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1、 1 第 1 章 质点运动学 1.1 一质点沿直线运动，运动方程为 x(t)=6t2-2t3试求：（1）第 2s 内的位移和平均速度；（2）1s 末及 2s 末的瞬时速度，第 2s 内的路程；（3）1s 末的瞬时加速度和第 2s 内的平均加速度 解：（1）质点在第 1s 末的位移大小为 x(1)=612-213=4(m)在第 2s 末的位移大小为 x(2)=622-223=8(m)在第 2s 内的位移大小为 x=x(2)x(1)=4(m)，经过的时间为 t=1s，所以平均速度大小为v=x/t=4(ms-1)（2）质点的瞬时速度大小为 v(t)=dx/dt=12t-6t2，因此 v(1)=121
2、-612=6(ms-1)，v(2)=122-622=0，质点在第 2s 内的路程等于其位移的大小，即 s=x=4m（3）质点的瞬时加速度大小为 a(t)=dv/dt=12-12t，因此 1s 末的瞬时加速度为 a(1)=12-121=0，第 2s 内的平均加速度为a=v(2)-v(1)/t=0 6/1=-6(ms-2)注意第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是 1 秒 1.2 一质点作匀加速直线运动，在 t=10s 内走过路程 s=30m，而其速度增为 n=5 倍试证加速度为22(1)(1)nsant并由上述数据求出量值 证：依题意得 vt=nvo，根据速度公式 vt=vo+at，得 a
3、=(n 1)vo/t -(1)根据速度与位移的关系式 vt2=vo2+2as，得 a=(n2 1)vo2/2s-(2)(1平方之后除以(2)式证得22(1)(1)nsant 计算得加速度为22(5 1)30(5 1)10a=0.4(ms-2)1.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成 22.5的夹角的初速度 65ms-1从西边起跳，准确地落在坑的东边已知东边比西边低 70m，忽略空气阻力，且取 g=10ms-2问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？解：方法一：分步法（1）夹角用 表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小
4、为 vy0=v0sin=24.87(ms-1)取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式 vt-v0=at，这里的 v0就是 vy0，a=-g；当他达到最高点时，vt=0，所以上升到最高点的时间为 t1=vy0/g=2.49(s)再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式 vt2-v02=2as，可得上升的最大高度为 h1=vy02/2g=30.94(m)他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为 h2=h1+h=100.94(m)根据自由落体运动公式 s=gt2/2，得下落的时间为 70m 22.5 图 1.3 2 222htg=4.49(s)因此他飞越的时间为 t=t1+t2=6.98
5、(s)他飞越的水平速度为 vx0=v0cos=60.05(ms-1)，所以矿坑的宽度为 x=vx0t=419.19(m)（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为 vy=gt=69.8(ms-1)，落地速度为 v=(vx2+vy2)1/2=92.08(ms-1)，与水平方向的夹角为 =arctan(vy/vx)=49.30，方向斜向下 方法二：一步法取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为 y=vy0t-gt2/2，移项得时间的一元二次方程 201sin02gtvty，解得 0220(sinsin2)tvvgy g 这里 y=-70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应
6、该取正值，所以公式取正根，计算时间为 t=6.98(s)由此可以求解其他问题 1.4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即 dv/dt=-kv2，k 为常数（1）试证在关闭发动机后，船在 t 时刻的速度大小为011ktvv；（2）试证在时间 t 内，船行驶的距离为01ln(1)xv ktk 证：（1）分离变量得2ddvk tv，积分 020ddvtvvktv，可得 011ktvv（2）公式可化为001vvv kt，由于 v=dx/dt，所以 00001ddd(1)1(1)vxtv ktv ktkv kt 积分 00001dd(1
7、)(1)xtxv ktkv kt 因此 01ln(1)xv ktk 证毕 讨论 当力是速度的函数时，即 f=f(v)，根据牛顿第二定律得 f=ma 由于 a=d2x/dt2，而 dx/dt=v，所以 a=dv/dt，分离变量得方程 dd()m vtf v，解方程即可求解在本题中，k 已经包括了质点的质量如果阻力与速度反向、大小与船速的 n 次方成正比，则 dv/dt=-kvn（1）如果 n=1，则得 ddvk tv，积分得 lnv=-kt+C 当 t=0 时，v=v0，所以 C=lnv0，因此 lnv/v0=-kt，得速度为 v=v0e-kt 而 dv=v0e-ktdt，积分得0ektvxCk
8、 当 t=0 时，x=0，所以 C=v0/k，因此 0(1-e)ktvxk（2）如果 n1，则得ddnvk tv，积分得11nvktCn 3 当 t=0 时，v=v0，所以101nvCn，因此11011(1)nnnktvv 如果 n=2，就是本题的结果如果 n2，可得1(2)/(1)0201(1)1(2)nnnnnvktxnvk，读者不妨自证 1.5 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：=2+4t3求：（1）t=2s 时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
