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1、.1/5 课题：103 组合 教学目的：1 掌握组合数的两个性质,并能运用组合数的性质进行化简；2.进一步理解排列与组合的区别和联系,熟练掌握组合数的计算公式,并且能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点：组合数的性质 教学难点：组合数的性质 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1 分类计数原理：做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有1m种不同的方法,在第二类办法中有2m种不同的方法,在第 n 类办法中有nm种不同的方法 那么完成这件事共有 12nNmmm种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情,完成它需要分成 n 个
2、步骤,做第一步有1m种不同的方法,做第二步有2m种不同的方法,做第 n 步有nm种不同的方法,那么完成这件事有12nNmmm 种不同的方法 3排列的概念：从n个不同元素中,任取mmn个元素这里的被取元素各不相同按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 4排列数的定义：从n个不同元素中,任取mmn个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数,用符号mnA表示 5排列数公式：(1)(2)(1)mnAn nnnm,m nNmn 6 阶乘：!n表示正整数 1 到n的连乘积,叫做n的阶乘 规定0!1 7排列数的另一个计算公式：mnA=!()!nnm.2/5 8 组合
3、的概念：一般地,从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：不同元素；只取不排无序性；相同组合：元素相同 9组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号mnC表示 10组合数公式：(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnn mCAm 或)!(!mnmnCmn),(nmNmn且 二、讲解新课：1 组合数的性质 1：mnnmnCC 一般地,从n个不同元素中取出m个元素后,剩下nm个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同
4、元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数,即：mnnmnCC 在这里,主要体现：取法与剩法是一一对应的思想 证明：)!(!)!()!(!mnmnmnnmnnCmnn 又)!(!mnmnCmn,mnnmnCC 说明：规定：10nC；等式特点：等式两边下标同,上标之和等于下标；此性质作用：当2nm 时,计算mnC可变为计算mnnC,能够使运算简化.例如20012002C200120022002C12002C=2002；ynxnCCyx 或nyx.3/5 2组合数的性质 2：mnC1mnC+1mnC 一般地,从121,naaa这n+1 个不同元素中取出m个元素的组合数是m
5、nC1,这些组合可以分为两类：一类含有元素1a,一类不含有1a含有1a的组合是从132,naaa这n个元素中取出m 1 个元素与1a组成的,共有1mnC个；不含有1a的组合是从132,naaa这n个元素中取出m个元素组成的,共有mnC个根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想,含与不含其元素的分类思想 证明：)!1()!1(!)!(!1mnmnmnmnCCmnmn)!1(!)1(!mnmmnmnn mnC1mnC+1mnC 说明：公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合数之和,等于下标比原下标多 1 而上标与大的相同的一个组合数；此性质的作用：恒等变
6、形,简化运算 三、讲解 X 例：例 1一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球,1从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法？2从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法？3从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法？解：15638C,或38C27C37C,；22127C；33537C 例 2 1计算：69584737CCCC；2求证：nmC2nmC+12nmC+2nmC 解：1原式4565664889991010210CCCCCCC；证明：2右边1121112()()nnnnnnnmmmmmmmCCCCCCC左边 例 3解方程：13213113xxCC；2解
7、方程：333222101xxxxxACC 解：1由原方程得123xx 或12313xx,4x 或5x,.4/5 又由111312313xxxN 得28x且xN,原方程的解为4x 或5x 上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x 和5x 代入检验,这样运算量小得多.2 原方程可化为2333110 xxxCA,即5333110 xxCA,(3)!(3)!5!(2)!10!xxxx,11120(2)!10(1)(2)!xx xx,2120 xx,解得4x 或3x ,经检验：4x 是原方程的解 四、课堂练习：1方程382828xxCC的解集为 A4B9CD4,9 2式子2171010mmCCmN的
8、值的个数为 A1B2C3D4 3化简：9981mmmCCC；4若108nnCC,则20nC的值为；5有 3X 参观券,要在 5 人中确定 3 人去参观,不同方法的种数是；6要从 5 件不同的礼物中选出 3 件分送 3 位同学,不同的方法种数是；75 名工人分别要在 3 天中选择 1 天休息,不同方法的种数是；8 集合A有m个元素,集合B有n个元素,从两个集合中各取出 1 个元素,不同方法的种数是 9从1,2,3,20这20个数中选出 2 个不同的数,使这两个数的和为偶数,有_种不同选法 10正 12 边形的对角线的条数是 11已知221717xxCC,求8xC的值；.5/5 12解方程：221564466xxCCCC 136 人同时被邀请参加一项活动,必须有人去,去几人自行决定,共有多少种不同的去法？14在所有的三位数中,各位数字从高到低顺次减小的数共有个 答案：1.D 2.A 3.04.1905.106.607.243 8.mn9.90 10.54 11.28 或者 5612.2 或者 1213.63 14.33103/120AA,可以保证 0 在最低位 五、小结：组合数的两个性质；从特殊到一般的归纳思想；常用的等式：111010kkkkkkCCCC 六、课后作业：七、板书设计 略 八、课后记：