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1、第一章：数学方程与比例 1-A 什么是数学 数学来自于人的社会实践，例如，工业和农业生产、商业活动、军事行动和科研工作。与数学反过来，为实践服务和所有字段中的伟大作用。没有现代的科学和技术分支机构可以定期制定中的数学，应用无 早有需要的人来了数字和形式的概念。然后，开发出的几何 土地和三角测量的问题来自测量的问题。若要对付一些更复杂的实际问题，男子成立，然后解决方程未知号码，因此代数发生。17 世纪前,男子向自己限于小学数学，即几何、三角和代数，只有常量被认为在其中。17 世纪产业的快速发展促进了经济和技术的进展和所需变量的数量、处理从常量到带来两个分支的数学-解析几何和微积分，属于高等数学，
2、现在有很多分支机构，其中有数学分析、高等代数、微分方程的高等数学中的可变数量的飞跃函数理论等。数学家研究理念和主张。所有命题公理、假设、定义和定理都。符号是一种特殊和功能强大的数学工具，用于表示很多时候的理念和主张。公式、数字和图表是阿拉伯数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 与另外的符号+、减法-，乘*，除和平等=。数学中的结论得到主要由逻辑推理和计算。长期的数学史上，以中心地点的数学方法被占领逻辑扣除。现在，由于电子计算机是迅速发展和广泛应用，计算的作用变得越来越多重要。在我们这个时代计算不只用于处理大量的信息和数据，而且还进行一些只是可以做的工作较早前的逻辑推理，例如，大部分的几
3、何定理的证明。1-B 方程 方程是平等的语句的两个相等的数字或数字符号之间。因此(a-5）=一 5a 和 x 3=5 是方程。方程的两种 身份和方程的条件。方程的算术或代数的身份。这种方程中两名成员是相似的或成为相似的指示操作的性能。因此 12-2=2+8,(m+n)(m-n)=m n 是身份。1c 比与测量 今天的思想沟通往往根据编号和数量的比较。当你描述为 6 英尺高的人时，你比较他更小的单位，称为脚的高度。当一个人描述为昂贵的商品时，他指相对于其他相似或不同的商品这种商品的海岸。如果你说你的起居室的尺寸由 24 18 英尺，一个人可以判断房间的一般形式比较尺寸。当纳税人说他的城市政府支出
4、 42%的税一美元作教学用途的时他知道 42 美分的每 100 美分用于此目的。化学家和物理学家不断比较测量的数量在实验室里。家庭主妇比较时测量数量的烤的成分。与他规模图纸建筑师和他工作绘图的机器草拟比较成品中相应实际长度在绘图中的行的长度。定义。一个数量为另一种像数量是第一次的商的比例除以第二个。比率是一个分数，而关于一小部分的所有规则都适用于比。我们写的比率与分数线、斜线号、司标志，或符号：（这读是）。因此，3 到 4 is3/4.The 3 和 4，被称为比例的条款的比率。很重要的了解比像数量的商学生。以某个角度向一条线段的比率已没有意义；他们不是同一种的数量。我们找到一条线段，第二个线
5、段的比例或一个角，第二个角度的比例。这是我们做的测量它们并寻找他们的测量的商。测量必须表达相同的单位。S 比始终是一个抽象的数字；即，它有没有单位。它是一个数字，认为除了它所来自的测量单位。除非有相反是一个重要的原因，应最简单的形式表示的比率。在前面的示例的客厅尺寸在哪里由 24 18 英尺，最终和长度的比率是宽度的 3:4。但不是 18:24。第二章：几何与三角 2.2 A 为什么要研究几何？我们为什么研究几何？开始此文本研究的学生也许会问，什么是几何。什么可以预料从这项研究获得？许多高校领导已经认识到正面的好处可以获得所有人学习数学的这个分支。这种明显的从这一事实它们需要的几何研究作为这些