9、解：（1）角速度为 =d/dt=12t2=48(rads-1)，法向加速度为 an=r2=230.4(ms-2)；角加速度为 =d/dt=24t=48(rads-2)，切向加速度为 at=r=4.8(ms-2)（2）总加速度为 a=(at2+an2)1/2，当 at=a/2 时，有 4at2=at2+an2，即3ntaa由此得23rr，即 22(12)243tt，解得 33/6t 所以 3242(13/3)t=3.154(rad)（3）当 at=an时，可得 r=r2，即 24t=(12t2)2，解得 t=(1/6)1/3=0.55(s)1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为 v=3
10、00ms-1，方向与水平线夹角为 30而斜向下，此后飞机的加速度为 a=203ms-2，方向与水平前进方向夹角为 30而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？解：建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为 v0 x=v0cos，v0y=v0sin 加速度的大小为 ax=acos，ay=asin 运动方程为2012xxxv ta t，2012yyyv ta t 即 201coscos2xvtat，201sinsin2yvtat 令 y=0，解得飞机回到原来高度时的时间为 t=0（舍去）；02sin10 3sinvta(s)将 t 代入 x 的方程求得
11、 x=9000m 注意选择不同的坐标系，例如 x 方向沿着 a 的方向或者沿着 v0的方向，也能求出相同的结果 1.7 一个半径为 R=1.0m 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体 A在重力作用下，物体 A 从静止开y x O v0 a ax ay v0 x v0y R 1.7 4 始匀加速地下降，在 t=2.0s 内下降的距离 h=0.4m求物体开始下降后 3s 末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度 解：圆盘边缘的切向加速度大小等于物体 A 下落加速度 由于212that，所以 at=2h/t2=0.2(ms-2)物体下降 3s 末的速度为 v=
12、att=0.6(ms-1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为2nvaR=0.36(ms-2)1.8 一升降机以加速度 1.22ms-2上升，当上升速度为 2.44ms-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距 2.74m计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离 解：在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为21012hv tat；螺帽做竖直上抛运动，位移为22012hv tgt 由题意得 h=h1-h2，所以21()2hag t，解得时间为2/()th ag=0.705(s)算得 h2=-0.716m，即螺帽相对于升降机
13、外固定柱子的下降距离为 0.716m 注意以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为 a+g，而初速度为零，可列方程 h=(a+g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离 1.9 有一架飞机从 A 处向东飞到 B 处，然后又向西飞回到 A 处已知气流相对于地面的速度为 u，AB 之间的距离为 l，飞机相对于空气的速率 v 保持不变（1）如果 u=0（空气静止），试证来回飞行的时间为02ltv；（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为01221/ttuv；（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为02221/ttuv 证：（1）飞机飞行来回的速率为 v，路程为 2l，所
14、以飞行时间为 t0=2l/v （2）飞机向东飞行顺风的速率为 v+u，向西飞行逆风的速率为 v-u，所以飞行时间为 1222llvltvuvuvu 022222/1/1/tl vuvuv（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度为了使飞机沿着 AB 之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿 AB 方向的速度大小为22Vvu，所以飞行时间为 22222222/1/lll vtVvuuv 0221/tuv 证毕 A B A B v v+u v-u A B v u u v v 5 1.10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为 v1，下落雨的速度方向与铅
15、直方向的夹角为，偏向于汽车前进方向，速度为v2今在车后放一长方形物体，问车速 v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？解：雨对地的速度2v等于雨对车的速度3v加车对地的速度1v，由此可作矢量三角形根据题意得 tan=l/h 方法一：利用直角三角形根据直角三角形得 v1=v2sin+v3sin，其中 v3=v/cos，而 v=v2cos，因此 v1=v2sin+v2cossin/cos，即 12(sincos)lvvh 证毕 方法二：利用正弦定理根据正弦定理可得12sin()sin(90)vv，所以12sin()cosvv2sincoscossincosv2(sincostan)v，即 12(sincos)lvvh 方法三：利用位移关系将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在 t 时间内，雨滴的位移为 l=(v1 v2sin)t，h=v2cost两式消去时间 t 即得所求 证毕 v1 h l v2 图 1.10 v1 h l v2 v3 v R