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1、第四章第四章 重心及平面图形的几何性质重心及平面图形的几何性质 本章重点：计算均质物体的重心坐标。第一节第一节 物体重心坐标公式物体重心坐标公式 第二节第二节 平面图形的几何性质平面图形的几何性质第一节重心第一节重心重心：重心：物体重力合力的作用点。重心相对于刚体的位置固定不变。一、重心坐标公式重心坐标公式 将物体分割成许多微小部分，其中某一微小部分Mi的重力为Wi，其作用点的坐标为xi、yi、zi，重心C的坐标为xC、yC、zC。将各Wi向重心C简化：物体的重力为：应用合力矩定理，分别求物体的重力对x、y轴的矩，有 将物体随坐标系一起旋转90，使y轴铅垂向下。对x轴应用合力矩定理，有：物体重
2、心物体重心C的坐标公式为：的坐标公式为：如果将物体分割的份数为无限多，式子可改写成积分形式：三、均质平板重心的坐标公式和平面图形形心公式三、均质平板重心的坐标公式和平面图形形心公式 厚度为均质平板，其重心在其对称面内。取坐标面xy和对称面重合，平板重心的zC为零。设对称面图形的面积为A，分割平面，某一微小部分的面积为Ai，重力为Wi，平板的重力 W=该式亦为平面图形形心公式。无限分割平面，平面图形的形心公式的积分形式为：代入重心公式，得均质平板的重心公式：对于均质物体，如其几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。1.观察法观察法 2.组合法
3、组合法 将复杂形体视为简单形体组合，这些简单形体的重心已知的或易求，这样整个形体的重心就可用坐标公式直接求得。四、确定重心的常用方法四、确定重心的常用方法例例4-1 角钢截面的尺寸如图所示。试求其形心的位置。解解：（一）组合法（一）组合法 取Oxy坐标系如图所示。xy例例4-2(1)悬挂法悬挂法 4.实验法实验法 过点A将板悬挂，作悬挂绳延长线AB，过D点将板悬挂，得DE线，两线的交点为板的重心。问：悬挂法的依据是什么？二力平衡公理(2)称重法称重法 先称出物体的重量，然后将其一端支于固定支点A，另一端放在磅秤上再称得一数值，由平衡方程确定重心的位置。图示连杆，秤得其重量为W，第二次秤的读数等
4、于秤对连杆的约束反力。由平衡方程FNBFNA第二节第二节第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质一、静矩一、静矩设该设该平面平面图图形的形心形的形心C的坐的坐标为标为xC、yC，若若xC=0、yC=0，则则Sy=0、Sx=0。可。可见见，若某，若某轴轴通通过过图图形的形心，形的形心，则图则图形形对该轴对该轴的静矩必等于零。的静矩必等于零。静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。二、惯性矩和惯性积二、惯性矩和惯性积1.惯性矩惯性矩惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲。惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲。i：惯
5、性半径惯性半径 组合图形对某轴的惯性矩组合图形对某轴的惯性矩 2计算惯性矩的平行移轴公式计算惯性矩的平行移轴公式4.惯性积惯性积极极惯惯性矩性矩Ip恒恒为为正正值值，具有，具有长长度的四次方的量度的四次方的量纲纲。3.极惯性矩极惯性矩惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零。惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零。例例4-3试试求矩形求矩形对对其形心其形心轴轴x、y以及以及x1的的惯惯性矩性矩Ix、Iy、Ix1。解：解：取与取与x轴平行的狭长条为微面积，则轴平行的狭长条为微面积，则dA=bdy。再取与再取与y轴轴平行的狭平行的狭长长条条为为微面微面积积 根据平行轴公式根据平行轴公
6、式 例例4-4 试试求求圆圆形和形和圆环圆环形形图图形形对圆对圆心的极心的极惯惯性矩性矩Ip以及以及对对各自形各自形心心轴轴x、y的的惯惯性矩性矩Ix、Iy。解：解：（一）圆形（一）圆形在圆形上距圆心为在圆形上距圆心为处取宽度为处取宽度为d的细的细圆环为微面积圆环为微面积 一、重心公式一、重心公式1.一般物体一般物体2.均质物体均质物体3.均均质质平板平板小小 结结 二、确定重心的常用方法二、确定重心的常用方法1.观察法；观察法；2.组合法；组合法；3.负面积法；负面积法；4.积分法；积分法；5.实验法。实验法。三、截面的几何性质三、截面的几何性质1.静矩静矩2.惯性矩惯性矩组合图形对某轴的惯性矩组合图形对某轴的惯性矩 计算惯性矩的平行移轴公式计算惯性矩的平行移轴公式3.极惯性矩极惯性矩