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1、共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）一、内容和内容解析 1内容 基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.2内容解析 本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也
2、为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角 60 度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含 30 度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.二、目标和目标解析 1目标（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.（3）结合全等和等腰三角形的相
3、关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.2目标解析 达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题.达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等
4、使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于 60 度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义.三、教学问题诊断分析 学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中 60 度角比较多，学生DBECACEBDADBECAEDCABEDCABEDCABEAFDCB如果以不同的角为出发点构造等边三角形，所得到的辅助线也不尽相同，这样，有学生就会很茫然，为什么我的辅助线会和其他同学不同这样的疑问，包
5、括作完辅助线后，我到底将哪条线段进行了平移，接下来该证明哪两条线段相等这些问题.事实上，添加辅助线、描述辅助线本身就是一项探究性活动，是获得证明所采取的一种尝试，有可能成功，有可能失败；对于变式训练，旋转前后哪些量变了，哪些量保持不变，这些都是学生存在困惑的地方.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：线段和差关系中辅助线的添加描述和对于旋转问题，能够明确变与不变的元素.四、教学过程设计 引言 我们前面系统学习了三角形的全等和轴对称的相关知识，相信大家对其都有所理解和掌握.今天，让我们继续探究这两部分内容的综合应用.1.复习巩固 问题 1 判定两个三角形全等的方法有哪些？等边三角形有哪些性质？等
6、边三角形有哪些判定？师生活动：学生回顾旧知，充分掌握判定三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定.设计意图：复习三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定,为本节课的学习打下基础.问题 2 你能分别找出以下列图形中的全等三角形吗？（1）若ABD 和AEC 均为等边三角形，请找出下列各图形中的全等三角形.（2）若ABD 和AEC 均为等腰三角形，其中 AB=AD，AC=AE，BAD=CAE，请找出下列各图形中的全等三角形.师生活动：学生尝试找出以上图形当中的全等三角形，教师给与适当评价 设计意图：让学生直观了解共顶点的等边或等腰三角形几种常见的摆放位置，通过寻找这些图形中的全等三角形，为下
7、面设置的探究学习提供了有利条件.2.探究学习 问题 3 如图，已知 A 是线段 BC 上一点，分别以 AB、AC 为边在 BC 的 同侧作等边ABD 和AEC.EAFDCBFDBECA（1）填空：BE=，ABE=，DFB=.（2）求证：AF 平分BFC.（3）求证：AFDF=BF.师生活动：学生独立思考，发现问题，相互交流，小组间相互补充，派学生代表讲解思路，同学间相互补充，教师再此过程中关注学生能否从不同角度解决问题.设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明论证过程，体会相关知识的运用.追问 1：还有不同方法解决（2）吗？你的理由是什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组讨论交
8、流，学生代表汇报交流结果，教师点拨，师生共同总结（2）的不同解法.追问 2：你们解决（3）的方法一致吗？还有不同见解吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，交流讨论，学生代表发表意见，教师点拨.追问 3：想要解决（3），你思考问题的出发点在哪？师生活动:学生独立思考，对教师提出的问题发表自己的见解，教师给与充分的肯定与鼓励.追问 4：若 BE、AD 交于点 M，CD、AE 交于点 N，链接 MN，你还能在图形中找出其他的全等三角形吗？AMN 是什么三角形？MN 与 BC 有怎样的位置关系？师生活动：教师增加新条件，并提出问题，学生独立思考并一一作答，学生间相互评价补充，教师最后点评并适当总结，给
9、与恰当评价.问题 4 如图，若将上题中的等边AEC 绕点 A 旋转，上述结论是否 都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生独立思考并相互补充，给出结论，说明原因，教师给与评价与鼓励.设计意图：通过旋转变换，让学生体会几何图形的多变，在其过 程中体会变与不变元素，抓住本质特征，从而形成解决问题的能力.问题 5 如图，若将上题中的等边ABD 和AEC 改为等腰ABD 和AEC，其中 AD=AB，AE=AC，BAD=EAC=a.上述结论是否都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生思考并作答，说明其原因.设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历 由特殊到一般地探索问题
10、过程，体会研究问题的一般化方法和类比方法.3.微课展示 4.巩固应用 1.已知ABC 和AEF，AB=AC，AE=AF，BAC=EAF，BE、CF 交于 M，连接 MA.（1）如图 1，若BAC=60，则BAE ；CMB=.F图1MABCEM图2FCABE图3MBCEFAxyB图3ECAODxyB图1OFAyxB图2MECAOD（2）如图 2，若BAC=90，则CMB=.（3）如图 3，若BAC=a,直接写出AME 的度数（用含 a 的式子表示）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，指导，师生共同评价.设计意图：巩固加深对探究学习中（1）-（3）问题的认识，再次体会由特殊到一般的探讨问题的过程.
