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1、 1 毕达哥拉斯学派之多边形数教学课例 合隆镇高级中学数学组 张喜梅 一、教学内容 古希腊毕达哥拉斯学派在世界史上最早建立了数与形之间的关系。在当时没有纸制品的情况下，他们用小石子代替数研究数的性质建立了几何学和算数学的纽带，有了早期的“数形结合”思想。最典型的属毕达哥拉斯学派的“形数”问题。数学史是数学文化的一部分，今天它已走进了高中课堂，如人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学选修 31 数学史选讲，近年以数学史为背景进行高考命题已经成为高考试题渗透数学文化的一个特色试题，常常以数学美的发现和挖掘为基础命题。把数学史作为题源，在数学史中寻找命题背景是数学文化实体命题制的重要途径。这种方
2、式可以让学生重温历史上面临的各种数学难题，体会数学文化的价值。本节课为人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学选修 31 数学史选讲的第二章第二节 毕达哥拉斯学派，是借助于多边形数某些典例，引导学生了解古代数学家对数学的贡献,充分认识数学文化历史的悠久,依靠数学家的发现结合高考题探索多边形数的结论及其应用，从而进一步激发培养学生学习研究兴趣。二、建议思考的问题（1）在信息技术高速发展的今天，如何恰当的使用多媒体创设情境发挥辅助教学的作用。（2）如何在教学中更生动创建生活情境，提炼数学问题，做到理论与实践相结合。三、课例描述 1.创设情境，引入课题 毕达哥拉斯公元前 551前 479 年 爱因
3、斯坦说：在科学的殿堂里由三种人，一种人为 谋取功利，另一种人为满足兴趣，再一种人为追求真理。毕达哥拉斯 就属于第三种人。毕达哥拉斯,古希腊数学家、哲学家。他精于数学、哲学、天文学、音乐理论，是数学学科奠基人，他对数学的贡献有很 多如毕达哥拉斯定理，发现了三角形内角和是 0180 发明了用几何作 图法解二次方程，最早把自然数划分为奇数和偶数，最早发现了完全 数和亲和数等等。毕达哥拉斯学派有一个基本的信条-万物皆数。数在物质之先，一切事物都是由数产生的。2.师生互动，学习新知 毕达哥拉斯学派的数学家们对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称“形数”，就是形与数的结合物。在当时
4、没有纸质的情况下，他们在沙滩上画点或者是用小石子表示数。把形分成三角形，正方形，五边形等等，将数分成三角形数，正方形数，五边形数用点排成的图形如下：图 1 多边形数 多边形数也称“形数”，是指 可以排成正多边形的整数。图（1）的点数叫做三角形数，从上到下，第一个三角形数是 1，第二个三角形数是 1+2=3，第三个三角形数是 1+2+3=6，2 第 n 个三角形数是 1+2+3+n=2)1(nn，即 图（1）图（2）的点数 1，4，9，16叫做正方形数 图（2）（由同学观察讨论求出第 n 个数：（2n）（师）正方形数可以看作从 1 起的连续奇数之和 如 1+3+5+7=16=24（师）类似的可以
5、做出五边形数和六边形数，请同学们参照之前的三角形数和正方形数完成右表。（学生独立完成，也可学习小组讨论完成 培养学生独立思考、分析问题、解决问题 的好习惯，而且培养学生合作学习、交流 彼此取长补短。）五边形数 六边形数 序号 三角形数 1 1 2 1+2=3 3 1+2+3=6 4 1+2+3+4=10 n 1+2+3+4+n=(1)2nn 序号 正方形数 1 1 2 1+3=4=22 3 1+3+5=9=23 4 1+3+5+7=16=24 n 1+3+5+7+（2n-1）=2n 序号 五边形数 六边形数 1 2 3 4 n 3 由上述推理，并结合图中的演变过程，进一步观察多边形数之间的关系
6、得到 K 边形数，并整理基本多边形数结论如下；三角形数的第 n 个数是 以 1 为首项，1 为公差等差数列的前 n 项和，正方形数的第 n 个数为以 1 为首项，2 为公差的等差数列的前 n 项和，五边形数的第 n 个数为以 1 为首项，3 为公差的等差数列的前 n 项和，六边形数的第 n 个数为以 1 为首项，4 为公差的等差数列的前 n 项和，则 K 边形数的第 n 个数为以 1 为首项（k-2）为公差的等差数列的前 n 项和 3.走近高考，亲身体验 一、（2013 年高考湖北理科卷 14）古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1，3，6，10,第 n 个三角形数为 2(
7、1)11222nnnn，记第 n 个 k 边形数为 N（n,k）(k3)。下列出了部分多边形数中第 n 个数的表达式 三角形数 211(,3)22Nnnn 正方形数 2(,4)Nnn 五边形数 231(,5)22Nnnn 六边形数 2(,6)2Nnnn 可以推测 N（n,k）的表达式。由此计算 N（10,24）=_ 依据上面的图形，首先可以通过观察题目给出的前几个多边形数,分析寻找其中的规律，然后猜想和归纳出第 n 个 k 边形数 N（n,k）的表达式，进而计算出 N（10,24）的值。（此题考察多边形数内在的普遍性规律对考生的归纳抽象能力要求比较高，需要考生找出规律大胆猜测并归纳出一般结论。
8、）二、(2012 年湖北文 17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们研究过如图所示的三角形数:如图 5 将三角形数 1,3,6,10记为数列na 将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列nb，可以推测：（1）2012b 是数列中的第_项。（2）12kb=_（用 k 表示）（本题考察三角形数被五整除后的数列与原数列之间的关系。俩道题大背景都是古希腊毕达哥拉斯的形数问题，只是考察的侧重点不同)4 4、实践讨论，练习巩固（1）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题 他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形
9、状对数 进行分类如下图中实心点的个数 5，9，14，20，为梯形数根据图形 的构成，记此它的的第 2013 项为，则-5=（）A20192013 B20192012 C10062013 D20191006 （2）.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如他们研究过图中的 1，3，6，10,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数。类似地称图中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289 B.1024 C.1225 D.1378(以多边形数问题为背景，考察学生的数学逻辑推理与直观想象。通过教师简单剖析，显示教师在平时的教学过程中注重数学文化的渗透的重要性。)5.师生总结，构建网络：（方式：先有几个学生谈谈本节课的收获，最后教师做出归纳性总结，达到知识网络化。）教法教具:引导发现，归纳总结。转化为数学学科知识解决实际问题。利用多媒体实际教学，引入数学史上的故事节省时间，激发兴趣。创建高效课堂。课后反思：本节课成功之处是利用古希腊数学家研究的数学真理，提出数学问题，通过高考命题的方向，带领学生多样化的的学习。2013a2013a2013a2013a2013a