矩阵运算与方程组求解.pdf

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1、附录 大学数学实验指导书 项目五 矩阵运算与方程组求解 实验 1 行列式与矩阵 实验目的 掌握矩阵的输入方法.掌握利用 Mathematica(4.0 以上版本)对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算,并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.基本命令 在 Mathematica 中,向量和矩阵是以表的形式给出的.1.表在形式上是用花括号括起来的若干表达式,表达式之间用逗号隔开.如输入 2,4,8,16 x,x+1,y,Sqrt2 则输入了两个向量.2.表的生成函数(1)最简单的数值表生成函数 Range,其命令格式如下:Range正整数 n生成表1,2,3,4,n;Rangem,n生成表

2、m,n;Rangem,n,dx生成表m,n,步长为 dx.2.通用表的生成函数 Table.例如,输入命令 Tablen3,n,1,20,2 则输出 1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859 输入 Tablex*y,x,3,y,3 则输出 1,2,3,2,4,6,3,6,9 3.表作为向量和矩阵 一层表在线性代数中表示向量,二层表表示矩阵.例如,矩阵 5432 可以用数表2,3,4,5表示.输入 A=2,3,4,5 则输出 2,3,4,5 命令 MatrixFormA把矩阵 A 显示成通常的矩阵形式.例如,输入命令:MatrixFormA 则输出 54

3、32 注:一般情况下,MatrixFormA所代表的矩阵 A 不能参与运算.下面是一个生成抽象矩阵的例子.输入 Tableai,j,i,4,j,3 MatrixForm%则输出 3,42,4 1,43,32,3 1,33,22,2 1,23,1 2,1 1,1 aaaaaaaaaaaa 注:这个矩阵也可以用命令 Array 生成,如输入 Arraya,4,3/MatrixForm 则输出与上一命令相同.4.命令 IdentityMatrixn生成 n 阶单位矩阵.例如,输入 IdentityMatrix5 则输出一个 5 阶单位矩阵(输出略).5.命令 DiagonalMatrix生成 n 阶

4、对角矩阵.例如,输入 DiagonalMatrixb1,b2,b3 则输出 b1,0,0,0,b2,0,0,0,b3 它是一个以 b1,b2,b3为主对角线元素的 3 阶对角矩阵.6.矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵 A 与 B 的加法;k*A 表示数 k 与矩阵 A 的乘法;A.B 或 DotA,B表示矩阵 A 与矩阵 B 的乘法.7.求矩阵 A 的转置的命令:TransposeA.8.求方阵 A 的 n 次幂的命令:MatrixPowerA,n.9.求方阵 A 的逆的命令:InverseA.10.求向量 a 与 b 的内积的命令:Dota,b.实验举例 矩阵的运算 例 1.1 设,4211

5、40123,321111111BA求AAB23及.BAT 输入 A=1,1,1,1,1,1,1,2,3 MatrixFormA B=3,2,1,0,4,1,1,2,4 MatrixFormB 3A.B2A/MatrixForm TransposeA.B/MatrixForm 则输出AAB23及BAT的运算结果分别为 334421424141010 10120821444 求方阵的逆 例 1.2 设,5123641033252312A求.1A 输入 Clearma ma=2,1,3,2,5,2,3,3,0,1,4,6,3,2,1,5;Inversema/MatrixForm 则输出 165211

6、6114581081218192829211161121162147 求方阵的行列式 例 1.3 求.11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 输入 ClearA,a,b,c,d;A=a2+1/a2,a,1/a,1,b2+1/b2,b,1/b,1,c2+1/c2,c,1/c,1,d2+1/d2,d,1/d,1;DetA/Simplify 则输出 2222)1)()()()()()(dcbaabcddcdbdacbcaba 例 1.4 设矩阵,60975738723965110249746273A 求.),(|,|3AAtrA 输入 A=3,7,2,6,4,7,

7、9,4,2,0,11,5,6,9,3,2,7,8,3,7,5,7,9,0,6 MatrixFormA DetA TrA MatrixPowerA,3/MatrixForm 则输出3),(|,|AAtrA分别为 11592 3 12574547726668013841222451984174340410063122181713228151626315018483582949442062726 实验习题 1 1.设,150421321,111111111BA求AAB23及.BA 2.设,001001A求.10A一般地?kA(k 是正整数).3.求aaaaa111111111111111111111

