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1、聊城市 2022-2023 学年高三上学期期末检测 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合2560Ax xx，10Bx x，则AB()A1x x B21xx C31xx D3x x 2设复数 z 满足2i23iz，其中 i 为虚数单位，则在复平面内，复数 z 对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知2sin13,2sin77a，|1ab，a 与ab的夹角为3，则a b()A2 B3 C4 D5 4已知不等式20axbxc的解集是14xx，则不等式21b x(3)0a x
2、c的解集为()A213xx B1x x 或23x C413xx D1x x 或43x 5我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅衣发展某校高一新生中的 5 名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑倶乐部”“篮球之家”“围棋苑”4个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法种数为()A72 B108 C180 D216 6函数12sin23yx，2,2 x 的单调递增区间是()A52,3 B5,33 C5,33 D5,23 7在区间1,4上，函数2()(,)f xxbxc b cR与29()xxg xx在0 xx处
3、取得相同的最小值，那么()f x在区间1,4上的最大值是()A12 B11 C10 D9 8已知函数3()e(3)1xf xxax在区间(0,1)上有最小值，则实数 a 的取值范围是()A(e,2)B(e,1e)C(1,2)D(,1e)二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。9关于函数()|ln|2|f xx，下列描述正确的有()A函数()f x在区间(1,2)上单调递增 B函数()yf x的图象关于直线2x 对称 C若12xx，但 12f xf x，则122xx
4、D函数()f x有且仅有两个零点 10在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若cosbcA，内角 A 的平分线交 BC于点 D，1AD，1cos8A，以下结论正确的是()A34AC B8AB C18CDBD DABD的面积为3 74 11已知四棱雉PABCD的顶点都在球心为 O 的球面上，且PA 平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，2PAAB，4AD，设 E，F 分别是 PB，BC 的中点，则()A平面/AEF平面 PCD B四棱锥PABCD的外接球的半径为6 CP，B，C 三点到平面 AEF 的距离相等 D平面 AEF 截球 O 所得的截面面积为143 12.已知椭圆2
5、2:143xyC的左、右焦点分别为 F，E，直线(11)xmm 与椭圆相交于点 A，B，则()A.椭圆 C 的离心率为32 B.存在 m，使FAB为直角三角形 C.存在 m，使FAB的周长最大 D.当0m 时，四边形 FBEA 的面积最大 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若函数2(2),0,()(21)1,0 xa x xf xaxax在 R 上为增函数，则 a 的取值范围为_ 14关于 x 的不等式2216(4)10axax 的解集为，则实数 a 的取值范围为_ 15 某公司招聘 5 名员工 分给下属的甲、乙两个部门 其中 2 名英语翻译人员不能分给同一部门
6、另3 名电脑编程人员不能都分给同一部门,则不同的分配方案种数是_ 16已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C 的上顶点为 A，两个焦点为1F，2F，离心率为12过1F且垂直于2AF的直线与 C 交于 D，E 两点，|6DE，则ADE的周长是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c已知(2)coscos0cbAaC(1)求 A;(2)从下面的三组条件中选择一组作为已知条件,使得ABC存在且唯一确定,求ABC的面积 2,3ab;2,6aB;AB边上的高3,3ha 18（12 分）
7、已知数列 na的前 n 项和为11,2,3232nnnnnaSaSS(1)记113nnnab，证明：nb是等差数列，并求 nb的通项公式；(2)记数列 na的前 n 项和为nT，求nT，并求使不等式2022nT 成立的最大正整数 n 19（12 分）如图，在棱柱1111ABCDABC D中，1AA 平面 ABCD，四边形 ABCD 是菱形，60ABC，点 N 为 AD 的中点，且14,2AAAB (1)设 M 是线段1BD上一点，且1BMMD试问：是否存在点 M，使得直线1/AA平面 MNC？若存在，请证明1/AA平面 MNC，并求出的值；若不存在，请说明理由；(2)求二面角1NCDD的余弦值
