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1、学必求其心得，业必贵于专精 1 第一章立体几何初步 知识建构 综合应用 专题一 几何体的展开图问题 几何体的展开图因几何体的不同而不同,它不仅反映了几何体本身的特点，还能反映空间的平行与垂直关系通过几何体的展开图形状的研究可以使我们更加形象地理解空间几何体的结构特征 应用 1 如图(1）(2)(3)三个图形能否折叠成棱柱？请试折叠一下并说明理由 提示：首先判断各图如果能折成棱柱则应该折成什么样的棱柱，再看各图与相应棱柱展开图有什么差异这个题主要要求学生把握多面体的基本情况,运用纸张折叠，结合想象,掌握简单几何体的性质与构成 应用 2 如图,圆柱体的底面圆周长为 24 cm，高为 5 cm，BC
2、为上学必求其心得，业必贵于专精 2 底面的直径，一壁虎从距圆柱的底端 A 点 2 cm的 E 处沿着表面爬行到母线 CD 距 C点 1 cm的点 F 处，请你帮助壁虎确定其爬行的最短距离 提示：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法在求空间图形表面两点间的最短距离时,常运用“展开”变换，化曲(折）为直，从而把“折线拉成直线，曲面展成平面”,使问题得以巧妙解决由于壁虎是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱侧面展开成平面图形根据两点之间线段最短求最短距离 专题二 表面积、体积的计算问题 几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料
3、最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算这里应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用本部分内容在高考中一直是重点考查的内容,考查形式可以是选择、填空题，也可以是解答题，难度上属于容易题，应引起重视 应用 1 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2,动点 E，F在棱 A1B1上,动点 P，Q分别在棱 AD，CD上若 EF1，A1Ex，DQ学必求其心得，业必贵于专精 3 y，DPz(x，y,z大于零）,则四面体 PEF
4、Q的体积（)A与 x，y，z都有关 B与 x 有关，与 y，z无关 C与 y 有关,与 x,z无关 D与 z有关，与 x，y 无关 提示:选取四面体的面 EFQ作为底，P 到面 EFQ 的距离为高 应用 2(2011湖北黄冈高三模拟）如图，正三棱柱的棱长和底面边长均为 2，主视图是边长为 2的正方形，则左视图的面积为（）A4 B2 3 C2 2 D错误!提示：根据“长对正，高平齐，宽相等法则找出左视图的各边长再进行计算 专题三 空间几何体中的平行和垂直 判断或证明空间线面的位置关系，主要是通过平行、垂直关系的判定定理与性质定理进行转换，通过相互转化，推证相关结论 应用 1 如图，ABCD 为正
5、方形，正方形 ADEF 所在平面与平面ABCD互相垂直,G，H是 DF,FC的中点 学必求其心得，业必贵于专精 4 (1)求证：GH平面 CDE；(2）求证：BC平面 CDE.提示:(1）证出 GHCD即可；（2)在平面 CDE中找出与 BC垂直的两条相交直线 CD，ED 应用 2 如图，在立体图形 ABCD中，各个面均是正三角形，G，F，M 分别是 BC，AB，AC的中点,过 FG的平面与平面 ACD相交于EH，求证：平面 BMD平面 FGHE.提示：可以根据线面垂直证明面面垂直,进一步可以转化为线线垂直,反过来，面面垂直也可以转化为线面垂直,线线垂直，体现了整体与局部之间的关系 专题四 球
6、与其他几何体的切接问题 球与规则几何体如正方体、长方体的切接问题一直是高考考查的重点和热点问题本部分内容可以与三视图结合，也可以和表面积、体积结合起来命题，一般以选择或填空题形式出现，难度上属于容易题 应用 1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面 已知学必求其心得，业必贵于专精 5 该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 3，底面周长为 3，那么这个球的体积为_ 提示：根据球外接于六棱柱，先求出球的半径 应用 2 长方体 ABCDA1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，ABAA11，BC错误!,则 A，B 两点间的球面距离为_ 提示：长方体的体对角线长为球的直径 应用 3