8、1111的逆.4.设,321011324A且,2BAAB求.B 5.利用逆矩阵解线性方程组.353,2522,132321321321xxxxxxxxx 实验 2 矩阵的秩与向量组的最大无关组 实验目的 学习利用 Mathematica(4.0 以上版本)求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换;求向 量组的秩与最大无关组.基本命令 1.求矩阵 M 的所有可能的 k 阶子式组成的矩阵的命令:MinorsM,k.2.把矩阵 A 化作行最简形的命令:RowReduceA.3.把数表 1,数表 2,合并成一个数表的命令:Joinlist1,list2,.例如输入 Join1,0,1,3,2,1,1,5,4,6

9、 则输出 1,0,1,3,2,1,1,5,4,6 实验举例 求矩阵的秩 例 2.1 设,815073131223123M 求矩阵 M 的秩.输入 ClearM;M=3,2,1,3,2,2,1,3,1,3,7,0,5,1,8;MinorsM,2 则输出 7,11,9,5,5,1,8,8,9,11,14,22,18,10,10,2,16,16,18,22,7,11,9,5,5,1,8,8,9,11 可见矩阵 M 有不为 0 的二阶子式.再输入 MinorsM,3 则输出 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 可见矩阵 M 的三阶子式都为 0.所以.2)(Mr 例 2.2 求矩阵322421163

10、1095114047116的行最简形及其秩.输入 A=6,1,1,7,4,0,4,1,1,2,9,0,1,3,16,1,2,4,22,3 MatrixFormA RowReduceA/MatrixForm 则输出矩阵 A 的行最简形 00000000100005100101 根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为 3.矩阵的初等行变换 例 2.3 用初等变换法求矩阵.343122321的逆矩阵.输入 A=1,2,3,2,2,1,3,4,3 MatrixFormA TransposeJoinTransposeA,IdentityMatrix3/MatrixForm RowReduce%/Matrix

11、Form InverseA/MatrixForm 则输出矩阵 A 的逆矩阵为 1112/532/3231 向量组的秩 例 2.4 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321是否线性相关?输入 ClearA;A=1,1,2,3,1,1,1,1,1,3,4,5,3,1,5,7;RowReduceA/MatrixForm 则输出 0000010010102001 向量组包含四个向量,而它的秩等于 3,因此,这个向量组线性相关.向量组的最大无关组 例 2.5 求向量组)0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4

12、,2,1,1(54321 的最大无关组,并将其它向量用最大无关组线性表示.输入 ClearA,B;A=1,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,14,1,1,2,0,2,1,5,0;B=TransposeA;RowReduceB/MatrixForm 则输出 000002/51000101102/10301 在行最简形中有三个非零行,因此向量组的秩等于 3.非零行的首元素位于第一、二、四列,因此421,是向量组的一个最大无关组.第三列的前两个元素分别是 3,1,于是.3213第五列的前三个元素分别是,25,1,21于是.25214215 实验习题 1.求矩阵12412116030242201

13、211A的秩.2.求 t,使得矩阵tA23312231的秩等于 2.3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321的秩.4.当 t 取何值时,向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t的秩最小?5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321是否线性相关?6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321的最大线性无关组.并用最大无关 组线性表示其它向量.7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121求证:向量组21

14、,与21,等价.实验 3 线性方程组 实验目的 熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用 Mathematica 命令各类求线性方程 组的解.理解计算机求解的实用意义.基本命令 1.命令 NullSpace A,给出齐次方程组0AX的解空间的一个基.2.命令 LinearSolvebA,给出非齐次线性方程组bAX 的一个特解.3.解一般方程或方程组的命令Solve 见 Mathematica 入门.实验举例 求齐次线性方程组的解空间 设A为nm矩阵,X为n维列向量,则齐次线性方程组0AX必定有解.若矩阵A的 秩等于n,则只有零解;若矩阵A的秩小于n,则有非零解,且所有解构成一向量空间.命令 Nul

15、lSpace 给出齐次线性方程组0AX的解空间的一个基.例 3.1 求解线性方程组.0532,0375,023,02432143243214321xxxxxxxxxxxxxxx 输入 ClearA;A=1,1,2,1,3,2,1,2,0,5,7,3,2,3,5,1;NullSpaceA 则输出 2,1,2,3 说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量(2,1,2,3)是解空间的基.注:如果输出为空集 ,则表明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.例 3.2 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321是否线性相关?根据定义,如果向量组