6、院校预科的先决条件。几何巴比伦和埃及的尼罗河流域洪水淹没土地测量中很久以前了它的起源。希腊单词几何被从土力工程处、地球意义和美唐、意义度量值。早作为公元前 2000 年，我们发现的这些土地测量师人家重建消失的地标和边界的利用 几何的真理。几何是一门科学，由线条的形式处理。几何的研究是培养成功的工程师、科学家建筑师和草拟的重要组成部分。木匠、钳工、石匠、艺术家和设计师所有应用几何在他们的行业中的事实。在本课程学生将学到很多关于几何数字如线条、角度、三角形、圆和设计和多种模式。所得的几何研究的最重要的目标之一使学生在他的听力、阅读和思维更重要。学习几何他远离盲目接受语句和思想的实践领导和教想清楚与
7、批判前形成的结论。有几何的学生可以获得许多其他不太直接的利益。这些人当中必须包括训练在英语语言的精确使用和分析的能力 一种新形势或成基本部件，以及利用毅力、创意和解决问题的逻辑论证的问题。欣赏大自然的创作将几何研究的副产品。学生还应制定数学和数学家，我们的文化和文明的贡献的认识。2.2B 一些几何术语 1.固体和飞机。固是三维图。固体的常见示例是多维数据集、球、圆柱、圆锥和金字塔。多维数据集有六个面光滑、平整的。这些面孔被称为平面曲面，或只是飞机、平面有两个方面。长度和宽度。表面的黑板或桌面是平面曲面的一个例子。2、线条和线段。我们都很熟悉，但很难词的定义。一线可由在一张纸上移动的钢笔或铅笔标
8、记的代表。一条线，可被视为有只有一维，长度。虽然当我们绘制一条直线，我们给它的宽度和厚度，我们认为只的跟踪的长度，考虑行时。点有没有长度、没有宽度和没有厚度，但标记的位置。我们都熟悉 用这种表达式作为铅笔点和针点。我们点表示一个小点，并将其命名的旁边，打印为大写字母 A 点 图 2-2-1。在行的标记上它的两个点，用大写字母或附近的一个小字母命名。图 2-2-2 的直线是读AB 线行 l。直线延伸到无穷远的两个方向并没有结束。线上的两个点之间的部分称为行被称为一条线段。一条线段两个端点的命名。因此，图 2-2-2，我们称为 AB 线 l 的一条线段。当不会混淆可能导致，表达线段 AB 通常由
9、AB 段或更换，简单地说，行 AB.有三种线路：直线、断的线和曲线。弯曲的线条或，简单地说，曲线不是其中的任何部分是直行。断的线联接、直线线段组成为能得到一个唯一的图 2-2-3。3.部分的一个圆。圆是封闭的躺在一个平面，其中的所有点都都距离称为中心一个固定的点。一个圆的符号。图 2-2-4，O 是 ABC 中心，或简单的 O.A 圆点从圆的中心绘制的线段是圆的半径（复数，半径）。OA、转播，业主立案法团是中华民国的半径圆的直径是通过中心圆圈圈上的终结点的一条线段。一个直径等于两个半径。弦是任何加入圆上的两个点的线段。教育署是图 2-2-4 圈的弦。从这个定义很明显直径是弦。一条弧线，如弧 A
10、E，其中由 AE 表示圆的任何部分。A、E 点圆分为轻微弧 AE 和主要弧安倍。直径分为两个弧形称为半圆的一个圆。如 AB 和 BCD。周围是一圈的长度。2.1-B 涉及字母标识是数值的真正的任何一组字母它。因此身份(+2)x=ax+2 x 成为 3(7+2)=21+6 或 27=27，时，例如，x=3，和=7。这是事实，只有某些值的一封信中，或某些集的方程 相关的值的两个或更多的信，是方程的条件或简单的方程。Thus3x-5=7 是真正为 x=4 只；和 2 x-y=10 是真正为 x=6 和 y=2 和许多其他值对 x 和 y。任何数字或数字符号，满足这个方程的方程根。要获取的根或方程根的
