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1、第 4 讲 古典概型 A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1(2013北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为 ()A.112 B.512 C.712 D.56 解析 由题意知，基本事件有A24212 个，满足条件的基本事件就一个，故所求概率为 P112.答案 A 2(2013皖南八校联考)一个袋子中有 5 个大小相同的球，其中有 3 个黑球与 2个红球，如果从中任取两个球，则恰
2、好取到两个同色球的概率是 ()A.15 B.310 C.25 D.12 解析 基本事件有 C2510 个，其中为同色球的有 C23C224 个，故所求概率为41025.答案 C 3(2013福州一模)甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 ()A.12 B.13 C.14 D.15 解析(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以 P2412.答案 A 4在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多 6 人，从这些同学中随机挑选一人表演节目若选
3、到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为()A12 B18 C24 D32 解析 设女同学有 x 人，则该班到会的共有(2x6)人，所以x2x623，得 x12，故该班参加聚会的同学有 18 人，故选 B.答案 B 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5(2013南京模拟)在集合 A2,3中随机取一个元素 m，在集合 B1,2,3中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2y29内部的概率为_ 解析 由题意得到的 P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共 6个，在圆 x2y29 的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概
4、率为2613.答案 13 6(2013郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，记向量 a(m，n)与向量 b(1，1)的夹角为，则 0，2的概率是_ 解析 m，n 均为不大于 6 的正整数，当点 A(m，n)位于直线 yx 上及其下方第一象限的部分时，满足 0，2的点 A(m，n)有 65432121 个，点 A(m，n)的基本事件总数为 6636，故所求概率为2136712.答案 712 三、解答题(共 25 分)7(12 分)(2012天津)某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、
5、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的 2 所学校均为小学的概率 解(1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为 621211473；从中学中抽取的学校数目为 614211472；从大学中抽取的学校数目为67211471.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1.(2)在抽取到的6 所学校中，3 所小学分别记为 A1，A2，A3,2 所中学分别记为A4，A5,1 所大学记为 A6，则抽取 2 所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A
6、1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共 15 种 从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共 3 种 所以 P(B)31515.8(13 分)(2011广东)在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分用 xn表示编号为 n(n1,2，6)的同学所得成绩，且前 5 位同学的成绩如下：编号 n 1 2 3 4 5 成绩 xn 70 76 72 70 72(1)求第 6 位同学
7、的成绩 x6，及这 6 位同学成绩的标准差 s；(2)从前 5 位同学中，随机地选 2 位同学，求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率 解(1)这 6 位同学的平均成绩为 75 分，16(7076727072x6)75，解得 x690，这 6 位同学成绩的方差 s216(7075)2(7675)2(7275)2(7075)2(7275)2(9075)249，标准差 s7.(2)从前 5 位同学中，随机地选出 2 位同学的成绩共有 C2510 种，恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共 4 种，所求的概率为4
8、100.4，即恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率为 0.4.B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1甲、乙两人喊拳，每人可以用手出 0,5,10 三种数字，每人则可喊 0,5,10,15,20五种数字，当两人所出数字之和等于甲所喊数字时为甲胜，当两人所出数字之和等于乙所喊数字时为乙胜，若甲喊 10，乙喊 15 时，则 ()A甲胜的概率大 B乙胜的概率大 C甲、乙胜的概率一样大 D不能确定 解析 两人共有 9 种出数的方法，其中和为 10 的方法有 3 种，和为 15 的方法有 2 种，故甲胜的概率要大，应选 A.答案 A 2
9、(2013合肥二模)将号码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为 a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为 b，则使不等式 a2b40 成立的事件发生的概率为 ()A.18 B.316 C.14 D.12 解析 由题意知(a，b)的所有可能结果有 4416 个其中满足 a2b4 5的概率是_ 解析 e 1b2a2 5，b2a，符合 b2a 的情况有：当 a1 时，b3,4,5,6四种情况；当 a2 时，b5,6 两种情况，总共有 6 种情况则所求概率为63616.答案 16 4(2012上海)三位同学参加跳高、跳
10、远、铅球项目的比赛若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示)解析 根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解 因为每人都从三个项目中选择两个，有(C23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有 C23C13C12个，故所求概率为C23C13C12C23323.答案 23 三、解答题(共 25 分)5(12 分)(2012枣庄二模)袋内装有 6 个球，这些球依次被编号为 1,2,3，6，设编号为 n 的球重 n26n12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)(1)从袋中任意取出一个球，
11、求其重量大于其编号的概率；(2)如果不放回的任意取出 2 个球，求它们重量相等的概率 解(1)若编号为 n 的球的重量大于其编号 则 n26n12n，即 n27n120.解得 n4.n1,2,5,6.从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率 P4623.(2)不放回的任意取出 2 个球，这两个球编号的所有可能情形共有 C2615 种 设编号分别为 m 与 n(m，n1,2,3,4,5,6，且 mn)球的重量相等，则有 m26m12n26n12，即有(mn)(mn6)0.mn(舍去)或 mn6.满足 mn6 的情形为(1,5)，(2,4)，共 2 种情形 由古典概型，所求事件的概率为215.
12、6某省实验中学共有特级教师 10 名，其中男性 6 名，女性 4 名，现在要从中抽调 4 名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教师甲和女教师乙不能同时被抽调(1)求抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且 4 名教师中恰有 2 名男教师、2 名女教师的概率；(2)若抽到的女教师的人数为，求 P(2)解 由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调，所以可分以下两种情况：若甲和乙都不被抽调，有 C48种方法；若甲和乙中只有一人被抽调，有 C12C38种方法，故从 10 名教师中抽调 4 人，且甲和乙不同时被抽调的方法总数为 C48C12C3870112182.这就是基本事件总数(1)
13、记事件“抽调的 4名教师中含有女教师丙，且恰有 2 名男教师，2名女教师”为 A，因为含有女教师丙，所以再从女教师中抽取一人，若抽到的是女教师乙，则男教师甲不能被抽取，抽调方法数是 C25；若女教师中抽到的不是乙，则女教师的抽取方法有 C12种，男教师的抽取方法有 C26种，抽调的方法数是 C12C26.故随机事件“抽调的4 名教师中含有女教师丙，且 4名教师中恰有2名男教师、2 名女教师”含有的基本事件的个数是C25C12C2640.根据古典概型概率的计算公式得 P(A)401822091.(2)的可能取值为 0,1,2,3,4，所以 P(2)1P(2)1P(3)P(4)，若 3，则选出的 4 人中，可以含有女教师乙，这时取法为 C23C15种，也可以不含女教师乙，这时有 C33C16种，故 P(3)C23C15C33C1618221182326；若 4，则选出的 4 名教师全是女教师，必含有乙，有 C44种方法，故 P(4)C441821182，于是 P(2)12118211821601828091.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.