高中数学选修2-2教案.pdf

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1、选修 2-2 教案 第一章 导数及其应用 1.1.1 变化率问题 教学目标：1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念 教学过程：一创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是

2、研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 二新课讲授（一）问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV 如果将半径r 表示为体积 V 的函数,那么343)(VVr 分析:343)(VVr，当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()

3、1(Ldmrr 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少 1212)()(VVVrVr 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态 思考计算：5.00 t和21 t的平均速度v 在5.00 t这段时间里，)/(05.405.0)0()5

4、.0(smhhv；在21 t这段时间里，)/(2.812)1()2(smhhv 探究：计算运动员在49650 t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 探究过程：如图是函数h(t)=+10 的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650 t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 1212)()(xxxfxf表示,称

5、为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 2若设12xxx,)()(12xfxff(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样)()(12xfxfyf)3 则平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212 思考：观察函数f(x)的图象 平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么 直线AB的斜率 三典例分析 x2 O y y=f(x)f(x1)f(x2)y=f(x2)-f(x1)x 例 1已知函数f(x)=xx 2的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB,则xy 解：)1()1(22xxy，xxxxxy32)1()1(2 例2 求2x

6、y 在0 xx 附近的平均变化率。解：2020)(xxxy，所以xxxxxy2020)(xxxxxxxx020202022 所以2xy 在0 xx 附近的平均变化率为xx02 四课堂练习 1质点运动规律为32 ts，则在时间)3,3(t中相应的平均速度为 2.物体按照s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=时割线的斜率.253 t五回顾总结 1平均变化率的概念 2函数在某点处附近的平均变化率 六教后反思：1.1.2 导数的概念 教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

7、2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念 教学过程：一创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650 t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 探究过程：如图是函数h(t)=+10 的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650 t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用

8、平均速度不能精确描述运动员的运动状态 二新课讲授 1瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢比如，2t 时的瞬时速度是多少考察2t 附近的情况：思考：当t趋近于 0 时，平均速度v有什么样的变化趋势 结论：当t趋近于 0 时，即无论t从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1 从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t 时的瞬时速度是13.1/m s 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1tht

9、ht 表示“当2t，t趋近于 0 时，平均速度v趋近于定值13.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxf xxf xfxx 我们称它为函数()yf x在0 xx出的导数，记作0()fx或0|x xy，即 0000()()()limxf xxf xfxx 说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 （2）0 xxx，当0 x 时，0 xx，所以0000()()()limxf xf xfxxx 三典例分析 例 1（

10、1）求函数y=3x2在x=1 处的导数.分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2 再求6fxx再求0lim6xfx 解：法一 定义法（略）法二：2222111133 13(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx （2）求函数f(x)=xx 2在1x 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解：xxxxxy32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx 例 2（课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)f xxxx，计算第2h时和第

11、6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是(2)f和(6)f 根据导数定义，0(2)()fxf xfxx 22(2)7(2)15(272 15)3xxxx 所以00(2)limlim(3)3xxffxx 同理可得:(6)5f 在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和 5，说明在2h附近，原油温度大约以3/C h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/C h的速率上升 注：一般地，0()fx反映了原油温度在时刻0 x附近的变化情况 四课堂练习 1质点运动规律为32 ts，求质点在3t 的瞬时速度为 2求曲线y=f(x)=x3

12、在1x 时的导数 3例 2 中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 五回顾总结 1瞬时速度、瞬时变化率的概念 2导数的概念 六教后反思：1.1.3 导数的几何意义 教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义 教学过程：一创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数0(

13、)fx的几何意义是什么呢 二新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图，当(,()(1,2,3,4)nnnP xf xn 沿着曲线()f x趋近于点00(,()P xf x时，割线nPP的变化趋势是什么 我们发现,当点nP沿着曲线无限接近点P即x0 时,割线nPP趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系 切线PT的斜率k为多少 容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnf xf xkxx,当点nP沿着曲线无限接近点P时，nk无限趋近于切线PT的斜率k，即0000()()lim()xf xxf xkfxx 说明：（