11、称为方程的求解。有很多种的方程。他们是线性方程组，二次 equations.etc。解方程就发现未知词的价值。要做到这一点，我们必须，当然，改变条款有关直到未知的词单独一侧的方程，从而使它等于东西的另一边。然后，我们获得的价值与未知的问题的答案。若要求解方程，因此，移动和更改有关的条款，不做公式不真实，直到未知的数量只是意味着提起一侧，无论哪一方。方程的很大的使用。我们可以使用许多数学问题中的方程。我们可能会发现几乎每一个问题给我们一个或多个语句什么是等于什么等于某事 ；这给了我们方程，与我们可能工作如果我们需要。2.2 C 三角函数和直角三角形的解决方案 相互依存的边和角的三角形。我们知道这
12、从几何。三角开始通过显示这种依赖性之间的边和角的三角形的确切性质。为此目的三角雇佣双方的比率。这些比率称为三角函数。6 三角函数的直角三角形，为 A，任何急性角表示，如下所示；这些函数（比率)是极为重要的三角学的研究。他们必须载入史册。最重要的应用程序之一是三角的三角形的解决方案。让我们现在占用的直角三角形的解决方案。一个三角形组成的六个部分、三边和三个角度。若要解决一个三角形是找到不给予的部分。直角三角形有一个角度，以正确的角度，总是给予。因此当双方或一方和急性角度来看，有一个直角三角形可以得到解决。解直角三角形的一般指示提供如下。第三章 3A 符号指示集 一组的概念如此广泛利用整个现代数学
13、的认识是所需的所有大学生。集是通过集合中一种抽象方式的东西的数学家谈的一种手段。集，通常用大写字母：A、B、C、进程运行、X、Y、Z；由小写字母指定元素：a、b 的 c、进程运行，若 x、y z.我们用特殊符号 xS 意味着 x 是 S 的一个元素或属于美国的 x 如果 x 不属于 S，我们写 xS.当方便时，我们应指定集的元素显示在括号内；例如，由符号表示的积极甚至整数小于 10 集 2,468 2，4.6，进程运行 作为显示的所有积极甚至整数集，而三个点等的发生。点的和等等的意思是清楚时，才使用。上市的大括号内的一组成员方法有时称为名册符号。涉及到另一组的第一次基本概念是平等的集。DEFI
14、NITIONOFSETEQUALITY。两组 A 和 B，据说是平等的（或相同的）如果它们包含完全相同的元素，在这种情况下，我们写 A=B。如果其中一套包含在另一个元素，我们说这些集是不平等，我们写 A=B。EXAMPLE1。根据对这一定义，由于他们都是由构成的这四个整数 2，4.6 和 8 两套 2,468 和 2,864 一律平等。因此，当我们用来描述一组的名册符号，元素的显示的顺序无关。动作。集 2,468 和 2,2,4,4,6,8 是平等的即使在第二组，每个元素 2 和 4 两次列出。这两组包含的四个要素 2,468 和无他人；因此，定义要求我们称之为这些集平等。此示例显示了我们也不
15、坚持名册符号中列出的对象是不同。类似的例子是一组在密西西比州，其值等于 M、我、s、p 一组单词中的字母，组成四个不同字母 M、我、s 和体育 3B 子集 S.从给定的集 S，我们可能会形成新集，称为.的子集例如，组成的那些正整数小于 10 整除 4（集合8 毫米）的一组一般是的所有甚至小于 10.整数集的一个子集，我们有以下的定义。子集的定义。A 一组据说是 B，集的一个子集，我们写 A B 每当 A 的每个元素也属于 B.我们还说包含 B A 或 B 包含。关系称为集。A 和 B 的声明并不排除可能性，B。事实上，我们可能 B A 和 B A，但只有当 A 和 B 都具有相同的元素发生这种
16、情况。换句话说，A=B 当且仅当 B 和 B A。这一命题是上述定义的平等和包容的直接后果。如果A 和 B，但 AB，然后我们说的就是你的真子集我们表明这通过编写B.在所有的应用程序集理论，我们有一套固定事先，S，我们只关心这给定组的子集。底层的设置的不同而有所不同从一个应用程序，到另一台；它将转交作为每个特定的话语的通用组。符号XXS 和 X 满足 P，将指定的所有元素 X 在 S 中满足该属性集体育当通用设置为我们所指的 id 的理解，我们省略参照以 S，我们只需写XX 满足 P。这读取 集的所有这种 x 满足 p。在此方法中指定的设置说笔下定义的属性，例如，所有正实数的一组可以被指定为
