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1、3 自校正限制系统自校正限制系统3.1随机过程及其数学描述随机过程及其数学描述一.随机过程在系统限制上常用到两类不同的信号确定性信号：可以精确的用一个确定性的时间函数描述。不确定性信号：随机信号。确定性信号：能重现例：阶跃信号、正弦信号 不确定性信号：不能重现 在数学上用随机过程来描述随机信号，由于限制系统接受数字计算机实现系统限制，因此要探讨离散随机过程。用离散的随机过程来描述随机信号，对于随意时刻 是一个随机变量。就是一个时间序列。从概率的观点描述随机序列统计特性1.某一时刻 ，随机变量 的概率用一阶概率密度函数表示 （它只给出了任一时刻 出现的概率，但它没有给出不同时刻随机变量之间的依靠
2、关系）2.不同时刻，随机变量之间的依靠关系，应当用二阶联合概率密度表示 上式的物理意义是：随机变量 和 同时在区间 ,之中取值的概率。假如一个随机序列，一阶概率密度、二阶、高阶联合概率密度都已获得，在数学上就认为这个随机序列已能够完全描述，在工程上要获得这样多的统计信息是特别困难的，有时是不行能的。在工程上最感爱好的是他的特征量。特征量不但能刻画出随机过程的特性，而且便于实际测量和运算。特征量：1.均值：随机序列 的数学期望称为均值 均值2.均方值：3.方差：4.相关系数（coefficient of correlation）二.平稳随机过程：平稳随机过程 对随意时刻 具有如下的统计特性1.2
3、.平稳随机工程的统计特性不随时间的推移而变更。均值 均方值 方差 三.独立随机过程（Independent stochastic prcesses）一阶概率密度 二阶联合概率密度 独立随机工程在任一时刻的状态和其他任何时刻的状态是 互不影响的。由上式可知：独立随机过程的一阶概率密度函数包含着过程的全部统计信息。独立随机过程在物理上是存在的，例如在数字限制系统种，只要采样周期足够长，各时刻的采样值不相互关，因此可以看成是一个独立随机过程。3.2.相关系数（Correlation coefficient）描述一个随机过程，须要知道一阶，二阶和高阶联合概率密度函数，在工程上只应用简洁获得的一阶，二阶
4、统计特性。均值是描述了随机过程的一阶统计特性，相关系数描述了随机过程的二阶统计特性。自相关函数定义：对于一个连续时间的随机过程 ，在不同时刻 对于一个离散的随机序列 ，两个不同时刻 时间间隔 相关系数 给出了随机过程 时间间隔为 的两个随机变量相互依靠程度的一种度量。相关系数有三点重要性质(1)(2)(3)1 平稳随机过程联合概率密度表明二阶联合概率密度只和 有关。相关系数只是n的函数2.独立随机过程 例 求零均值独立平稳随机序列相关系数解：独立、平稳随机序列的相关系数如下：假如是零均值的独立平稳随机序列说明 与 的依靠程度为0或者说 与 无关例 设有随机序列 满足下列差分方程其中 为零均值独
5、立随机序列。由于依据递推算法3.3 功率谱密度 相关系数随机信号的时域描述 功率谱密度随机信号的频域描述 z变换：为一复变量，取 频域：Z反变换 假如选封闭曲线C为z平面的单位圆，即 且在收敛域内 假如探讨的随机序列是平稳随机序列。为一常数 相当序列的平均功率 在整个周期内的积分等于 平均功率。可以看成在 内所含的平均功率。因此 或 称为功率谱密度。随意平稳随机过程功率谱密度 都是 的实值函数，而且是 的偶函数 由于 （因为0均值独立平稳随机过程 以上与白光功率谱密度相像，故叫白噪声。若 叫单位白噪声）由于在光学中白色光的功率谱密度为 ，称 为单位白噪声。对于独立平稳随机序列 称为单位白噪声3
6、.4 随机过程的动态分析 给出一个系统，当输入为单位脉冲函数 ，输出为单位脉冲响应 。传递函数 脉冲传递函数 系统确定，我们认为 已定 输入函数 ，已知均值 ，相关系数 求输出 随机序列的均值 与相关系数 解：依据卷积定理 输出均值 对于平稳随机过程相关系数为了实现进一步简化依据 换元令均值相关系数 取Z变更 取到频域假定输入白噪声假定输入单位白噪声3.5 谱分解（谱分解（spectrum resolution）假如输入假如输入 为单位白噪声。为单位白噪声。这时输出的功率谱密度这时输出的功率谱密度 假如我们知道了平稳随机过程的功率谱密度假如我们知道了平稳随机过程的功率谱密度 ，把它进行分解成，把它进行分解成 称为谱分解。这称为谱分解。这样就找到了样就找到了 ，平稳随机过程可以用白噪声通，平稳随机过程可以用白噪声通过过 输出来进行模拟。输出来进行模拟。对象例：给定平稳随机过程的相关系数功谱密度它的功率谱密度 (现场中，随机干扰是未知的，但它的方差，相关系数以及前面讲的统计特性是已知，则可以得到功率密度)