《专题06构造函数法解决导数不等式问题(一)(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题06构造函数法解决导数不等式问题(一)(解析版).pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 专题 06 构造函数法解决导数不等式问题(一)以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)g(x)”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题 导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个 f(x)，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是 f(x)本身的单调性，而是包含 f(x)的一个
2、新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是 f(x)的形式，则我们要构造的则是一个包含 f(x)的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现 f(x)，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数 构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想 分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上 构造函数的主要步骤：(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；(3)回归：解析所构函数，回归所求问题 考点一 构造 F(x)xnf(x)(nZ，且
3、n0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若 F(x)xnf(x)，则 F(x)nxn1f(x)xnf(x)xn1nf(x)xf(x)；(2)若 F(x)f(x)xn，则 F(x)f(x)xnnxn1f(x)x2nxf(x)nf(x)xn1 由此得到结论：(1)出现 nf(x)xf(x)形式，构造函数 F(x)xnf(x)；(2)出现 xf(x)nf(x)形式，构造函数 F(x)f(x)xn【例题选讲】例 1(1)已知 f(x)的定义域为(0，)，f(x)为 f(x)的导函数，且满足 f(x)xf(x)，则不等式 f(x1)(x1)f(x21)的解集是()A(0，1)B(1，)C(1，2)D(2，
4、)答案 D 解析 因为 f(x)xf(x)，所以 f(x)xf(x)0，即(xf(x)(x1)f(x21)，可得(x1)f(x1)(x21)f(x21)，所以 x10，x210，x21x1，解得x2选 D(2)已知函数 f(x)是定义在区间(0，)上的可导函数，其导函数为 f(x)，且满足 xf(x)2f(x)0，则不等式x2 021fx2 02155f5x2 021的解集为()Ax|x2 016 Bx|x2 016 Cx|2 016x0 Dx|2 021x2 016 答案 D 解析 构造函数 g(x)x2f(x)，则 g(x)x2f(x)xf(x)当 x0 时，2f(x)xf(x)0，g(x
5、)0，g(x)在(0，)上单调递增不等式x2 021fx2 02155f5x2 021，当 x2 0210，即 x2 021 时，(x2 021)2f(x2 021)52f(5)，即 g(x2 021)g(5)，00 时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0)D(0，1)(1，)答案 A 解析 设 yg(x)f(x)x(x0)，则 g(x)xf(x)f(x)x2，当 x0 时，xf(x)f(x)0，g(x)0 时，由 f(x)0，得 g(x)0，由图知 0 x1，当 x0，得 g(x)0，由图知 x0 成立的 x 的取值范
6、围是(，1)(0，1)，故选 A (4)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)xf(x)0，且 f(4)0，则不等式 xf(x)0 的解集为_ 答案(，4)(0，4)解析 构造 F(x)xf(x)，则 F(x)f(x)xf(x)，当 x0 时，f(x)xf(x)0，可以推出当 x0 时，F(x)0，F(x)在(，0)上单调递减f(x)为偶函数，x 为奇函数，F(x)为奇函数，F(x)在(0，)上也单调递减根据 f(4)0 可得 F(4)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知 xf(x)0 的解集为(，4)(0，4)3(5)已知 f(x)是定义在区间
7、(0，)内的函数，其导函数为 f(x)，且不等式 xf(x)2f(x)恒成立，则()A4f(1)f(2)B4f(1)f(2)Cf(1)4f(2)Df(1)4f(2)答案 B 解析 令 g(x)f(x)x2(x0)，则 g(x)xf(x)2f(x)x3，由不等式 xf(x)2f(x)恒成立知 g(x)0，即 g(x)在(0，)是减函数，g(1)g(2)，即f(1)1f(2)4，即 4f(1)f(2)，故选 B(6)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，若af(e)e，bf(ln 2)ln 2，cf(3)3，则 a，b，c 的大小关系正确的是()Aa