14、1）设切线的倾斜角为,那么当x0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在0 xx处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点00(,()xf x处的切线的斜率，即 0000()()()limxf xxf xfxkx 说明：求曲线在某点处的切线方程的

15、基本步骤:求出P点的坐标;求出函数在点0 x处的变化率0000()()()limxf xxf xfxkx ，得到曲线在点00(,()xf x的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,0()fx 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：()fx或y，即:0()()()limxf xxf xfxyx 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（三）函数()f x在点0 x处的导数0()fx、导函数()fx、导数 之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数0()fx，就是在该点的函数的改变量与自变

16、量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数 f(x)的导函数 (3）函数()f x在点0 x处的导数0()fx就是导函数()fx在0 xx处的函数值，这也是 求函数在点0 x处的导数的方法之一。三典例分析 例 1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1 在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100(1)1(11)2|limlim2xxxxxxyxx ,所以，所求切线的斜率为 2，因此，所求的切线方程为22(1)yx即20 xy（2）因为2222111133 13(1)|limlimli

17、m3(1)611xxxxxxyxxx 所以，所求切线的斜率为 6，因此，所求的切线方程为36(1)yx即630 xy（2）求函数f(x)=xx 2在1x 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解：xxxxxy32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx 例 2（课本例 2）如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2()4.96.510h xxx，根据图像，请描述、比较曲线()h t在0t、1t、2t附近的变化情况 解：我们用曲线()h t在0t、1t、2t处的切线，刻画曲线()h t在上述三个时刻附近的变化情况（1）当0tt时，曲线()h t在0t

18、处的切线0l平行于x轴，所以，在0tt附近曲线比较平坦，几乎没有升降（2）当1tt时，曲线()h t在1t处的切线1l的斜率1()0h t，所以，在1tt附近曲线下降，即函数2()4.96.510h xxx 在1tt附近单调递减（3）当2tt时，曲线()h t在2t处的切线2l的斜率2()0h t，所以，在2tt附近曲线下降，即函数2()4.96.510h xxx 在2tt附近单调递减 从图可以看出，直线1l的倾斜程度小于直线2l的倾斜程度，这说明曲线在1t附近比在2t附近下降的缓慢 例 3（课本例 3）如图，它表示人体血管中药物浓度()cf t(单位：/mg mL)随时间t（单位：min）变

19、化的图象根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t在此点处的切线的斜率 如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值 作0.8t 处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k 所以 (0.8)1.4f 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t 药物浓度瞬时变化率()f t 0 四课堂练习 1求曲线y=f

20、(x)=x3在点(1,1)处的切线；2求曲线yx在点(4,2)处的切线 五回顾总结 1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义 六教后反思：1.2.1 几个常用函数的导数 教学目标：1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式；2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数 教学重点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式及应用 教学难点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式 教学过程：一创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数()yf x，如何求它的导数呢 由导

21、数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数 二新课讲授 1函数()yf xc的导数 根据导数定义，因为()()0yf xxf xccxxx 所以00limlim 00 xxyyx 函数 导数 yc 0y 0y 表示函数yc图像（图）上每一点处的切线的斜率都为 0 若yc表示路程关于时间的函数，则0y 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即物体一直处于静止状态 2函数()yf xx的导数 因为()()1y

22、f xxf xxxxxxx 所以00limlim11xxyyx 函数 导数 yx 1y 1y 表示函数yx图像（图）上每一点处的切线的斜率都为 1 若yx表示路程关于时间的函数，则1y 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动 3函数2()yf xx的导数 因为22()()()yf xxf xxxxxxx 2222()2xx xxxxxx 所以00limlim(2)2xxyyxxxx 函数 导数 2yx 2yx 2yx 表示函数2yx图像（图）上点(,)x y处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0 x 时，随着

