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1、球与几类特殊四面体的切接问题的探索 安徽省宣城市宣城二中 邵国宏 球与多面体的切接问题，一般通过作截面把立体图形平面化，然后用平面几何的相关知识来解决，而球与几类特殊的四面体（三棱锥）的切接问题，可以转化为球与长方体的切接问题来解决。长方体（正方体）与球的三种切接关系:一、球内切正方体的各个面，称球为正方体（棱长为a）的内切球，有：球的直径 2R正方体的棱长a。二、球与正方体的各条棱相切，称球为正方体（棱长为a）的棱切球，有：球的直径 2R正方体面的对角线2a。三、球外接正方体（正方体的各个顶点在球面上），称球为正方体（棱长为a）的外接球，有：球的直径 2R正方体的对角线3a。其中球外接长方体
2、(棱长为a、b、c)时：球的直径 2R长方体的对角线222abc。几类特殊的四面体与球的切接的问题的转换:第一类：直角四面体（四面体的一个顶点处的三条棱两两垂直）如图：四面体 SABC，其中 SA、SB、SC 两两垂直，SAa SBb SCc，求其外接球的直径与内切球的半径。分析：（1）可把四面体 SABC 拼补成以 SA、SB、SC 为棱的长方体，四面体 SABC 的外接球就是补成的长方体的外接球。则四面体 SABC 的外接球的直径 2R222abc （2）记四面体 SABC 的内切球的球心为 O，则四面体 SABC 可分成四个三棱锥 OABC，OSAC，OSBC，OSAB，由等体积法可求得
3、内切球的半径为：cbaSSSSrABCSBCSACSAB。第二类：四个面都为直角三角形的四面体。如图：四面体 SABC，其中 ABAC、SC面 ABC，ABa ACb SCc，求其外接球的直径。分析：可把 SABC 拼补成以 AB、AC、SC 为棱的长方体.四面体 SABC 的外接球就是补成的长方体的外接球。则四面体 SABC 的外接球的直径 2RBS222abc.四面体 SABC 的内切球的半径也可由等体积法求得。第三类：等腰四面体（三组对棱分别相等的四面体）B S C A C A S B S C B A C S B A 如图：四面体 ABCD，其中 ABCDa ACBDb ADBCc，求其
4、外接球的直径。分析：可把四面体 ABCD 拼补成长方体，其中四面体每组对棱为长方体一组对面上的两条异面的对角线。四面体 ABCD 的外接球就是补成的长方体的外接球。可设长方体的三条棱长为 x、y、z，则：222222222,czybzxayx，则外接球的直径 2R22222222222222222cbabcaacbcba.第四类：正四面体（六条棱都相等的四面体）正四面体是特殊的等腰四面体，它的外接球就是补成的正方体的外接球。正四面体的棱长为a，则它补成的正方体的棱长为a22，其外接球的直径 为 2Ra26.正四面体有棱切球（球与正四面体的各条棱相切），正四面体的棱就是其补成的正方体的各面上的对角线，则其棱切球就是正方体的内切球。以上几类特殊的四面体与球的切接问题，转化为长方体（正方体）与球的切接问题来解决，比通过作截面来解决更直观、更简洁。D C B A B D C A