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1、2022-2023 学年高三上数学期末模拟试卷 注意事项 1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符 4作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共
2、60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知椭圆2222:1xyCab的短轴长为 2，焦距为122 3FF，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一点，则1211PFPF的取值范围为（）A1,2 B2,3 C2,4 D 1,4 2设,D E F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EBFC（）A12AD BAD CBC D12BC 3某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照70,80，80
3、,90，90,100分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾 A B C D E F 评分 96 95 96 89 97 98 嘉宾评分的平均数为1x，场内外的观众评分的平均数为2x，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x，则下列选项正确的是（）A122xxx B122xxx C122xxx D12122xxxxx 4将函数()3sin2cos2f xxx向左平移6个单位，得到 g x的图象，则 g x满足（）A图象关于点,012对称，在区间0,4上为增函数 B函数最大值为 2，图象关于点,03对称 C图象关于直线6x对称，在,12 3上的最小值为1 D最小正周期为，1g x 在0,4有两个根 5著
4、名的斐波那契数列 na：1，1，2，3，5，8，满足121aa，21nnnaaa，*Nn，若2020211nnkaa，则k()A2020 B4038 C4039 D4040 6已知实数集R，集合|13Axx，集合1|2Bx yx，则RAC B（）A|12xx B|13xx C|23xx D|12xx 7蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p，则圆周率（）A42p B41p C64p D43p 8
5、设 Py|yx21，xR，Qy|y2x，xR，则 AP Q BQ P CRC P Q DQ RC P 9已知224 0aba b ，则a的取值范围是（）A0，1 B112，C1，2 D0，2 10某网店 2019 年全年的月收支数据如图所示，则针对 2019 年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A月收入的极差为 60 B7 月份的利润最大 C这 12 个月利润的中位数与众数均为 30 D这一年的总利润超过 400 万元 11椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为 12 厘米，底面半径为 3 厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所
6、盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）A50,6 B5,15 C2 50,5 D2 5,15 12 己知函数 1,0,ln,0,kxxf xxx若函数 f x的图象上关于原点对称的点有 2对，则实数k的取值范围是（）A,0 B0,1 C0,D10,2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者 127 人.在医护人员的精心治疗下，第 15 天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的 1 名患者治愈出院.如果从第 16 天开始，每天出院的
7、人数是前一天出院人数的 2 倍，那么第 19 天治愈出院患者的人数为_，第_天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.14已知等比数列的前 项和为，若，则的值是 15某地区连续 5 天的最低气温（单位：）依次为 8，4，1，0，2，则该组数据的标准差为_.16 九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑PABC中，PA 平面ABC，ABBC，且4APAC，过A点分别作AEPB于点E，AFPC于点F，连接EF，则三棱锥PAEF的体积的最大值为 _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）设复数z满足(2)12zii（i为虚数单位），
8、则z的模为_.18（12 分）如图，在四棱锥PABCDPABCD中，PAB是等边三角形，BC AB，2 3BCCD，2ABAD.（1）若3PBBE，求证：AE平面PCD；（2）若4PC，求二面角APCB的正弦值 19（12 分）已知a，b均为正数，且1ab.证明：（1）222 11()2abab；（2）22(1)(1)8baab.20（12 分）设函数 22f xxxa（1）当1a 时，求不等式 3f x 的解集；（2）当 2f xxa时，求实数x的取值范围 21（12 分）已知函数21()(1)ln,2f xaxaxx aR（1）当0a 时，求曲线()f x在点(2,(2)f的切线方程；（2
9、）讨论函数()f x的单调性 22（10 分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.（1）证明：平面AEC 平面BED；（2）若60BAD，AEEC，三棱锥EACD的体积为8 63，求菱形ABCD的边长.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PFPF，利用二次函数的性质可求1214PF PF，从而可得1211PFPF的取值范围.【详解】由题设有1,3bc，故2a，故椭圆22:14xCy，因为点P为C上的任意一点，故124PF
10、PF.又12121212111144=4PFPFPFPFPF PFPF PFPFPF，因为12323PF，故11144PFPF，所以121114PFPF.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点分别是12FF、，点P为C上的任意一点，则有122PFPFa，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.2、B【解析】根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.【详解】根据题意,可得几何关系如下图所示:12EBBCBA,12FCCBCA 1122EBFCBCBACBCA 1122ABACAD 故选:B【点睛】本
11、题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.3、C【解析】计算出1x、2x，进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知，196959689979895.176x，由频率分布直方图可知，275 0.285 0.395 0.588x，则12xx，由于场外有数万名观众，所以，12212xxxxx.故选：B.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.4、C【解析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得 g x的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】函数()3sin2cos2f xxx，则()2sin