17、XX 大于 0；通用集 S，在这种情况下理解为所有实数集。当然，这封信 x 是个笨蛋，并可由任何其他方便的符号替换。因此，我们可以写 xx 大于 0=y y 大于 0=t t 大于 0 等等。它有可能设置为不包含任何元素。这套被称为空集或无效设置，并将由symbol表示。我们会考虑 to 是每一集的一个子集。有些人觉得很有用的一套类似于一个容器（例如，一个袋子或框）包含某些对象，其元素。空集则类似于一个空的容器。为了避免逻辑的困难，我们必须区分元素x 和集x的唯一元素是x,(A box with a hat in it is conceptually distinct from the hat
18、 itself.)尤其是，空的 setis 集合不相同。事实上，空设置contains 没有元素而集有一个元素（一个框，其中包含一个空框不是空的）。组成一个元素的集合，有时也称为一个元素集。3 C 在讨论任何分支的数学，它分析、代数、几何，最好使用符号和集理论的术语。这一问题，在世纪后期开发的布尔和康，已对 19 20 世纪数学发展的深远的影响。它具有统一许多看似已断开连接的想法，并有助减少许多数学概念的逻辑基础，优雅和有系统的方式。集理论彻底治疗需要长时间的讨论，我们认为这本书的范围。幸运的是，基本的 noticns 是几号中，并有可能发展的非正式讨论通过集理论思想工作知识的方法。实际上，我
19、们将讨论不是一个新的理论作为协议有关的精确的术语，我们要将应用到更多或更少的熟悉的想法。在数学中，集一词用于表示作为单个实体的集合称为想查看的对象的集合，作为群，这类名词的部落，人群，团队，是所有示例的集合，集合中的各个对象称为元素或一组的成员他们都说属于或载于一组。反过来，集包含或由其元素的表示。我们须主要兴趣的数学对象集：集数字、集的曲线、集的几何图形，等等。在许多应用程序，它是方便快捷的处理中，没有什么特别的集假定在集合中的各个对象的性质有关。这些称为抽象集。抽象集理论已经发展到处理的任意对象，这种集合，并从这种普遍性理论派生其权力。第四章 4-A 存在某些子集的 R 的区分，因为他们不
20、共享的所有实数的特殊属性。在本节中，我们将讨论两个这样的子集、整数、有理数。若要引进的正整数，我们开始数字 1，在其存在的公理 4 保证。2、2+3 1 的数由表示数字 1+1，依此类推。数字 1 2、3，以这种方式获得的重复加 1 的是积极的而他们则称为正整数。严格地说，这说明的正整数还没有完全完成因为我们已经没有详细解释我们等等，什么意思表达 或者重复加 1。虽然直观的表达意义上去很清晰，实数系统精心治疗有必要给的正整数更精确的定义。有许多方法来执行此操作。一种方便的方法是先介绍一个感应集的概念。感应集的定义。实数集称为感应集，如果它具有以下两个属性：(a)1 号是集。(b)在一组，每个
21、x 数字 x+1 是还在一组。例如，R 是归纳的组。所以是 R+一组。现在我们将定义为那些属于每个感应集的实数的正整数。Definition 的正整数。实数称为一个正整数，如果它属于每一个感应集。让 P 表示这个集合的所有的正整数。然后，P 是本身感应集因为(a)它包含 1，并且(b)它包含 x+1，每当它包含 x。由于 P 成员属于每个感应集，我们称之为 P 的最小的感应集。此属性的设置 P 形成一种类型的推理逻辑基础诱导，详细的讨论，其中有 4 部这个介绍数学家调用证明的。消极的正整数称为负的整数。正整数，连同负整数和 0(zero)，从我们称之为简单的整数集设置 Z。实数系统彻底治疗，它