8、 20（12 分）当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值 小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近 5 个月的家乡特产收入 y（单位：万元）情况，如表所示 月份 5 6 7 8 9 时间代号 t 1 2 3 4 5 家乡特产收入 y 3 24 22 2 18（1）根据 5 月至 9 月的数据，求 y 与 t 之间的线性相关系数（精确到 0001），并判断相关性；（2）求出 y 关于 t 的回归直线方程（结果中b保留两位小数），并预测 10 月收入能否突破 1 5 万元，请说明理由 附：相关系数公式：1122221111nn
9、iiiiiinnnniiiiiiiittyyt yntyrttyyttyy（若|0.75r，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）一组数据11,x y，22,xy，,nnxy，其回归直线方程ybxa的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221niiiniix ynxybxnx，aybx 参考数据：8.482.91 21（12 分）如图，已知(1,0)F为抛物线22(0)ypx p的焦点过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得ABC的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧 记AFG，CQG的面积分别为1S，2S （1）求 p
10、 的值及抛物线的准线方程；（2）求12SS的最小值及此时点 G 的坐标 22（12 分）已知函数()e ln(1)xf xx（）求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（）设()()g xfx，讨论函数()g x在0,)上的单调性；（）证明：对任意的 s，(0,)t，有()()()f stf sf t 参考答案 1答案：A 解析：因为2560(2)(3)0Ax xxx xx2x x 或3,101xBx xx x，所以2ABx x或311xx xx x 2答案：D 解析：由题意得23i313i2i2i2z，z在复平面内对应的点的坐标为3,12，在第四象限 故选 D 3答案：B 解析：因
11、为2sin13,2sin77a，所以22|2sin132sin77a222sin132cos132，又因为|1ab，a 与ab的夹角为3，所以2()41cos3|2 12aabaa ba baabaab，所以3a b，故选 B 4答案：B 解析：由不等式20axbxc的解集为14xx，可得1x 和4x 是方程20axbxc的两根，且0a，所以14,1 4,baca 可得3,4,baca 所以不等式21(3)0b xa xc可化为231(3)40a xa xa 因为0a，所以上式等价于231(3)40 xx，即232(1)(32)0 xxxx，解得1x 或23x 故不等式21(3)0b xa x
12、c的解集为1x x 或23x 5答案：C 解析：根据题意分析可得，必有 2 人参加同一社团首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则有 3 种情况再分析其他 4 人，若甲与另外 1 人参加同一个社团，则有44A24种情况；若甲是单独 1 个人参加一个社团，则有2343CA36种情况则除甲外的 4 人有243660种参加方法故不同的参加方法种数为360180故选 C 6答案：B 解 析：本 题 考 查 正 弦 型 函 数 的 单 调 区 间 令122()2232kxkk Z，解 得544()33kxkk Z，当0k 时，533x，即函数的单调递增区间是5,33 7答案：B 解析：因为299()1xxg
13、xxxx，由基本不等式，得当3x 时，()g x取得最小值 7，所以()f x在3x 处取得最小值 7，所以226,16,()616(3)7bcf xxxx，所以在区间1,4上，当1x 时，()f x取得最大值 11 8答案：A 解析：由题意可得2()e3(3)xfxxa，且(0)0,130,e2(1)0e330faafa ，这时存在0(0,1)x，使得()f x在区间00,x上单调递减，在区间0,1x上单调递增，即函数()f x在区间(0,1)上有极小值也是最小值，所以实数 a 的取值范围是(e,2)故选 A 9答案：ABD 解析：函数()|ln|2|f xx的图象如图所示 由图可得函数()
14、f x在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数()yf x的图象关于直线2x 对称，B 正确；若12xx，但 12f xf x，若1x，2x关于直线2x 对称，则124xx，C 错误；函数()f x有且仅有两个零点，D 正确故选 ABD 10答案：ACD 解析：在ABC中，根据余弦定理得222cos2bcabAbcc，即222bac，所以2C 由二倍角公式得21cos2cos18BACCAD，解得3cos4CAD在RtACD中，3cos4ACADCAD，故选项 A 正确；在RtABC中，1cos8ACBACAB，解得6AB，故选项 B 错误；11sin2211sin22ACDADBCD AC
15、AC ADCADSSBD ACAB ADBAD，解得18CDACBDAB，故选项 C 正确；在ABD中，由3cos4BAD得，7sin4BAD，所以1173 7sin1 62244ABDSAD ABBAD ，故选项 D 正确故选 ACD 11答案：BCD 解析：对于 A，取线段 PC 的中点 O，连接 EO，OD，则/EO BC，所以/EO AD，12EOAD，在梯形 ADOE 中，AE 与 OD 不平行，若平面/AEF平面 PCD，因为平面AEOD平面AEFAE，平面AEOD平面PCDOD，所以/AE OD，这和 AE 与 OD 不平行相矛盾，故 A 错误；对于 B，由题意可将该四棱锥补形为
