程程：一一、引引入入：1、柯西不等式：211212)(niiinii
48、niibaba。二二、典典型型例例题题：例 1、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一个正方形。怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？例 2、如图，等腰直角三角形 AOB 的直角边为 1，在这个三角形内任意取一点 P，过 P 分别引三边的平行线，与各边围成以 P 点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的最小值，以及取到最小值时点 P 的位置。分析：三三、小小结结：四四、练练习习：五五、作作业业：课课题题：几几个个著著名名的的不不等等式式之之二二：排排序序不不等等式式目目的的要要求求：重重点点难难点点：教教学学过过程程：一一、引引入入：1、问问题题：若某网吧的 3 台电脑
49、同时出现了故障，对其维修分别需要 45min，25 min 和 30 min，每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05 元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？分析：二二、排排序序不不等等式式：1、基本概念：一般地，设有两组数：1a2a3a，1b2b3b，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有 6 个不同的和数，它们是：对 应 关 系和备注（1a，2a，3a）（1b，2b，3b）3322111bababaS同序和33/39（1a，2a，3a）（1b，3b，2b）2332112bababaS乱序和（1a，2a，3a）（2b，1b
50、，3b）3312213bababaS乱序和（1a，2a，3a）（2b，3b，1b）1332214bababaS乱序和（1a，2a，3a）（3b，1b，2b）2312315bababaS乱序和（1a，2a，3a）（3b，2b，1b）1322316bababaS反序和根据上面的猜想，在这 6 个不同的和数中，应有结论：同序和332211bababa最大，反序和132231bababa最小。2、对引例的验证：对 应 关 系和备注（1，2，3）（25，30，45）2203322111bababaS同序和（1，2，3）（25，45，30）2052332112bababaS乱序和（1，2，3）（30，25