8、bc Bbca Cacb Dcab 答案 D 解析 设 g(x)f(x)x，则 g(x)xf(x)f(x)x2，当 x0 时，xf(x)f(x)0，则 g(x)xf(x)f(x)x20，即函数 g(x)在 x(0，)时为减函数由函数 yf(x)为奇函数知 f(3)f(3)，则 cf(3)3f(3)3af(e)eg(e)，bf(ln 2)ln 2g(ln 2)，cf(3)3g(3)且 3eln 2，g(3)g(e)g(ln 2)，即 cab，故选 D【对点训练】1设函数 f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为 f(x)，且 2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2 021)2f(x 2
9、 021)4f(2)0 的解集为()A(，2 021)B(，2 023)C(2 023，0)D(2 021，0)1答案 B 解析 由 2f(x)xf(x)x2，结合 x(，0)得 2xf(x)x2f(x)x30，故x2f(x)0 可化为(x2 021)2f(x2 021)(2)2f(2)，所以 x2 0212，x2 0210，解得 x0 时，有xf(x)f(x)x20 的解集 是_ 5答案(，2)(0，2)解析 当 x0 时，f(x)xxf(x)f(x)x20，(x)f(x)x在(0，)上为 减函数，又 f(2)0，即(2)0，在(0，)上，当且仅当 0 x0，此时 x2f(x)0又 f(x)
10、为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数，由数形结合知 x(，2)时 f(x)0 故 x2f(x)0 的解集为(，2)(0，2)6设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(2)0，当 x0 时，xfxfxx20 的解集 为()A(2，0)(2，)B(2，0)(0，2)C(，2)(0，2)D(，2)(2，)6答案 B 解析 设 g(x)fxx，则 g(x)fxxxfxfxx2，当 x0 时，g(x)0 的解集为(2，0)(0，2)故选 B 7f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足 xf(x)f(x)0，对任意正数 a，b，若 a0)，则 F(x)f(x)xxf(x)f(x)x2因为
11、 x0，xf(x)f(x)0，所 以 F(x)0，故函数 F(x)在(0，)上为减函数又 0ab，所以 F(a)F(b)，即f(a)af(b)b，则 bf(a)af(b)8设函数 f(x)的导函数为 f(x)，对任意 xR，都有 xf(x)2f(3)B3f(2)2f(3)C3f(2)2f(3)D3f(2)与 2f(3)大小不确定 8 答案 A 解析 令 F(x)f(x)x，则 F(x)xf(x)f(x)x2f(3)3 所以 3f(2)2f(3)9定义在区间(0，)上的函数 yf(x)使不等式 2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，其中 yf(x)为 yf(x)的导函 数，则()A8f(2)f(
12、1)16 B4f(2)f(1)8 C3f(2)f(1)4 D2f(2)f(1)0，x0，f(x)x2f(x)x22xf(x)x4xf(x)2f(x)x30，yf(x)x2在(0，)上单调递增，f(2)22f(1)12，即f(2)f(1)4 xf(x)3f(x)0，f(x)x3f(x)x33x2f(x)x6xf(x)3f(x)x40，yf(x)x3在(0，)上单调递减，f(2)23f(1)13，即f(2)f(1)8，综上，4f(2)f(1)0，且 f(0)1，则不等式 f(x)1e2x的解集为 答案(0，)解析 构造 F(x)f(x)e2x，F(x)f(x)e2xf(x)2e2xe2xf(x)2
13、f(x)0，F(x)在 R上单调递增，且 F(0)f(0)e01，不等式 f(x)1e2x可化为 f(x)e2x1，即 F(x)F(0)，x0，原不等式的解集为(0，)(2)定义域为 R 的可导函数 yf(x)的导函数为 f(x)，满足 f(x)f(x)，且 f(0)1，则不等式f(x)ex0 解析 令 g(x)f(x)ex，则 g(x)exf(x)(ex)f(x)(ex)2f(x)f(x)ex由题意得 g(x)0 恒成立，所以函数 g(x)f(x)ex在 R 上单调递减又 g(0)f(0)e01，所以f(x)ex1，即 g(x)0，所以不等式的解集为x|x0(3)若定义在 R 上的函数 f(
14、x)满足 f(x)2f(x)0，f(0)1，则不等式 f(x)e2x的解集为_ 答案(0，)解析 构造 F(x)f(x)e2x，则 F(x)e2xf(x)2e2xf(x)e4xf(x)2f(x)e2x，函数 f(x)满足 f(x)2f(x)0，则 F(x)0，F(x)在 R 上单调递增又f(0)1，则 F(0)1，f(x)e2xf(x)e2x1F(x)F(0)，根据单调性得 x0(4)设定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，则不等式 ex1f(x)0，故 g(x)在R 上单调递增，不等式ex1f(x)f(2x1)，即f(x)exf(2x1)e2x1，故 g(x)g(2x1)，故