16、一个长方体，易知球心 O 为长方体的对角线的中点，即 PC 的中点，故球 O 的直径22222 6RPCAPABBC，所以6R，故 B 正确；对于 C，E 为 PB 的中点，则 P，B 两点到平面 AEF 的距离相等，同理 F 为 BC 的中点，则 B，C 两点到平面 AEF 的距离相等，故 C 正确；对于 D，设球心到平面 AEF 的距离为 d，截面圆的半径为 r，由题意可知，球心 O 到平面 AEF 的距离等于点 B 到平面 AEF 的距离，162EFPC，sin 452AEPA，222 2AFABBF，因为222EFAEAF，所以AEEF，点 E 到平面 ABF 的距离为112AP，在三
17、棱锥BAEF中，由等体积法可得OAEFEABFVV，即11112622 13232d ，解得2 33d，所以222414633rRd，所以截面圆的面积为2143r，故 D 正确故选 BCD 12.答案：BD 解析：本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系.如图，对于 A，由椭圆方程可得，2a，3b，则1c，椭圆 C 的离心率为12e，故 A 错误；对于 B，当0m 时，可以得出3AFE，当1m 时，得3tan1tan44AFE，根据椭圆的对称性可知存在 m，使FAB为直角三角形，故 B 正确；对于 C，由椭圆的定义得，FAB的周长|4|ABAFBFaABAEBE，|AEBEAB，|0AB
18、AEBE，当 AB 过点 E 时取等号，|4|4ABAFBFaABAEBEa，即直线xm过椭圆的右焦点 E 时，FAB的周长最大，此时直线 AB 的方程为1xm，但是11m，故不存在 m，使FAB的周长最大，故C 错误；对于 D，|FE为定值 2，根据椭圆的对称性可知，当0m 时，|AB最大，则四边形 FBEA面积最大，故 D 正确.故选 BD.13答案：1,2 解析：因为()f x在 R 上为增函数，所以根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得20,210,210,aaa 解得12a所以 a 的取值范围为1,2 14答案：1245aa 解析：当4a 时，不等式可化为10，无解，满足题意
19、；当4a 时，不等式化为810 x，解得18x，不符合题意，舍去；当4a 时，要使得不等式2216(4)10axax 的解集为，则222160,(4)4160,aaa 解得1245a 综上，实数 a 的取值范围是1245aa 15答案：12 解析：由题意可得,甲部门要 2 个电脑编程人员,则有 3 种情况;2 名英语翻译人员的分配方法有 2 种，根据分步乘法计数原理,分配方案共有326(种)甲部门要 1 个电脑编程人员,则有 3 种情况;2 名英语翻译人员的分配 方法有 2 种根据分步乘法计数原理,分配方案共有326(种)由分类加法计数原理,可得不同的分配方案共有6612(种)16答案：13
20、解析：如图，连接1AF，2DF，2EF，因 为C的 离 心 率 为12，所 以12ca，所 以2ac，所 以22223bacc 因 为12122AFAFacFF，所以12AF F为等边三角形，又2DEAF，所以直线 DE 为线段2AF的垂直平分线，所以2|ADDF，2|AEEF，且1230EF F，所以直线 DE 的方程为3()3yxc，代入椭圆 C 的方程2222143xycc，得22138320 xcxc 设11,D x y，则22,E xy，则12813cxx，2123213cx x ，所以212121|143DExxx x22483248463131313ccc，解得138c，所以13
21、24ac，所以ADE的周长为22|413ADAEDEDFEFDEa 17答案：(1)3(2)若选,无解;若选,2 33;若选,33 22 解析：本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用(1)已知(2)coscos0cbAaC,由正弦定理得(sin2sin)cossincos0CBAAC,化简得2sincossin()sinBAACB 因为sin0B,所以1cos2A,因为0A,所以3A (2)若选:2,3ab由正弦定理sinsinabAB得sin3 3sin14bABa,无解 若选:2,6aB已知3A,则2C,此时ABC存在且唯一确定,此时sin2 312 3,sin323ABCaBbSa
22、bA 若选:AB边上的高3,3ha可得sinhAb,解得2b 又3a,由余弦定理可得2222cosbcAbca,解得16c 或16c (舍去),此时ABC存在且唯一确定11333 2sin2(16)2222ABCSbcA 18答案：(1)证明过程见解析，21nbn(2)n 为 5 解析：(1)由132 32nnnnSaS，得132 32nnnnSSa，即113232,13123nnnnnnaaaa，1111233nnnnaa 即12nnbb，又110113ab，数列 nb是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，1(1)221nbnn (2)由(1)知1(21)31nnan 01211 33 3