23、x的增加，函数2yx减少得越来越慢；当0 x 时，随着x的增加，函数2yx增加得越来越快若2yx表示路程关于时间的函数，则2yx 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x 4函数1()yf xx的导数 因为11()()yf xxf xxxxxxx 2()1()xxxx xxxxxx 所以220011limlim()xxyyxxxxx 函数 导数 1yx 21yx 5函数()yf xx的导数 因为()()yf xxf xxxxxxx ()()()xxxxxxxxxx ()()xxxxxxx 所以0011limlim2xxyyxxxxx 函数 导数 yx 12yx （2）推广：若*(

24、)()nyf xxnQ，则1()nfxnx 三课堂练习 1课本 P13探究 1 2课本 P13探究 2 四回顾总结 函数 导数 yc 0y yx 1y 2yx 2yx 1yx 21yx yx 12yx *()()nyf xxnQ 1nynx 五教后反思：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标：1熟练掌握基本初等函数的导数公式；2掌握导数的四则运算法则；3 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程：一创设情景 五种常见函数

25、yc、yx、2yx、1yx、yx的导数公式及应用 二新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表 函数 导数 yc 0y yx 1y 2yx 2yx 1yx 21yx yx 12yx *()()nyf xxnQ 1nynx （二）导数的运算法则 导数运算法则 函数 导数 yc 0y *()()nyf xxnQ 1nynx sinyx cosyx cosyx sinyx ()xyf xa ln(0)xyaa a()xyf xe xye()logaf xx 1()log()(01)lnaf xxfxaaxa且()lnf xx 1()fxx 1()()()()f xg xfxg x 2()()()()()

26、()f xg xfx g xf x g x 32()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x（2）推论：()()cf xcfx （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三典例分析 例 1假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp tp，其中0p为0t 时的物价假定某种商品的01p，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）解：根据基本初等函数导数公式表，有()1.05 ln1.05tp t 所以10(10)1.05 ln1.050.08p（元

27、/年）因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约为元/年的速度上涨 例 2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数（1）323yxx（2）1111yxx；（3）sinlnyxxx；（4）4xxy；（5）1 ln1 lnxyx（6）2(251)xyxxe；（7）sincoscossinxxxyxxx 解：（1）332(23)()(2)(3)32yxxxxx，232yx。（2）11()()11yxx22(1)(1)(1)(1)xxxx 221122(1)(1)xxxx 221112(1)(1)xxx 2221(1)(1)(1)2xxxx 2(1)(1)xxxx 2(1)(1)xx

28、yxx（3）(sinln)(ln)sin yxxxxxx(ln)sin(ln)(sin)xxxxxx 1(1 ln)sin(ln)cosxxxxxxx sinlnsinlncosxxxxxx sinlnsinlncosyxxxxxx（4）224(4)1 44 ln41ln4()4(4)(4)4xxxxxxxxxxxxxy，1ln44xxy。（5）2211 ln212()(1)2()21 ln1 ln1 ln(1ln)(1ln)xxyxxxxxx 22(1ln)yxx（6）22(251)(251)()xxyxxexxe 22(45)(251)(24)xxxxexxexxe，2(24)xyxxe。

29、（7）sincos()cossinxxxyxxx 2(sincos)(cossin)(sincos)(cossin)(cossin)xxxxxxxxxxxxxxx 2(coscossin)(cossin)(sincos)(sinsins)(cossin)xxxxxxxxxxxxxco xxxx 2sin(cossin)(sincos)s(cossin)xxxxxxxxxco xxxx 22(cossin)xxxx。22(cossin)xyxxx【点评】求导数是在定义域内实行的 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心 例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不

30、断增加 已知将1吨水净化到纯净度为%x时所需费用（单位：元）为 5284()(80100)100c xxx 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%（2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 252845284(100)5284(100)()()100(100)xxc xxx 20(100)5284(1)(100)xx 25284(100)x（1）因为25284(90)52.84(10090)c，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是元/吨（2）因为25284(98)1321(10090)c，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是 1321 元/吨

31、函数()f x在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢 由上述计算可知，(98)25(90)cc它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的 25倍 这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快 四课堂练习 1课本 P92练习 2已知曲线C：y 3 x 42 x39 x24，求曲线C上横坐标为 1 的点的切线方程；（y 12 x 8）五回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则 六教后反思：复合函数的求导法则 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自

