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1、分析的化身-欧拉 教学目标分析：1、了解欧拉的数学成就。2、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神 重难点分析：重点：了解欧拉对数学发展的贡献。难点：理解 18 世纪数学发展的特点。教学准备：多媒体课件 教学过程：一、时代背景-十八世纪的数学 1、17 世纪最伟大的数学成就是微积分，18 世纪的大部分数学工作则是多方面利用微积分方法所进行的新的创造产生了现在仍在研究的许多数学新领域：微分方程、微分几何、变分法，等等 2、18 世纪数学研究的特点是，取得的成果相当丰富，涉猎的领域十分广泛，但其中有些内容却经不起严格的推敲。3、18 世纪数学界的中心人物、在数
2、学史上，阿基米德、牛顿、欧拉和高斯一起被称为“四个最伟大的数学家”18 世纪数学工作的推动力是解决物理自然科学的问题，工作的目标不是数学，而是解决物理问题 二、欧拉对微积分的贡献 18 世纪微积分最重大的进步是由欧拉（Leonard Euler，1707-1783）作出的。欧拉在 1748 年出版的无限小分析引论、1755 年发表的微分学、1770 年发表的积分学是微积分史上里程碑式的著作。他们在很长的时间里被当作分析课本的典范普遍使用着。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的符号如：函数符号 f（x）、求和符号、自然对数底、虚数单位 i 等，对分析表述的规范化起到
3、了重要作用。三、欧拉在数学上的贡献 引进函数定义，并提出了代数函数与超越函数、三角函数、指数函数、对数函数、函数、函数。解决了下列和式当 p 为偶数时的和 1111.23pppn 发展了棣莫弗公式，得到等式 10ie 最早将微积分用于研究曲线和曲面，从而创立了微分几何。第一次将分析工具用于数论研究，从而创立了解析数论。解决了哥尼斯堡七桥问题，从而创立了图论。著作中有大量分析的应用，如月球运动理论等。初等几何中：三角形中的欧拉线、欧拉圆、多面体欧拉公式等。四、欧拉在三角形中发现的结论 三角形的垂心 H，重心 G，外心 U 三点共线，且 HG=2GH。（1765年）三角形三边的中点、三条高线的垂足、垂心至三顶点连线段的中点在同一个圆周上。（九点圆、欧拉圆）三角形外接圆、内切圆半径分别为 R，r，两圆圆心距为 d，则(2)dRRr。（IMO4-6）五、欧拉常数 18 世纪通过研究发散级数而获得的另一个重要常数是“欧拉常数”，这是欧拉在讨论如何用对数函数来逼近调和级数的和时得到的，它最简单的表示形式为 111(1.ln)23limnnn 欧拉曾计算出的近似值为 0.577218，但到现在也没有能够判断是有理数还是无理数。