16、线性相关,则齐次线性方程组 044332211xxxx 有非零解.输入 ClearA,B;A=1,1,2,3,1,1,1,1,1,3,4,5,3,1,5,7;B=TransposeA;NullSpaceB 输出为 2,1,0,1 说明向量组线性相关,且02421 非齐次线性方程组的特解 例 3.3 求线性方程组45322375222342432143243214321xxxxxxxxxxxxxxx 的特解.输入 ClearA,b;A=1,1,2,1,3,2,1,2,0,5,7,3,2,3,5,1;b=4,2,2,4 LinearSolveA,b 输出为 1,1,1,0 注:命令 LinearS

17、olve 只给出线性方程组的一个特解.例 3.4 求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式,2cbxax并画出其图形.根据题设条件有,924611700cbacbacba 输入 Clearx;A=0,0,1,1,1,1,4,2,1 y=7,6,9 p=LinearSolveA,y Cleara,b,c,r,s,t;a,b,c.r,s,t fx_=p.x2,x,1;Plotfx,x,0,2,GridLinesAutomatic,PlotRangeAll;则输出cba,的值为 2,3,7 并画出二次多项式7322 xx的图形(略).非齐次线性方程组的通解 用命令 Solve

18、 求非齐次线性方程组的通解.例 3.5 当a为何值时,方程组111321321321axxxxaxxxxax无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有 解时,求通解.先计算系数行列式,并求a,使行列式等于 0.输入 Cleara;Deta,1,1,1,a,1,1,1,a;Solve%0,a 则输出 a2,a1,a1 当a2,a1时,方程组有唯一解.输入 Solvea*xyz1,xa*yz1,xya*z1,x,y,z 则输出x,21a y,21a za21 当a2 时,输入 Solve2x+y+z=1,x2y+z=1,x+y2z=1,x,y,z 则输出 说明方程组无解.当a=1 时,输入 Solve

19、x+y+z=1,x+y+z=1,x+y+z=1,x,y,z 则输出 x1yz 说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解 系为为(1,1,0)与(1,0,1).例 3.6 求非齐次线性方程组 2534422312432143214321xxxxxxxxxxxx的通解.解法 1 输入 A=2,1,1,1,3,2,1,3,1,4,3,5;b=1,4,2;particular=LinearSolveA,b nullspacebasis=NullSpaceA generalsolution=t*nullspacebasis1+k*nullspacebasis

20、2+Flattenparticular generalsolution/MatrixForm 解法 2 输入 B=2,1,1,1,1,3,2,1,3,4,1,4,3,5,2 RowReduceB/MatrixForm 根据增广矩阵的行最简形,易知方程组有无穷多解.其通解为 007/57/6107/97/1017/57/14321tkxxxx (k,t 为任意常数)实验习题 1.解方程组.024,02,032321321321xxxxxxxxx 2.解方程组.0111784,02463,03542432143214321xxxxxxxxxxxx 3.解方程组.22,3,4432431432432

21、1xxxxxxxxxx 4.解方程组.254,32,22432143214321xxxxxxxxxxxx 5.用三种方法求方程组127875329934,8852321321321321xxxxxxxxxxxx的唯一解.6.当ba,为何值时,方程组1232)3(122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx有唯一解、无解、有无穷多解?对后 者求通解.实验 4 投入产出模型(综合实验)实验目的 利用线性代数中向量和矩阵的运算,线性方程组的求解等知识,建立在经济 分析中有重要应用的投入产出数学模型.掌握线性代数在经济分析方面的应用.应用举例 假设某经济系统只分为五个物质生产

22、部门:农业、轻工业、重工业、运输业和建筑业,五 个部门间某年生产分配关系的统计数据可列成下表1.在该表的第一象限中,每一个部门都以 生产者和消费者的双重身份出现.从每一行看,该部门作为生产部门以自己的产品分配给各 部门;从每一列看,该部门又作为消耗部门在生产过程中消耗各部门的产品.行与列的交叉点 是部门之间的流量,这个量也是以双重身份出现,它是行部门分配给列部门的产品量,也是列 部门消耗行部门的产品量.表 1 投入产出平衡表(单位:亿元)产出 投入 物质生产部门 最终产品 产 品(X)农 业 轻 工 业 重 工 业 运 输 业 建 筑 业 合 计 积 累 消 费 合 计(Y)1 2 3 4 5

23、 物质生产部门 农业 轻工业 重工业 运输业 建筑业 1 2 3 4 5 600 81 324 45 117 800 450 454 75 71 250 136 2710 225 201 30 50 250 30 51 60 125 625 75 110 1740 842 4363 450 550 120 135 945 285 1155 1650 2152 98 465 120 1770 2287 1043 750 1275 3510 3129 5406 1200 1825 合 计 1167 1850 3522 411 995 7945 2640 4485 7125 15070 折旧(D)7