22、会有必要在此阶段，证明某些定理的整数。例如，sum、差异，或产品的两个整数，但两个整数的商不需要是一个整数。然而，我们不应进入该等债权证明表的详细信息。整数的商/b（其中 b 0)被称为有理数。有理数，由 Q，表示的一组包含 Z 为子集。读者应意识到由 Q 满足所有字段公理和顺序公理。为此，我们说的有理数集是一个有序的字段。不在 Q 的实数称为非理性。4-B 读者是无疑熟悉实数的一条直线上的点的几何表示形式。代表 0，有权代表 1，在图 2-4-1 所示的 0 及另一人，选择一个点。此选项确定规模。如果一个采用一套合适的欧几里德几何公理，然后每个真实的数字对应于这条线上的一个点，相反，在行上的
23、每个点对应于一个且仅一个实数。为此线通常称为真正的直线或实轴，而且很习惯使用单词实际数量和互换点。因此我们经常讲点的 x，而不是点对应的实数。实数的订购关系有一个简单的几何解释。如果 x y、点 x 位于左侧的点的 y，如图 2-4-1 所示。正数躺到左侧的 0 0，负数的权利。如果 b、点 x 满足不等式 x b 当且仅当 x 是之间和 b。此设备的几何表示实数是非常有价值的工具，有助我们去发现和更好地了解实数的某些属性。然而，读者应意识到必须将所有属性都被视为定理的实数的推断出从不涉及任何几何公理。这并不意味着人不应该让几何研究的实数属性中的使用。相反，几何往往表明特定的定理证明的方法和有
24、时几何参数是比纯粹的解析证明（一个完全取决于公理的实数）更加出色。在这本书中，几何参数用于很大程度上有助于激励或澄清特定的讨论。不过，所有的重要定理的证明以解析的窗体。4 C 首先，让我们把注意力转移到分数。你肯定见过表达式一半和季度，分母等于 2 或 4 时使用它们。1/3 是读三分之一。其他分数是以相同的方式读取的。因此，我们读 1/5,1/6,1/7,1/10,1/25,1/100 为五分之一，六分之一，六分之一、七分之一，十分之一，1:25 上午和百分之一。这些表达式被视为名词，因此可能产生的复数形式。因此，我们作为三分之二；读了 2/3 同样 5 6,9 105/100 是读取六分之
25、五、九十分之五百分之一。但是，如果分母的最后一位是 1 或 2，然后我们不要读分数以上述方式。例如，我们宣布 5/21 作为五个超过 21。此方法还在其它情况下使用。如果分数不是一项共同(e.g.，1/1089年或 501/1205 年），然后我们说一对千和 89 个或五一百以上十二百和五。下一步，让我们检查小数。他们是很简单的发音。只读取数的整数部分普通的方式，然后说点（代表小数点），然后后另读取一个小数位。因此 12.65 读取十二-点-六-五；正确，6 位小数，等于 three-point-one-four-one-five-nine-two，正确的五个重要的数字，等于 three-po
26、int-one-four-one-six。小于一个小数部分时，一般不写了，例如，0.56，但仅限于英格兰。56）。56 读点-5-6，.0007 读点-团团转-团团转-团团转-七或通常更-三-0 的七。现在代数表达式，分数再次读取指针经过。（2a-1)/(ax+b)对 ax+b 读取 2a-1 和括号表示到一词如（a+b)(a-b)读加进减号 b b。权力指数或指数由表示。平方和 3桂鱼，或到第三个指数的读取索引 2。其它指数，第四，第五，减号第二部分，第 n，以读取。身份 3+b 3=(+b)(a2-ab+b2)读取多次元的罗宋汤的脓 b 到平方的 ab 加 b 平方等于 a+b。或与方程 x(-2/3)+2=0 读取x，减号的三分之二，加上第五根的平方等于零。