32、变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确 一创设情景（一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算法则 函数 导数 yc 0y *()()nyf xxnQ 1nynx sinyx cosyx cosyx sinyx ()xyf xa ln(0)xyaa a()xyf xe xye()logaf xx 1()log()(01)lnaf xxfxaaxa且()lnf xx 1()fxx 导数运算法则 1()()()()f xg xfxg x 2()()()()()()f xg xfx g xf x g

33、 x 32()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x （2）推论：()()cf xcfx （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()yf u和()ug x，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数()yf u和()ug x的复合函数，记作()yf g x。复合函数的导数 复合函数()yf g x的导数和函数()yf u和()ug x的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 若()yf g x，则()()()yfg xfg xg x 三典例

34、分析 例 1（课本例 4）求下列函数的导数：（1）2(23)yx；（2）0.051xye；（3）sin()yx（其中,均为常数）解：（1）函数2(23)yx可以看作函数2yu和23ux的复合函数。根据复合函数求导法则有 xuxyyu=2()(23)4812uxux。（2）函数0.051xye可以看作函数uye和0.051ux 的复合函数。根据复合函数求导法则有 xuxyyu=0.051()(0.051)0.0050.005uuxexee 。（3）函数sin()yx可以看作函数sinyu和ux的复合函数。根据复合函数求导法则有 xuxyyu=(sin)()ss()uxco ucox。例 2 求2

35、sin(tan)yx的导数 解：2222sin(tan)cos(tan)sec()2yxxxx 2222 cos(tan)sec()xxx 2222 cos(tan)sec()yxxx【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果 例 3 求22xayxax的导数 解：2222212()222xaxaxxaxaxyxax 22222222(2)22aaxaxxaxxax xax，22222(2)axaxyxax 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数求导数后要予以化简整理 例 4 求

36、y sin4x cos 4x的导数【解法一】y sin 4x cos 4x(sin2x cos2x)22sin2cos2x121sin22 x 141（1cos 4 x）4341cos 4 xysin 4 x【解法二】y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x(cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x(sin x)4 sin x cos x(sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步 例 5 曲

37、线y x（x 1）（2x）有两条平行于直线y x的切线，求此二切线之间的距离【解】y x 3 x 2 2 x y3 x 22 x 2 令y1 即 3 x22 x 10，解得 x 31或x 1 于是切点为P（1，2），Q（31，2714），过点P的切线方程为，y 2x 1 即 x y 10 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为 2|1271431|22716 四课堂练习 1 求 下 列 函 数 的 导 数 (1)y=sinx3+sin33x；（2）122sinxxy;(3)2(log2xa 2.求)132ln(2 xx的导数 五回顾总结 六教后反思：1.3.1 函数的单调性与

38、导数（2 课时）教学目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系；2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：一创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用 二新课讲授 1问题：图（1），它

39、表示跳水运动中高 度h随 时 间t变 化 的 函 数 2()4.96.510h ttt 的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数()()9.86.5v th tt 的图像 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()h t是增函数相应地，()()0v th t（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()h t是减函数相应地，()()0v th t 2函数的单调性与导数 的关系 观 察下面函数的图像，探 讨函数的单调性与其 导

40、数正负的关系 如图，导数0()fx表示函数()f x在点00(,)xy处的切线的斜率 在0 xx处，0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x在0 x附近单调递增；在1xx处，0()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x在1x附近单调递减 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间(,)a b内，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递减 说明：（1）特别的，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内是常函数 3求解函数()yf x单调区间的步骤：（1）确定函数()yf x的定义域；（2

41、）求导数()yfx；（3）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为减区间 三典例分析 信例 1已知导函数()fx的下列息：当14x时，()0fx；当4x，或1x 时，()0fx；当4x，或1x 时，()0fx 试画出函数()yf x图像的大致形状 解：当14x时，()0fx，可知()yf x在此区间内单调递增；当4x，或1x 时，()0fx；可知()yf x在此区间内单调递减；当4x，或1x 时，()0fx，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”综上，函数()yf x图像的大致形状如图所示 例 2判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1