24、0 158 300 154 51 733 物质消耗合计(C)1237 2008 3822 565 1046 8678 净产品 劳动报酬(V)社会纯收(M)1847 426 400 721 928 656 270 365 677 102 4122 2270 总产品(X)3510 3129 5406 1200 1825 15070 注:最终产品舍去了净出口.(修改表:加双线区分为四个象限)在第二象限中,反映了各部门用于最终产品的部分.从每一行来看,反映了该部门最终产 品的分配情况;从每一列看,反映了用于消费、积累等方面的最终产品分别由各部门提供的数 量情况.在第三象限中,反映了总产品中新创造的价值

25、情况,从每一行来看,反映了各部门新创造 价值的构成情况;从每一列看,反映了该部门新创造的价值情况.采用与第三章第七节完全相同的记号,可得到关于表 1 的产品平衡方程组 yxAE)(1)其中,A 为直接消耗系数矩阵,根据直接消耗系数的定义),2,1,(njixxajijij,易求出表 1 所对应的直接消耗系数矩阵:0603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.

26、01709.01825110120051540620131297135101171825751200305406225312975351045182562512002505406271031294543510324182512512005054061363129450351081182560120030540625031298003510600)(55ijaA 利用 Mathematica 软件(以下计算过程均用此软件实现,不再重述),可计算出 11036.10739105.00982964.00672149.00637761.00884203.005447.1100805.00594445.

27、0035022.0859487.0529259.016653.2495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.10492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.1)(1AE 为方便分析,将上述列昂节夫逆矩阵列成表 2.表 2 部门 农业 1 轻工业 2 重工业 3 运输业 4 建筑业 5 农业 1 轻工业 2 重工业 3 运输业 4 1.24175 0.0492156 0.302573 0.035022 0.402651 1.20166 0.495145 0.0594445 0.15254 0.000

28、6552 2.16653 0.100805 0.0874144 0.0752055 0.529259 1.05447 0.132248 0.122005 0.859487 0.0884203 建筑业 5 0.0637761 0.0672149 0.0952964 0.0739105 1.11036 下面我们来分析上表中各列诸元素的经济意义.以第 2 列为例,假设轻工业部门提供的 最终产品为一个单位,其余部门提供的最终产品均为零,即最终产品的列向量为,)0,0,0,1,0(Ty 于是,轻工业部门的单位最终产品对 5 个部门的直接消耗列向量为 0227.00240.01451.01438.0255

29、7.0000100603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.01709.0)0(Ayx 通过中间产品向量)0(x产生的间接消耗为 0205373.00146768.0129979.00327974.00885192.0)0()1(Axx,0107259.000867109.00881789.00120554.00305619.0)0(2)2(xAx 005

30、70305.000505222.0054254.000575796.00129491.0)0(3)3(xAx,00318798.000294103.00322339.000309566.000650578.0)0(4)4(xAx 于是,轻工业部门的单位最终产品对五个部门总产品的需求量为 )4()3()2()1()0(xxxxxyx.0629.00553.04497.01975.13942.000318798.000294103.00322339.000309566.000650578.000570305.000505222.0054254.000575796.00129491.00107259

31、.000867109.00881789.00120554.00305619.00205733.00146768.0129979.00327974.00885192.000010 其中向量x为列昂惕夫逆矩阵1)(AE的第 2 列,该列 5 个元素分别是部门 2 生产一个单位 最终产品对部门 1、2、3、4、5 总产品的需求量,即总产品定额.同理,可以解释列昂节夫 逆矩阵中第 1、3、4、5 列分别是部门 1、3、4、5 生产一个单位最终产品对部门 1、2、3、4、5 的总产品定额.对应于附表 1 的完全消耗系数矩阵 11036.00739105.00982964.00672149.0063776

32、1.00884203.005447.0100805.00594445.0035022.0859487.0529259.016653.1495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.00492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.0)(1EAEB 最终产品是外生变量,即最终产品是由经济系统以外的因素决定的,而内生变量是由经济系统内的因素决定的.现在假定政府部门根据社会发展和人民生活的需要对表1 的最终产品作了修改,最终产品的增加量分别为农业2%,轻工业7%,重工业5%,运输业5%,建筑业 4%,写成最