23、5 3(21)3nnTnn ，12331 33 35 3(21)33nnTnn ，-，得121212 32 32 3(21)32nnnTnn 3312(21)3223(21)3213nnnnnnnn 22(1)32nnn ，1(1)3nnTnn，0,nnaT是递增数列，565564 39782022,75 336522022TT，使不等式2022nT 成立的最大正整数 n 为 5 19答案：(1)存在，2(2)余弦值为2 5117 解析：(1)取11AD的中点 P，连接 CP 交1BD于点 M，点 M 即为所求 证明：连接 PN，因为 N 是 AD 的中点，P 是11AD的中点，所以1/PN
24、AA，又PN 平面 MNC，1AA 平面 MNC，所以直线1/AA平面 MNC 因为11/,/A DAD AD BC，所以1/PDBC 所以112BMCBMDPD(2)连接 AC 由(1)知1/AAPN 又1AA 平面 ABCD，所以PN 平面 ABCD 因为60ADCABC，四边形 ABCD 是菱形，所以ADC为正三角形，所以NCAD 以 N 为坐标原点，NC，ND，NP 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系Nxyz 又14,2AAAB，所以3,1NCND，所以点1(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,4)NCDD，则111(0,1,4),(3,1,4),
25、(0,0,4)NDDCDD 设平面1ND C的法向量111,x y zm，则110,0,NDDCmm即1111140,340,yzxyz 令11z，得(0,4,1)m 设平面1CDD的法向量222,xy zn，则110,0,DDDCnn即222240,340,zxyz 令21x，得(1,3,0)n，所以4 32 51cos,|17172 m nm nmn，由图易得二面角1NCDD为锐角，所以二面角1NCDD的余弦值为2 5117 20答案：（1）所求线性相关系数为0.962r （2）y 关于 t 的回归直线方程为0.283.12yt，10 月收入从预测看不能突破 15 万元 解析：（1）由 5
26、 月至 9 月的数据可知 1234535t，32.42.221.82.285y，511 322.432.2425 1.831.4iiit y，5214101410iitt ，522222210.720.120.080.280.480.848iiyy，所以所求线性相关系数为 51552211531.45 32.282.80.962100.8488.48iiiiiiit ytyrttyy 因为相关系数的绝对值|0.962|0.9620.75r ，所以认为 y 与 t 具有很强的线性相关关系（2）由题得522222211234555iit，5152221531.4532.282.80.2810555
27、35iiiiit ytybtt ，所以2.28(0.28)33.12aybt，所以 y 关于 t 的回归直线方程为0.283.12yt 当6t 时，0.2863.121.44y ，因为1.441.5，所以 10 月收入从预测看不能突破 15 万元 21答案：（1）2p，1x （2）当3m 时，12SS取得最小值312，此时(2,0)G 解析：（1）由题意得12p，即2p 所以抛物线的准线方程为1x （2）设,AAA xy，,BBB xy，,CCC xy，重心,GGG xy令2Ayt，0t，则2Axt由于直线 AB 过 F，故直线 AB 的方程为2112txyt，代入24yx，得222140ty
28、yt，故24Bty，即2Byt，所以212,Btt 又由于13GABCxxxx，13CABCyyyy及重心 G 在 x 轴上，故220Ctyt，得211,2Ctttt，422222,03ttGt 所以直线 AC 的方程为222ytt xt，得21,0Q t 由于Q 在焦点 F 的右侧，故22t 从而121|21|2ACFGySSQGy 42242222221|2|32222123tttttttttt 4224422211ttttt 令22mt，则0m，1221223434SmSmmmm 12324mm 312 当3m 时，12SS取得最小值312，此时(2,0)G 22答案：（）yx（）()g
29、 x在0,)上单调递增（）见解析 解析：（）由题，11()eln(1)ee ln(1)11xxxfxxxxx，故01(0)eln(10)110f，0(0)e ln(10)0f，因此，曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为yx（）解法一：1()()eln(1)1xg xfxxx，则221()eln(1)1(1)xg xxxx，设221()ln(1)1(1)h xxxx，0,)x，则22331221()01(1)(1)(1)xh xxxxx，故()h x在0,)上单调递增，故()(0)10h xh，因此()0g x对任意的0,)x恒成立，故()g x在0,)上单调递增 解法二：1()()
30、eln(1)1xg xfxxx，则221()eln(1)1(1)xg xxxx，又e0 x，当0,)x时，222112ln(1)ln101(1)(1)xxxxx，故()0g x对任意的0,)x恒成立，故()g x在0,)上单调递增（）设()()()()eln(1)e ln(1)e ln(1)s tstm sf stf sf tstst，则11()eln(1)e ln(1)()()11s tsm sstsg stg ssts，由（）知()g x在0,)上单调递增，故当0s，0t 时，()()()0m sg stg s，因此，()m s在(0,)上单调递增，故()(0)(0)(0)()(0)0m smftff tf，因此，对任意的,(0,)s t，有()()()f stf sf t