7、四个半径为 R 的球两两外切，其中三个放在水平桌面上，第四个球放在这三个球之上,在这四个球的中央放一个小球,则这个小球的半径为_ 提示:与球有关的组合体主要是球与其他几何体的切接问题这类问题要仔细观察、分析，弄清相关元素之间的位置关系和数量关系,选择最佳角度作出截面，把空间问题平面化，进而在平面内加以求解注意各部分组合之间的关系是解答此类问题的成功所在 应用 4 如图，在三棱锥 SABC 中，SAABAC1，BAC90，SA面 ABC，求三棱锥 SABC 的内切球的半径 提示:求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面
8、就很困难，因此这种方法用起来很烦琐我们可以利用学必求其心得，业必贵于专精 6 另一种既简便又快速的方法体积法,即把多面体进行分割,且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径,然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径 真题放送 1（2011江西高考）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为(）2（2011广东高考改编)如图 13，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（)A6错误!B9错误!C12错误!D18错误!3(2011浙江高考)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是（
9、）学必求其心得，业必贵于专精 7 4(2011湖北高考)设球的体积为 V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是（)AV1比 V2大约多一半 BV1比 V2大约多两倍半 CV1比 V2大约多一倍 DV1比 V2大约多一倍半 5（2011四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3 Cl1l2l3l1，l2,l3共面 Dl1，l2，l3共点l1,l2,l3共面 6（2011福建高考)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，点 E 为 AD的中点,点 F在 CD上若 EF平面 AB1C，则线
10、段EF 的长度等于_ 学必求其心得，业必贵于专精 8 7(2011福建高考）在三棱锥 PABC中，PA底面 ABC，PA3，底面 ABC是边长为 2的正三角形，则三棱锥 PABC的体积等于_ 8（2011江苏高考）如图，在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60，E,F 分别是 AP，AD的中点 求证：(1)直线 EF平面 PCD;（2)平面 BEF平面 PAD 答案:综合应用 专题一 应用 1：解:图(1)可折成一个四棱柱 图（2）不能折成棱柱,因为折成后的几何体两底面不在两个平面内 图(3)不能折成棱柱，因为与正方体的每个面相邻的面最多只有四个,因而展开后的
11、图形中，任一个正方形在它的周围最多应只有四学必求其心得，业必贵于专精 9 个正方形，而图中有一个正方形，在它的周围有了 5 个正方形,而这是不可能的 应用 2:解：将圆柱沿着 AB 剪开铺平,得如图所示的展开图 过点 E 作 CD的垂线 EG，连接 EF,则壁虎爬行的最短距离为线段 EF 的长 根据题意知 AE2 cm，CF1 cm，因 AB5 cm，则 FG2 cm，又因为 EGAD为圆柱底面圆周长的一半，故知 EG12 cm，利用勾股定理可求得 EF EG2FG2错误!2错误!(cm)即壁虎爬行的最短距离为2 37cm。专题二 应用 1:D DCA1B1，EF1,SEFQ错误!12错误!错
12、误!(定值）四面体 PEFQ 中面 EFQ 上的高为 P 到面 A1DCB1的距离为DPsin 45错误!z。V四面体PEFQ错误!错误!错误!z错误!z.应用 2:B 由题意可知,此正三棱柱的左视图如图所示 其中左视图中高即为正三棱柱的高，左视图中宽即为底面正三角形的高，学必求其心得，业必贵于专精 10 S左视图2错误!2错误!。专题三 应用 1：证明:(1)G,H分别是 DF，FC的中点，在FCD 中，GHCD。CD 平面 CDE，GH 平面 CDE，GH平面 CDE。（2)平面 ADEF平面 ABCD，交线为 AD.EDAD,AD 平面 ABCD，ED平面 ABCD。又BC 平面 ABC
