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1、考点 18 不等关系和基本不等式【考点剖析】1.最新考试说明：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.2.命题方向预测：预计 2018 年高考对本节内容的考查将与命题、充要条件相结合，题型延续选择题或填空题，分值为 4 分到5 分，与数列、函数相结合，将不等关系隐含其中，要求学生区分“等”与“不等”，在复习时应予以关注，利用不等式性质和分析法，综合法，放缩法等证明不等式的命题趋势较强.3.课本结论总结：对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的加强或减弱、条件与结论的相互关系；在变形时要根据
2、已知和要求证的式子的结构特征适当拆分、添项、减项及符号的变化等，多个式子同时用基本不等式，要注意各式取等号的条件必须同时成立.4.名师二级结论：不等式的证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的一个难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题，但高考几何不可能出现单独考查不等式证明的试题，命题方向重在考查逻辑推理能力，在题目的设计上，常常将不等式的证明与函数、数列、三角综合.比较法是不等式证明的最基本方法，综合法的应用反映了学生对已知条件和所学知识的驾驭能力，这两种方法都是高考的重点考查内容.5.课本经典习题：(1)新课标 A 版必修 5 第 75 页
3、，B 组 2.已知0ab，0cd，求证abdc.【解析】考虑采用分析法来证明不等式：ababacbddcdc，根据不等式的性质 6，可知这是显然成立的，故得证.【经典理由】结合具体实例，给出了利用分析法证明不等式的一般步骤及不等式性质的运用.(2)新课标 A 版必修 5 第 100 页，练习 2 已知直角三角形的面积等于 50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？【解析】设两条直角边为a，b，根据基本不等式2abab，即2 50ab，当且仅当50ab时，等号成立，即最小值是2 50.【经典理由】结合具体实例，给出了利用基本不等式求最值的运用.6.考点交汇展示：(1)不等式与
4、函数相结合 1【2017 江苏，11】已知函数31()2eexxf xxx,其中 e 是自然对数的底数.若2(1)(2)0f afa则实数a的取值范围是 .【答案】1 1,2 (2)不等式与数列相结合【2018 贵州贵阳市第一中学模拟】在等差数列中，若，且，则的最小值为（）A.4 B.6 C.8 D.16【答案】A【解析】由等差数列性质得：=，等号成立的条件为，故选 A【考点分类】热点 1 不等关系与不等式 1.记方程：2110 xa x，方程：2220 xa x，方程：2340 xa x，其中1a，2a，3a是正实数当1a，2a，3a成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（）A方程有
5、实根，且有实根 B方程有实根，且无实根 C方程无实根，且有实根 D方程无实根，且无实根【答案】B【解析】当方程有实根，且无实根时，22124,8aa，从而4222321816,4aaa即方程：2340 xa x无实根，选 B.而 A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出有实根 2.【2017 天津，文 2】设xR，则“20 x”是“|1|1x”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20 x，则2x，11x，则111,02xx ，022xxx x，据此可知：“20 x”是“11x”的的必要的必要不充分条件，本题选择 B
6、选项.【解题技巧】(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质,例如第 4 题，需综合三角函数与指数函数的单调性来加以判断.(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题【方法规律】应用不等式的性质解题的常见类型及方法：（1）注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的，这些变形是否符合不等式的性质及性质的条件；（2）若比较
7、大小的两式是指数或对数模型，注意联想单调性；（3）恰当运用赋值法和淘汰法探究解答选择题，填空题.热点 2 基本不等式 1.【2017 天津，文理】若,a bR，0ab，则4441abab的最小值为_.【答案】4 2.【2017 江苏，10】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是 .【答案】30【解析】总费用600900464()42 900240 xxxx，当且仅当900 xx，即30 x 时等号成立.【方法规律】基本不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能，创造运用基本不等式的条件，