12、26f xx，将()2sin 26f xx向左平移6个单位，可得 2sin 22sin 2666g xxx，由正弦函数的性质可知，g x的对称中心满足2,6xkkZ，解得,122kxkZ，所以 A、B 选项中的对称中心错误；对于 C，g x的对称轴满足22,62xkkZ，解得,6xkkZ，所以图象关于直线6x对称；当,12 3x 时，52,636x，由正弦函数性质可知2sin21,26x，所以在,12 3上的最小值为1，所以 C 正确；对于 D，最小正周期为22，当0,4x，22,663x，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x时仅有一个解为0 x，所以D 错误；综上可知，正确的为C，
13、故选：C.【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.5、D【解析】计算134aaa，代入等式，根据21nnnaaa化简得到答案.【详解】11a，32a，43a，故134aaa，202021134039457403967403940401.nnaaaaaaaaaaaa，故4040k.故选：D.【点睛】本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.6、A【解析】20 x可得集合B,求出补集RC B,再求出RAC B即可.【详解】由20 x,得2x,即(2,)B,所以RC B(,2,所以RAC B(1,2.故选:A【点睛】本题考查
14、了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.7、A【解析】计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.【详解】由2222244SaapSa阴正，42p.故选：A【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.8、C【解析】解：因为 P=y|y=-x2+1，xR=y|y1，Q=y|y=2x，xR=y|y0,因此选 C 9、D【解析】设2mab，可得224 0a ba ma ，构造（14am）222116m，结合2m，可得11 342 2am，根据向量减法的模长不等式可得解.【详解】设2mab，则2m，2224 0bmaa ba ma，（14am）2212aa2116mm22116m|m|
15、2m24，所以可得：2182m，配方可得222111192()428482mamm，所以11 342 2am，又111|444amamam 则a 0，2 故选：D【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10、D【解析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为903060，故选项 A 正确；1 至 12 月份的利润分别为 20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7 月份的利润最高，故选项 B 正确；易求得总利润为 380 万元，众数为 30，中位数为 30，故选项 C 正确，选项 D
16、 错误.故选：D.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.11、C【解析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为221266 5，短轴长为 6，所以椭圆离心率262 5156 5e，所以2 50,5e.故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.12、B【解析】考虑当0 x 时，1lnkxx 有两个不同的实数解，令 ln1h xxkx，则 h x有两个不同
17、的零点，利用导数和零点存在定理可得实数k的取值范围.【详解】因为 f x的图象上关于原点对称的点有 2 对，所以0 x 时，1lnkxx 有两个不同的实数解.令 ln1h xxkx，则 h x在0,有两个不同的零点.又 1kxhxx，当0k 时，0h x，故 h x在0,上为增函数，h x在0,上至多一个零点，舍.当0k 时，若10,xk，则 0h x，h x在10,k上为增函数；若1,xk，则 0h x，h x在1,k上为减函数；故 max11lnh xhkk，因为 h x有两个不同的零点，所以1ln0k，解得01k.又当01k时，11ek且10khee，故 h x在10,k上存在一个零点.
18、又22ln+122lneeehtetkkk，其中11tk.令 22lng ttet，则 2etg tt，当1t 时，0g t，故 g t为1,减函数，所以 120g tge 即20ehk.因为2211ekkk，所以 h x在1,k上也存在一个零点.综上，当01k时，h x有两个不同的零点.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、16 1 【解析】由题意可知出院人数构成一个首项为 1，公比为 2 的等比数列，由此可求结果【
19、详解】某医院一次性收治患者 127 人 第 15 天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的 1 名患者治愈出院 且从第 16 天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的 2 倍，从第 15 天开始，每天出院人数构成以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则第 19 天治愈出院患者的人数为451 216a ，1(12)12712nnS，解得7n，第7 15 121 天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院 故答案为：16，1【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题 14、-2【解析】试题分析：，考点：等比数列性质及求和公式 15、
20、4【解析】先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差【详解】解：某地区连续 5 天的最低气温（单位：C)依次为 8，4，1，0，2，平均数为：18410215，该组数据的方差为：2222221(81)(41)(1 1)(01)(21)165S ，该组数据的标准差为 1 故答案为：1【点睛】本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 16、4 23【解析】由已知可得 AEF、PEF 均为直角三角形，且 AF22，由基本不等式可得当 AEEF2 时，AEF 的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值【详
21、解】由 PA平面 ABC，得 PABC，又 ABBC，且 PAABA，BC平面 PAB，则 BCAE，又 PBAE，则 AE平面 PBC，于是 AEEF，且 AEPC，结合条件 AFPC，得 PC平面 AEF，AEF、PEF 均为直角三角形，由已知得 AF22，而 S AEF1124AEEF（AE2+EF2）14AF22，当且仅当 AEEF=2 时，取“”，此时 AEF 的面积最大，三棱锥 PAEF 的体积的最大值为：VPAEF13AEFPFS12 2234 23 故答案为4 23【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中