13、D，EDBC。又BCCD，CDDED,BC平面 CDE。应用 2：证明:因为ABC是正三角形，M 为 AC 的中点，所以 MBAC，同理 MDAC。所以 AC平面 BDM。又 F，G分别为 AB,CB的中点，所以 FGAC。所以 FG平面 BDM.又 FG 平面 FGHE。所以平面 MDB平面 FGHE.专题四 应用 1:错误!根据球外接于正六棱柱，得球心与六棱柱上下底面中心连线的中点重合由勾股定理，得 R2错误!2错误!2，解得 R1。学必求其心得，业必贵于专精 11 所以球的体积为错误!R3错误!。应用 2：错误!由题意，知球半径为错误!错误!1，设球心为 O，则AOB为正三角形,AOB错
14、误!,A，B 间的球面距离为3.应用 3：错误!R 以四个大球的球心连线构成的四面体为正四面体,如图所示,过O4作O4H平面O1O2O3于H,小球球心O是正四面体的中心，OO4H。分别连接 O与四个顶点，它们的长度均为 Rr(设 r是小球半径)，正四面体的棱长均为 2R,所以 O1H错误!R，O4H错误!R.设 OHh，正四面体被分割成四个体积全等的小正三棱锥，正四面体的每个面的面积设为 S，则利用正四面体的体积等于四个小正三棱锥的体积和得 V错误!S错误!4错误!Sh，求得 h错误!R,O4ORrO4HOH错误!R错误!R错误!R，r错误!R.应用 4：解:设内切球的球心为 O，球的半径为
15、r，则 学必求其心得，业必贵于专精 12 VSABCVOSABVOSACVOSBCVOABC，又VOSAB，VOSAC，VOSBC，VOABC的高都是 r，SA面 ABC，VSABCVOSABVOSACVOSBCVOABC 错误!r(SSABSSACSSBCSABC）错误!r错误!错误!错误!1错误!，r错误!错误!。三棱锥 SABC 的内切球的半径为错误!.真题放送 1D 根据正投影的性质，并结合左视图要求及如图所示,AB的正投影为 AB，BC 的正投影为 BC,BD的正投影为 BD,综上可知左视图为选项 D.2B 由几何体的三视图知直观图如图所示 原几何体为底面ABCD为矩形的四棱柱，且A
16、B3，侧面A1ABB1底面 ABCD，A1A2。过 A1作 A1GAB于 G，由三视图知 AG1，A1D13，A1G错误!错误!。底面 ABCD 的面积 S339，VABCDA1B1C1D1Sh9错误!9错误!。3D 由主视图中间的线为虚线可排除选项A,B，由俯视图可学必求其心得，业必贵于专精 13 排除选项 C，故选 D.4 D 设球的半径为 r,正方体棱长为 a，则 3a24r2，即 a错误!r，V1错误!r3，V2错误!r3,错误!错误!,故选 D.5B 对于 A选项，在同一平面内满足条件是正确的，而在空间中不一定正确 如正方体 ABCDA1B1C1D1中,A1AAD，ADAB。有 A1
17、AAB，而不是 A1AAB；对于 C 选项,如正方体 ABCDA1B1C1D1中，D1C1A1B1AB，而三直线 D1C1，A1B1,AB 不共面；对于 D选项，如正方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1，B1A1，D1A1共点于 A1，而三直线 AA1，B1A1,D1A1不共面；对于 B选项,由两直线所成角的定义可知正确 6错误!由 EF平面 AB1C，知 EFAC，EF错误!AC错误!2错误!错误!。7 3 由题意，VPABC13SABCPA错误!错误!223错误!，故三棱锥 PABC的体积等于 3.8证明：（1)在PAD中,因为 E,F 分别为 AP，AD的中点，所以 EFPD.学必求其心得，业必贵于专精 14 又因为 EF 平面 PCD，PD 平面 PCD，所以直线 EF平面PCD.（2）连接 BD.因为 ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为 F 是 AD 的中点，所以 BFAD。因为平面 PAD平面ABCD，BF 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 BF平面 PAD.又因为 BF 平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD。