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1、1/23 新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解 专题 2.1 不等式的性质及常见不等式解法【考纲解读与核心素养】1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.3.会解|xb|c，|xb|c，|xa|xb|c，|xa|xb|c 型不等式.4.掌握不等式|a|b|ab|a|b|及其应用.5培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1实数的大小(1)数轴上的任意两点中
2、，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.2/23(2)对于任意两个实数a和b，如果ab是正数，那么ab；如果ab是负数，那么a”、“b，那么ba；如果bb.即abbb，bc，那么ac.即ab，bcac.(3)性质 3：如果ab，那么acbc.(4)性质 4：如果ab，c0 那么acbc.如果ab，c0，那么acb，cd，那么acbd.(6)性质 6：如果ab0，cd0，那么acbd.(7)性质 7：如果ab0，那么anbn，(nN，n2)3/23(8)性质 8：如果ab0，那么nanb，(nN，n2)4一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2 的不等
3、式，称为一元二次不等式(2)形式：ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)；ax2bxc0f(x)g(x)_0，fxgx0f(x)g(x)_0 或 fx0gx0.fxgx0 fxgx 0，gx0f(x)g(x)_0(a0)恒成立(或解集为 R)时，满足 a000；5/23(3)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为 R)时，满足 a00；(4)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为 R)时，满足 a00.2含参数的一元二次不等式恒成立若能够分离参数成kf(x)形式则可以转化为函数值域求解 设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)kf(x)恒成立kf(x)恒成立kM，kf(x)恒成立kM
4、.8绝对值不等式的解法 1形如|axb|cxd|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解 2形如|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式(1)绝对值不等式|x|a 与|x|0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc(c0)，|axb|caxbc或 axbc(c0)6/23 9绝对值不等式的应用 如果 a，b 是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立【典例剖析】高频考点一：用不等式表示不等关系 例 1.某钢铁厂要把长度为 4 000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超
5、过 500 mm 钢管的 3 倍试写出满足上述所有不等关系的不等式【答案】见解析【解析】分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；截得 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管数量的 3 倍；两种钢管的数量都不能为负于是可列不等式组表示上述不等关系 详解：设截得 500 mm 的钢管x根，截得 600 mm 的钢管y根，依题意，可得不等式组：500 x600y4 0003xyx0y0，即 5x6y403xyx0y0.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：7/23 审题通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量找出体现不
6、等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等 列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示【变式探究】某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本根据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2 000 本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元？【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8x2.50.10.2)x万元，那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：(8x2.50.10.2)x20.高频考点二：比较数或式子
7、的大小 例 2.已知xy0，比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小【答案】见解析【解析】xy0，xy0，xy0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)2xy(xy)0，8/23(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)【领悟技法】1.比较大小的常用方法(1)作差法 一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法 一般步骤：作商；变形；判断商与 1 的大小关系；结论(3)函数的单调性法 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系【
8、变式探究】(1)比较x2y21 与 2(xy1)的大小；(2)设aR 且a0，比较a与1a的大小【答案】见解析【解析】(1)x2y212(xy1)x22x1y22y2(x1)2(y1)210，x2y212(xy1)9/23(2)由a1aa1a1a 当a1 时，a1a；当1a0 或a1 时，a1a；当a1 或 0a1 时，a1a.高频考点三：不等式性质的应用 例 3.（2020陕西省西安中学高二期中（文）已知0ab，则下列不等式成立的是 （）A22ab B2aab C11ab D1ba【答案】D【解析】22ab=22)()0,ab abab（所以 A 选项是错误的.2aab=2()0,.a ab
9、aab所以 B 选项是错误的.11ab=110,.baabab所以 C 选项是错误的.1ba=0,1.babaa所以 D 选项是正确的.D故选：.10/23 例 4.若aln33，bln44，cln55，则()Aabc Bcba Ccab Dbac【答案】B【解析】方法一 易知a，b，c都是正数，ba3ln44ln3log81641，所以ab；bc5ln44ln5log6251 0241，所以bc.即cba.方法二 对于函数yf(x)lnxx，y1lnxx2，易知当xe 时，函数f(x)单调递减 因为 e345，所以f(3)f(4)f(5)，即cba.例 5.设f(x)ax2bx，若 1f(1
10、)2,2f(1)4”，则f(2)的取值范围是 【答案】5,10【解析】方法一(待定系数法)设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，11/23 则 4a2bm(ab)n(ab)，即 4a2b(mn)a(nm)b，于是得 mn4，nm2，解得 m3，n1.所以f(2)3f(1)f(1)又因为 1f(1)2,2f(1)4，所以 53f(1)f(1)10，即 5f(2)10.方法二(解方程组法)由 f1ab，f1ab，a12f1f1，b12f1f1.所以f(2)4a2b3f(1)f(1)又因为 1f(1)2,2f(1)4，所以 53f(1)f(1)10，故 5f(2)10.【规律总结】1判