22、档题 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、1【解析】整理已知利用复数的除法运算方式计算，再由求模公式得答案.【详解】因为(2)12zii，即221225224iiiziii 所以z的模为 1 故答案为：1【点睛】本题考查复数的除法运算与求模，属于基础题.18、（1）详见解析（2）2 55【解析】（1）如图，作EFPC，交BC于F，连接AF.因为3PBBE，所以E是PB的三等分点，可得2 33BF.因为2ABAD，2 3BCCD，ACAC，所以ABCADC，因为BC AB，所以90ABC，因为23tan32 3ABACBBC，所以30ACBACD，所以60BC
23、D，因为2tan32 33ABAFBBF，所以60AFB，所以AFCD，因为AF 平面PCD，CD 平面PCD，所以AF平面PCD.又EFPC，EF 平面PCD，PC 平面PCD，所以EF平面PCD.因为AFEFF，AF、EF 平面AEF，所以平面AEF平面PCD，所以AE平面PCD.（2）因为PAB是等边三角形，2AB，所以2PB.又因为4PC，2 3BC，所以222PCPBBC，所以BCPB.又BC AB，,AB PB 平面PAB，ABPBB，所以BC 平面PAB.因为BC 平面ABCD，所以平面PAB 平面ABCD.在平面PAB内作Bz 平面ABCD.以 B 点为坐标原点，分别以,BC
24、BA Bz所在直线为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则(2 3,0,0)C，(0,2,0)A，(0,1,3)P，所以(2 3,0,0)BC，(0,1,3)BP，(2 3,2,0)AC，(0,1,3)AP.设111(,)x y zm为平面BPC的法向量，则00m BCm BP，即1112 3030 xyz，令11z ，可得(0,3,1)m.设222(,)xyzn为平面APC的法向量，则00n ACn AP，即22222 32030 xyyz，令21z，可得(1,3,1)n.所以3 155,25cosm n，则252 51()n5s,5im n，所以二面角APCB的正弦值为2
25、 55.19、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由222abab进行变换，得到222112()abba，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将22(1)(1)baab化为33222ababab，然后利用基本不等式，证得不等式成立.【详解】（1）222abab，两边加上22ab得22222()abababab，即222112()abba，当且仅当1ab时取等号，222 11()2abab.（2）22223333(1)(1)2121112()()babbaaabbaababaaabbbababab223322428ababa babab.当且仅当1ab时取等号.【点睛】本小题主要考查利用基本
26、不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20、(1),02,(2)当4a 时，x的取值范围为22ax；当4a 时，x的取值范围为22ax【解析】（1）当1a 时，分类讨论把不等式 3f x 化为等价不等式组，即可求解 (2)由绝对值的三角不等式，可得 222f xxaxxa，当且仅当220 xax时，取“”，分类讨论，即可求解【详解】（1）当1a 时，133,211,2233,2xxf xxxxx，不等式 3f x 可化为33312xx或13122xx 或3332xx，解得不等式的解集为,02,(2)由绝对值的三角不等式，可得 22222f xxxaxaxxa，当且仅当
27、220 xax时，取“”，所以当4a 时，x的取值范围为22ax；当4a 时，x的取值范围为22ax【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 21、（1）222ln20 xy；（2）当0a时,()f x在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减；当01a时,()f x在(0,1)和1,a上单调递增,在11,a上单调递减；当1a 时,()f x在(0,)上单调递增；当1a 时,()f x在10,a和(1,)上单调递增,在1,1a上单调递减.【解析
28、】(1)根据导数的几何意义求解即可.(2)易得函数定义域是(0,),且(1)(1)()axxfxx.故分0a,01a和1a 与1a 四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.【详解】（1）当0a 时,1()ln,()1f xxx fxx ,则切线的斜率为11(2)122f .又(2)2ln2f ,则曲线()f x在点(2,(2)f的切线方程是1(2ln2)(2)2yx ,即222ln20 xy.（2）21()(1)ln2f xaxaxx的定义域是(0,).21(1)1(1)(1)()(1)axaxaxxfxaxaxxx.当0a时,10ax,所以当(0,1)x时,()0fx；当
29、(1,)x时,()0fx,所以()f x在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减；当01a时,11a,所以当(0,1)x和1,a时,()0fx；当11,xa时,0fx,所以()f x在(0,1)和1,a上单调递增,在11,a上单调递减；当1a 时,11a,所以()0fx在(0,)上恒成立.所以()f x在(0,)上单调递增；当1a 时,101a,所以10,xa和(1,)时,()0fx；1,1xa时,()0fx.所以()f x在10,a和(1,)上单调递增,在1,1a上单调递减.综上所述,当0a时,()f x在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减；当01a时,()f x在(0,1)和1
30、,a上单调递增,在11,a上单调递减；当1a 时,()f x在(0,)上单调递增；当1a 时,()f x在10,a和(1,)上单调递增,在1,1a上单调递减.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.22、（1）证明见解析；（2）1【解析】（1）由菱形的性质和线面垂直的性质，可得AC 平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）设ABx，分别求得AC，DG和EB的长，运用三棱锥的体积公式，计算可得所求值【详解】（1）四边形ABCD为菱形，ACBD，BE 平面ABCD，ACBE，又BDBEB，AC平面BDE，又AC 平面AEC，平面AEC 平面BED；（2）设ABx，在菱形ABCD中，由60BAD，可得32AGGCx，2xGBGD，3ACx，AEEC，在Rt AEC中，可得32EGx，由BE面ABCD，知BEBG，BEG为直角三角形，可得2222BEEGBGx，三棱锥EACD的体积31168 632243EACDVAC GD BEx，4x，菱形的边长为 1 【点睛】本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直转化，考查三棱锥的体积的求法，考查化简运算能力和推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平