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1、1/15 新高考数学二轮复习考点知识专题讲解 等差数列、等比数列 【考点一】等差、等比数列的基本量计算 1(2021烟台一模)某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线l上取长度为 2 的线段 AB，并作等边三角形 ABC，第一次画线：以点 B 为圆心、BA 为半径逆时针画圆弧，交线段 CB 的延长线于点 D；第二次画线：以点 C 为圆心、CD 为半径逆时针画圆弧，交线段 AC 的延长线于点 E；以此类推，得到的螺线如图所示，则下列说法正确的是()A第二次画线的圆弧长度为43 B前三次画线的圆弧总长度为 4 C在螺线与直线l恰有 4 个交点(不含 A 点)时停止画线，此时螺线的总长度
2、为 30 D在螺线与直线l恰有 6 个交点(不含 A 点)时停止画线，此时螺线的总长度为 60 2/15【变式训练】(1)若初始图形为正方形，你能否作出对应的螺旋线？(2)其对应的弧线长度构成的数列，能否写出通项公式？(3)前 n 段弧长之和等于多少？2(2020全国卷)数列 an 中，a12，amnaman，若 ak1ak2ak1021525，则 k()A2 B3 C4 D5 3.(2021菏泽一模)在等比数列an中，a1a2a3a4ln(a1a2a3).若 a11，则下列结论正确的是()Aa1a2Ba2a3 Ca3a4Da1a4 4(2020全国卷)记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和
3、若 a12，a2a62，则 S10_ 3/15【考点二】等差、等比数列性质综合 1.(2021鹤岗模拟)已知等比数列 an 的各项均为正数，且 a39，则 log3a1log3a2log3a3log3a4log3a5()A52 B53 C10 D15 2 周髀算经中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为 37.5 尺，芒种的日影长为 4.5 尺，则冬至的日影长为()A15.5 尺 B12.5 尺 C10.5 尺 D9.5 尺 3.已知两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和
4、分别为 Sn和 Tn，且SnTn 3n39n3，则使得anbn 为整数的正整数 n 的值可以为()A1 B3 C4 D5 4已知等比数列an的公比 q0，前 n 项和为 Sn，若 2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a664，则 q_，Sn_ 4/15【考点精练】1(2021北京高考)数列an是递增的整数数列，且 a13，a1a2an100，则 n的最大值为()A9 B10 C11 D12 21904 年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线如图，取一个边长为 1 的正三角形，在每个边上以中间的13 为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的13 擦掉，得到第 2 个图形，重复上面的步骤
5、，得到第 3 个图形这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”，下列说法不正确的是()A第 4 个图形的边长为181 B记第 n 个图形的边数为 an，则 an14an C记第 n 个图形的周长为 bn，则 bn3n143（）D记第 n 个图形的面积为 S，则对任意的 nN，存在正实数 M，使得 Sn0ta4ln t，所以 a4ln tt.记 f(t)ln tt，则 f(t)1t 11tt.当 0t0，函数单调递增；当 t1 时，f(t)0，函数单调递减 所以 f(t)f(1)ln
6、 111.故 a41，所以 q3a4a1 0，即 q0.10/15 所以 a20，a40，前 n 项和为 Sn，若 2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a664，则 q_，Sn_【解析】由等比数列的性质可得 a2a6a24，所以 a2a4a6a34 64，解得 a44.由 2a3，a5，3a4成等差数列，所以 2a52a33a4，即 24q24q 34，整理得 2q23q20，13/15 解得 q2 或 q12(舍).故 a1a4q3 423 12.所以 Sn12（12n）12 2n112.答案：22n112 【考点精练】1(2021北京高考)数列an是递增的整数数列，且 a13，a1a2
7、an100，则 n的最大值为()A9 B10 C11 D12【解析】选 C.要想 n 最大，前面的项越小越好考虑从 3 开始的连续整数，3 到 13 的和不足 100，3 到 14 的和超过 100，所以要想 n 最大，需取 3 到 12，再添上一个数使得和为 100(此数为 25，但不需要算出)，此时有 11 个数，即 n 最大为 11.21904 年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线如图，取一个边长为 1 的正三角形，在每个边上以中间的13 为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的13 擦掉，得到第 2 个图形，重复上面的步骤，得到第 3 个图形这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线
8、称为科赫曲线云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”，下列说法不正确的是()14/15 A第 4 个图形的边长为181 B记第 n 个图形的边数为 an，则 an14an C记第 n 个图形的周长为 bn，则 bn3n143（）D记第 n 个图形的面积为 S，则对任意的 nN，存在正实数 M，使得 SnM【解析】选 A.易知，各个图形的边长成等比数列，且 q13，因此可设边长为 cn(13)n1，则 c413 3127，A 错误；易知，各个图形的边数也成等比数列且 q4，所以 an34n1，B 正确；周长为 bnancn3n1
9、43（），C 正确；由极限思想易知，当 n时，图形无限接近于圆，故 SnS圆M，D 正确 3(2021淄博一模)已知在等比数列an中，首项 a12，公比 q1，a2，a3是函数 f(x)13 x36x232x 的两个极值点，则数列 an的前 9 项和是_ 【解析】函数 f(x)13 x36x232x，则 f(x)x212x32，因为 a2，a3是函数 f(x)13 x36x232x 的两个极值点，15/15 所以 a2，a3是方程 x212x320 的两个根，则a2a312a2a332，解得a24a38 或a28a34，又在等比数列an中，公比 q1，所以a24a38，所以 qa3a2 2，又首项 a12，所以 S92（129）12 1 022.答案：1 022