11、2.如图，AOB 是等边三角形，以直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系，若 B(a,b)且 a、b 满足255 30ab，D 为 y 轴上一动点，以 AD 为边作等边ADC，CB 交 y 轴于 E.（1）如图 1，求点 A 的坐标.（2）如图 2，D 为 y 轴正半轴上一点，C 在第二象限，CE 的延长线交 x 轴于 M，当 D 点在 y 轴正半轴上运动时，M 点坐标是否变化，若不变，求 M 点的坐标，若变化，说明理（3）如图 3，D 在 y 轴负半轴上，以 DA 为边向右构造等边DAC，CB 交 y 轴于 E 点，如果 D 点在 y轴负半轴上运动时，仍保持DAC 为等边三角形，连 BE，
12、试求 CE，OD，AE 三者的数量关系，并证明你的结论.师生活动：学生独立思考，小组交流，派代表回答，教师适时点拨，此时教师主要关注学生是否能够利用平面直角坐标系中直角的特征，用 30 度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关问题.设计意图：将本节课共顶点的等边三角形与全等知识置于平面直角坐标系背景下，借助于直角坐标系中直角解决问题，（3）通过有梯度的练习，有利于提高学生综合运用条件推理的能力.5.小结 MPAECB教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课解决共顶点的等腰三角形与全等问题关键是什么？（2）本节课解决一条线段为一个角的角平分线的方法有几种？（3）本节课
13、解决线段之间的和差关系的方法是什么？（4）本节课的探究学习用到了什么思想方法？设计意图：让学生自由发表自己的看法，教师从知识内容、学习过程和思想方法三个方面进行引导.归纳知识，小结方法，使学生建构自己的知识体系.培养学生合作交流的习惯。6.布置作业 课后练习 1 和 2.五、目标检测设计 1.ABC 和BPE 都是等边三角形，点 P 在 BC 的延长线上，EC 的延长线交 AP 于 M，连 BM.（1）求证 AP=CE.（2）求PME 的度数.（3）求证 BM 平分AME.（4）求证 AMCM=BM.设计意图：本题主要考查学生对本节探究学习内容的理解情况.2.若ABD 和AEC 都是等腰直角三
14、角形.（1）如图 1，连接 AF，求BFD 和AFB 的度数.（2）如图 2，连接 BC、DE，取 BC 中点 M，试说明 AM 和 DE 的关系.图1FEBADC 图2MEBCDA 设计意图：本题主要考查学生对特殊的共顶点等腰三角形与全等知识的理解掌握.教学反思：本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复
15、杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角 60 度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含 30 度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.根据教学内容以“概念、性质、应用”为侧重
16、点，结合学生所具备的逻辑思维和推理论证能力，本节课采用以启发式、合作探究为主，讨论和直观演示为辅的教学方法。有机融合各种教法于一体，做到步步有序，环环相扣，不断引导学生动手、动口、动脑。在教学中，我采用的是“设疑实验认识实践再认识”的教学模式，并采用“变式练习”方法提高学习效率。这样更有利于调动学生积极性，激发学生兴趣，使学生变被动学习为积极主动愉快学习，也符合数学教学的直观性和可接受性。本节教学中，为了处理好图形的变换、对应的识别等问题，我借助了几何画板演示。这样做不仅在表现力上直观形象，而且唤起了学生注意，提高了学生参与活动的机会。同时，通过播放微视频，对本节课重要内容做适当点拨与总结，这
17、样便于学生更深刻的掌握相关知识与解决问题的不同方法策略。现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变。本节课我将始终关注学生能否在老师的引导下积极主动地按所给的条件进行探索，能否在活动中大胆尝试并表达自己的想法从而发现结论。既关注学生对“双基”的理解和掌握，更要关注他们的学习过程和在数学活动中表现出来的情感与态度。本节课我选择课堂观察、课中小组交流讨论、学生自我评价和学生小组之间互相评价等多元化评价，尊重学生的个体差异，把评价贯穿于探索活动的全过程，发挥评价的功能，以帮助学生认识自我，建立信心。同时,也有助于老师从中概括出经验教训，以改进自己的教学，找到努力的方向。在教学设计中还突出了三个注重：1、注重让学生参与知识的形成过程，体现学生为主体；2、注重师生间、学生间的互动协作，共同提高；3、注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活运用。总之，通过本节课的教学，可以看出嘉汇中学的学生素养很高，孩子们参与度很高，同时也学会了多种角度解决问题，学会了相互合作，达到了数学学科的基本数学素养，唯一不足之处是在巩固应用 2 环节（3）很遗憾没能处理上，所以我将留作了思考作业，不过这与我预想的效果差不多，非常感谢孩子们精彩的配合！同时也谢谢我的各位评委老师们，谢谢董老师！有不当之处还望指正！