42、）3()3f xxx；（2）2()23f xxx（3）()sin(0,)f xxx x；（4）32()23241f xxxx 解：（1）因为3()3f xxx，所以，22()333(1)0fxxx 因此，3()3f xxx在R上单调递增，如图（1）所示 （2）因为2()23f xxx，所以，()2221fxxx 当()0fx，即1x 时，函数2()23f xxx单调递增；当()0fx，即1x 时，函数2()23f xxx单调递减；函数2()23f xxx的图像如图（2）所示（3）因为()sin(0,)f xxx x，所以，()cos10fxx 因此，函数()sinf xxx在(0,)单调递减，

43、如图（3）所示（4）因为32()23241f xxxx，所以 当()0fx，即 时，函数2()23f xxx ；当()0fx，即 时，函数2()23f xxx ；函数32()23241f xxxx的图像如图（4）所示 注：（3）、（4）生练 例 3如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快反映在图像上，（A）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况 解：1,2,3,4BADC 思考：例 3 表明

44、，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在 这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些 如图所示，函数()yf x在0,b或,0a内的图像“陡峭”，在,b 或,a内的图像“平缓”例 4求证：函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数 证明：因为22661262612yxxxxxx 当2,1x 即21x 时，0y，所以函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数 说明：证明可导函数 f x在,a b内的单调性步骤：（1）

45、求导函数 fx；（2）判断 fx在,a b内的符号；（3）做出结论：0fx 为增函数，0fx 为减函数 例 5已知函数 232()4()3f xxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围 解：2()422fxaxx，因为 f x在区间1,1上是增函数，所以()0fx 对1,1x 恒成立，即220 xax对1,1x 恒成立，解之得：11a 所以实数a的取值范围为1,1 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则()0fx；若函数单调递减，则()0fx”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解 例 6已知函数y=x+

46、x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y=(x+x1)=11x2=222)1)(1(1xxxxx 令2)1)(1(xxx0.解得x1 或x1.y=x+x1的单调增区间是(，1)和(1，+).令2)1)(1(xxx0，解得1x0 或 0 x1.y=x+x1的单调减区间是(1，0)和(0，1)四课堂练习 1求下列函数的单调区间(x)=2x36x2+7 (x)=x1+2x 3.f(x)=sinx,x2,0 4.y=xlnx 2课本 练习 五回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()yf x单调区间（3）证明可导函数 f x在,a b内的单调性 六教后反思：函数的极值与导数（2 课时）教学

47、目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一创设情景 观察图，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大那么，函数()h t在此点的导数是多少呢此点附近的图像有什么特点相应地，导数的符号有什么变化规律 放大ta附近函数()h t的图像，如图 可以看出()h a；在ta，当ta时，函数()h t单调递增，()0h t；当ta时，函数()h t单调递减，()0h t；这就说明，在t

48、a附近，函数值先增（ta，()0h t）后减（ta，()0h t）这样，当t在a的附近从小到大经过a时，()h t先正后负，且()h t连续变化，于是有()0h a 对于一般的函数 yf x，是否也有这样的性质呢 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二新课讲授 1问题：图（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510h ttt 的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数()()9.86.5v th tt

49、的图像 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 通过观察图像，我们可以发现：（3）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()h t是增函数相应地，()()0v th t（4）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()h t是减函数相应地，()()0v th t 2函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系 如图，导数0()fx表示函数()f x在点00(,)xy处的切线的斜率在0 xx处，0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x在0 x附近单调递增；在1xx处，0

50、()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x在1x附近单调递减 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间(,)a b内，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递减 说明：（1）特别的，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内是常函数 3求解函数()yf x单调区间的步骤：（1）确定函数()yf x的定义域；（2）求导数()yfx；（3）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为减区间 三典例分析 例 1（课本例 4）求 31443f xxx的极值