11、断不等式的真假(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件 12/23(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例 2证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 3求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质
12、进行运算，求得待求的范围(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围 4掌握各性质的条件和结论在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定【变式探究】已知 12a60,15b36，求ab及ab的取值范围【错解】12a60,15b36，1215ab6036，1215ab6036，3ab24，13/23 45ab53.【辨析】错解中直接将 12a60,15b36 相减得ab的取值范围，相除得ab的取值范围而致错【正解】15b36，36b15
13、.1236ab6015，即24ab45.又 15b36，1361b115.又 12a60，1236ab6015，即13ab4.综上，24ab45，13ab4.【易错警示】错用不等式的性质致错.高频考点四：一元二次不等式的解法 例 6.（2019全国高考真题（理）已知集合24260MxxNx xx，则MN=（）A43xx B42xx C22xx D 23xx【答案】C【解析】由题意得，42,23MxxNxx ，则 22MNxx 故选C 14/23【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对应的一元二次方
14、程的根，或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集 2含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集【易错警示】忽视二次项系数的符号致误【变式探究】1（2020山西省高三其他（理）已知集合2|20Ax xx，1,0,1,2B ，则
15、()A2AB BABR C()1,2RBC A D()|12RBC Axx 15/23【答案】A【解析】因为2|20|2Ax xxx x 或1x，1,0,1,2B ，所以2AB，ABR，()1,0,1RC AB ，()2,12RC AB 故选：A 2.（2020黑龙江省大庆实验中学高三一模（文）已知集合1|03xAxx，集合|15BxNx，则AB（）A0,1,4,5 B0,1,3,4,5 C 1,0,1,4,5 D1,3,4,5【答案】A【解析】因为集合1|033xAxx xx或1x，集合|150,1,2,3,4,5BxNx，所以AB 0,1,4,5.故选：A 高频考点五：绝对值不等式的解法
16、例 7.（2017 天津，文 2）设xR，则“20 x”是“|1|1x”的（）16/23（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20 x，则2x，11x，则111,02xx ，022xxx x，据此可知：“20 x”是“11x”的的必要的必要不充分条件，本题选择 B 选项.例 8.（2014广东高考真题（理）不等式的解集为 .【答案】,32,.【解析】令 12f xxx，则 21,23,2121,1xxf xxxx，（1）当2x时，由 5f x 得215x，解得3x，此时有3x；（2）当21x 时，3f x，此时不等式无解；（3
17、）当1x 时，由 5f x 得215x，解得2x，此时有2x；综上所述，不等式的解集为,32,.【规律方法】形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，17/23 b，(b，)(此处设 ac(c0)的几何意义：数轴上到点 x1a 和 x2b的距离之和大于 c 的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)图象法：作出函数 y1|xa|xb|和 y2c 的图象，结合图象求解【变式探究】1（2020山东省高三二模）已知集合11Axx，12Bx x，则AB（）A1,3 B1,1 C 1,00,1 D 1,01,3
18、【答案】D【解析】1110,01,xAxxxx，122121,3Bx xxx ，因此，1,01,3AB .故选：D.2.不等式的解集为 _【答案】.18/23【解析】当时，原不等式可化为，无解；当时，原不等式可化为，即，所以；当时，原不等式可化为，即，所以综上，原不等式的解集为.高频考点六：绝对值不等式的应用 如果 a，b 是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立 例 9.（2020陕西省西安中学高二期中（文）若关于x的不等式2124xxaa 有实数解，则实数a的取值范围是（）A1a 或3a B3a C1a D13a【答案】A【解析】分析：利用绝对值的几何意义求得+12xx
19、最小值为3，再由不等式有解可得实数a的取值范围 详解：由于+12xx表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之差，其最小值为3，最大值为3，因为关于x的不等式2124xxaa 有实数解，可得243aa，即2304+aa，解得1a 或3a.19/23 故选：A.例 10.（2018 年理新课标 I 卷）已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求 的取值范围【答案】(1).(2)【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果
20、.（2）当时成立等价于当时成立若，则当时；若，的解集为，所以，故综上，的取值范围为【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题 20/23 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想 3.求f(x)|
21、xa|xb|和f(x)|xa|xb|的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.【变式探究】1.已知函数（1）解不等式；（2）若，且，求证：【答案】(1)或(2)见解析 21/23【解析】（1）当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.所以不等式的解集为或.（2），即 因为，所以，所以，故所证不等式成立 2.（2020广东省高三其他（理）已知函数()|23|1|f xxx.（1）求不等式()3f x 的解集；（2）若不等式()2|33|f xax对任
22、意xR恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）1 7,3（2）52a 【解析】（1）|23|1|3xx 22/23 12313xxx 或3122313xxx 或322313xxx 11xx 或31213xx或327xx 173x 即不等式()3f x 的解集为1 7,3.（2）()2|33|23|1|2|33|23|22|2f xaxxxaxxxa 5|23|22|23(22)|525,.2xxxxaa 3.（2018 届重庆市第三次抽测）已知函数.（）求不等式的解集；（）若证明：【答案】（1）（2）见解析【解析】（），故或或，故不等式的解为.（）法一：要证，只需证，即证（*）.23/23 因为，又由（），则，即，所以（*）式显然成立，故原命题得证.法二：因为，故要证，只需证，即证.由（）上式显然成立，故原命题得证.