33、终产品增量的列向量为,)51,5.37,15.52,09.160,4.35(Ty 则产品的增加量x可由式(8)近似计算到第 5 项,得 515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.375.5209.1604.35432)3()2()1()0(AAAAxxxxyx.)8033.744899.57169.238749.204083.121(T 其中,yAx)0(为各部门生产y直接消耗各部门产品数量;而后面各项的和为各部门生 产y的全部间接消耗的和.实验报告 下表给出的

34、是某城市某年度的各部门之间产品消耗量和外部需求量(均以产品价值计算,单位:万元),表中每一行的数字是某一个部门提供给各部门和外部的产品价值.农业 轻工业 重工业 建筑业 运输业 商业 外部 需求 农业 45.0 162.0 5.2 9.0 0.8 10.1 151.9 轻工业 27.0 162.0 6.4 6.0 0.6 60.0 338.0 重工业 30.8 30.0 52.0 25.0 15.0 14.0 43.2 建筑业 0.0 0.6 0.2 0.2 4.8 20.0 54.2 运输业 1.6 5.7 3.9 2.4 1.2 2.1 33.1 商业 16.0 32.3 5.5 4.2

35、12.6 6.1 243.3(1)试列出投入产出简表,并求出直接消耗矩阵;(2)根据预测,从这一年度开始的五年内,农业的外部需求每年会下降 1%,轻工业和商 业的外部需求每年会递增 6%,而其它部门的外部需求每年会递增 3%,试由此预测这五年内 该城市和各部门的总产值的平均年增长率;(3)编制第五年度的计划投入产出表.实验 5 交通流模型(综合实验)实验目的 利用线性代数中向量和矩阵的运算,线性方程组的求解等知识,建立交通流 模型.掌握线性代数在交通规划方面的应用.应用举例 假设某城市部分单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图 51 所示.300300300500200400700600

36、600400100200500 x2x3x1x5x4x7x9x10 x8x6432xxx 30054xx50067xx20021xx80051xx80087xx10009x 400910 xx 20010 x 600638xxx1000 排版时只保留图,不要方程组 图 51 试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.假定上述问题满足下列两个基本假设(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量;(2)全部流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.则根据图 51 及上述基本两个假设,可建立该问题的线性方程组 100060020040010008001800200500300863101099

37、8751217654432xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx,即 10006002004001000800800200500300001010010010000000001100000000010000000000110000000000010001000000001100011000000000011000000000111010987654321xxxxxxxxxx 若将上述矩阵方程记为bAx,则问题就转化为求bAx 的全部解.下面我们利用 Mathmatica 软件来求解 1、输入矩阵 A,并利用 RowReduceA命令求得 A 的秩为 8.输入 RowReduceA/Matri

38、xForm Out2/MatrixForm=则输出 0000000000000000000010000000000100000000001100000000101000000000011000000000010000000100100000010001 2、应用命令 NullSpaceA求出齐次线性方程组0Ax的基础解系.输入 In3:=NullSpaceA/MatrixForm Out3/MatrixForm=则输出 00000110110011100000 由此即得到所求齐次线性方程组的基础解系:00000110110011100000212211CCcc,(21,CC为任意常数).3、输

39、入增广阵(A b),求出其秩为 8,由,108)()(nAbrAr知方程组有无穷多个解.输入 RowReduceAb/MatrixForm Out5/MatrixForm=则输出 00000000000000000000006001000000000400010000000010000011000000800001010000050000000110002000000000100000000100108000000010001 4、应用命令 LinearSolveA,b,求得非齐次线性方程组bAx 的一个特解.输入 LinearSolveA,b Out9=800,0,200,500,0,800

40、,1000,0,400,600 则得到所求非齐次线性方程组的一个特解:T)6004000100080005002000800(*综上所述,我们就得到了非齐次线性方程组bAx 的全部解为,*2211*CCx(21,CC为任意常数).在解的表示式中,x的每一个分量即为交通网络中未知部分的具体流量,该问题有无穷 多解(为什么?并思考其实际意义).本模型具有实际应用价值,求出该模型的解,可以为交通规划设计部门提供解决交通堵 塞、车流运行不畅等问题的方法,知道在何处应建设立交桥,那条路应设计多宽等,为城镇 交通规划提供科学的指导意见.但是,在本模型中,我们只考虑了单行街道这样一种简单情形,更复杂的情形留待读者在更高一级的课程中去研究.此外,本模型还可推广到电路分析中的 网络节点流量等问题中.实验报告 请读者应用本模型的思想方法,为你所在或你熟悉的城镇建立一个区域的交通流量模 型.并提供一个具体的解决方案,即从无穷多个解中根据具体限制确定出一个具体的解决方 案.