8、合理拆添项或配凑因式是解题的关键，满足取等条件是前提.“和定积最大，积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀.【解题技巧】必须掌握的三个不等式：（1）a，bR，则222abab（当且仅当ab时取等号）.（2）a，bR，则222()2abab（当且仅当ab时取等号）.（3）a，bR，则2abab（当且仅当ab时取等号）.【热点预测】1.【2016 高考新课标 1 卷】若101abc，,则()（A）ccab （B）ccabba （C）loglogbaacbc （D）loglogabcc【答案】C【解析】用特殊值法,令3a,2b,12c 得112232,选项 A 错误,11223 22 3,选项
9、B 错误,2313log2log 22,选项 C 正确,3211loglog22,选项 D 错误,故选 C 2.【2017 山东，文 5】已知命题p：,x R210 xx;命题q：若22ab,则ab.下列命题为真命题的是()Apq B.pq C.pq D.pq 【答案】B【解析】试题分析：由0 x 时210 xx 成立知p是真命题,由221(2),12 可知q是假命题,所以pq是真命题,故选 B.3.【2018 河南林州市第一中学模拟】已知正项等比数列 na的前n项和为nS，且8425SS，则9101112aaaa的最小值为（）A.10 B.15 C.20 D.25【答案】C 4如果函数 21
10、281002fxmxnxmn，在区间122，上单调递减，则mn的最大值为（）（A）16 （B）18 （C）25 （D）812【答案】B【解析】2m时，抛物线的对称轴为82nxm.据题意，当2m时，822nm即212mn.226,182mnm nmn.由2mn且212mn得3,6mn.当2m时，抛物线开口向下，据题意得，8122nm即218mn.28129,22nmn mmn.由2nm且218mn得92m，故应舍去.要使得mn取得最大值，应有218mn(2,8)mn.所以(182)(182 8)816mnn n，所以最大值为 18.选 B.5.若,0ba则下列不等式成立的是（）A.abbaba2
11、 B.babbaa2 C.abbbaa2 D.bbaaba2【答案】B【解析】由题意得，因为0ab，所以2aba，且abb，有根据基本不等式可知，2abab，所以babbaa2，故选 B 6.【百强校】2017 届湖南益阳市高三 9 月调研】已知0a，0b.若3是3a与3b的等比中项，则11ab的最小值为（）A8 B4 C1 D2【答案】B【解析】由题意233(3)ab，所以1ab，则1111()()2ababababba224a bb a（当且仅当ab时等号成立），即最小值为 4故选 B 7.【百强校】2017 届山东枣庄三中高三 9 月质检】若正数,a b满足2362log3 loglog
12、abab,则11ab的值为（）A36 B72 C108 D216【答案】C 8.【2018 黑龙江大庆实验中学模拟】若直线 mx+ny+2=0（m0，n0）截得圆22311xy的弦长为 2，则13mn的最小值为（）A.4 B.6 C.12 D.16【答案】B 9.【2017 山东，文】若直线1(00)xyabab，过点（1,2）,则 2a+b的最小值为 .【答案】8【解析】10.若一次函数()f x满足()1f f xx，则2()()(0)fxg xxx的值域为 【答案】),2.【解析】由已知可设)0()(abaxxf，则babxabbaxaxff2)()(，又因为，()1f f xx，所以有
13、211112bababa，故有21)(xxf；从而21412141)21()(2xxxxxxxg，当且仅当)0(41xxx即21x时等号成立 故)(xg的值域为),2 11.【2017 浙江，17】已知 R，函数aaxxxf|4|)(在区间1，4上的最大值是 5，则a的取值范围是_ 【答案】9(,2【解析】12.关于的不等式240 xxm对任意1,1x 恒成立，则实数m的取值范围是_.【答案】3m.【解析】22()4(2)4f xxxmxm在1,1上为减函数，且不等式240 xxm对任意1,1x 恒成立，则只需03)1()(minmfxf，即3m.13.【百强校】2017 届新疆兵团农二师华山
14、中学高三上学前考】给出下列四个命题：（1）若,ab cd，则adb c；（2）若22a xa y，则xy；（3）ab，则11aba；（4）若110ab，则2abb 其中正确命题的是 （填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）【解析】（3）中0a 时不等式不成立，故正确的只有（1）（2）（4）.14.【百强校】2015-2016 内蒙古集宁一中】已知0a,设命题 P:函数xya在 R 上单调递增,命题 q:不等式210axax 对任意实数都成立,若 P 且 q 为假，P 或 q 为真，求a的取值范围.【答案】0,14,.【解析】xya在 R 上单调递增 1a 又因为不等式210axax 对任意实数恒成立 20,40aa 04:04.aqa 而命题 P 且 q 为假，P 或 q 为真 那么 p,q 中一真一假 p 真 q 假,则4a；q 真 p 假,则01a.所以 a 的取值范围是 0,14,.