15、 x1，所以原不等式的解集为(1，)(5)定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)1f(x)，f(0)0，f(x)是 f(x)的导函数，则不等式 exf(x)ex1(其中e 为自然对数的底数)的解集为()A(0，)B(，1)(0，)C(，0)(1，)D(1，)答案 A 解析 设 g(x)exf(x)ex，则 g(x)exf(x)exf(x)ex由已知 f(x)1f(x)，可得 g(x)0 在R 上恒成立，即 g(x)是 R 上的增函数 因为 f(0)0，所以 g(0)1，则不等式 exf(x)ex1 可化为 g(x)g(0)，所以原不等式的解集为(0，)(6)定义在 R 上的函数 f(x)
16、的导函数为 f(x)，若对任意 x，有 f(x)f(x)，且 f(x)2 021 为奇函数，则不等式 f(x)2 021ex0 的解集是()A(，0)B(0，)C，1e D1e，答案 B 解析 设 h(x)f(x)ex，则 h(x)f(x)f(x)ex0，所以 h(x)是定义在 R 上的减函数因为 f(x)2 021 为奇函数，所以 f(0)2 021，h(0)2 021 因为 f(x)2 021ex0，所以f(x)ex2 021，即 h(x)0，所以不等式 f(x)2 021exf(x)，则关于 x 的不等式 f(x2)1ex的解集为()A(，3)B(3，)C(，0)D(0，)答案 B 解析
17、 f(x)是偶函数，f(x)f(x)，f(x)fx f(x)，f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)，即 f(x)f(x)0，设 g(x)exf(x)，则exfx exfxfx 0，g(x)在(，)上单 7 调递增，由 f x12f(x1)0，得 f(x)f x320，f x32f()x3 0，相减可得 f(x)f()x3，f(x)的周期为 3，e3f()2 021 e3f(2)1，g(2)e2f(2)1e，f(x2)1ex，结合 f(x)的周期为 3 可化为 ex1f(x1)1ee2f(2)，g(x1)g(2)，x12，x3，不等式的解集为()3，故选 B(8)已知函数f(x)是定义在R
18、上的可导函数，f(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)f(x)0，则()Aef(2 021)f(2 022)Bef(2 021)f(2 022)Cef(2 021)f(2 022)Def(2 021)与 f(2 022)大小不能确定 答案 A 解析 令 g(x)f(x)ex，则 g(x)exf(x)exf(x)e2xf(x)f(x)ex，因为 f(x)f(x)0，所以 g(x)0，所以函数 g(x)在 R 上单调递减，所以 g(2 021)g(2 022)，即f(2 021)e2 021f(2 022)e2 022，所以 ef(2 021)f(2 022)，故选 A(9)已知 f(x)
19、是定义在(，)上的函数，导函数 f(x)满足 f(x)e2f(0)，f(2 021)e2 021f(0)Bf(2)e2 021f(0)Cf(2)e2f(0)，f(2 021)e2 021f(0)Df(2)e2f(0)，f(2 021)e2 021f(0)答案 D 解析 构造 F(x)f(x)ex，则 F(x)exf(x)exf(x)e2xf(x)f(x)ex，导函数 f(x)满足 f(x)f(x)，则F(x)0，F(x)在 R 上单调递减，根据单调性可知选 D(10)已知函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，若 f(x)满足：(x1)f(x)f(x)0，f(2x)f(x)e22x
20、，则下列判断一定正确的是()Af(1)f(0)Bf(2)e2f(0)Cf(3)e3f(0)Df(4)e4f(0)答案 C 解析 构造 F(x)f(x)ex，则 F(x)exf(x)exf(x)e2xf(x)f(x)ex，导函数 f(x)满足(x1)f(x)f(x)0，则 x1 时 F(x)0，F(x)在1，)上单调递增当 x1 时 F(x)0，F(x)在(，1上单调递减又由 f(2x)f(x)e22xF(2x)F(x)F(x)关于 x1 对称，从而 F(3)F(0)即f(3)e3f(0)e0，f(3)e3f(0)，故选C【对点训练】1已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f(x)，
21、满足 f(x)f(x)，且 f(0)12，则不等式 f(x)12ex0 的 解集为()A，12 B(0，)C12，D(，0)1答案 B 解析 构造函数 g(x)fxex，则 g(x)fxfxex，因为 f(x)f(x)，所以 g(x)0，故函数 g(x)在 R 上为减函数，又 f(0)12，所以 g(0)f0e012，则不等式 f(x)12ex0 可化为fxex12，即 g(x)0，即所求不等式的解集为(0，)2已知函数 f(x)是函数 f(x)的导函数，f(1)1e，对任意实数 x，都有 f(x)f(x)0，则不等式 f(x)0，g(x)0，即 g(x)为 R 上的减函数 g(1)f(1)e
22、1e2，由不等式 f(x)ex2，得f(x)exe21e2，即 g(x)1，不等式 f(x)f(x)，且 f(x3)为偶函数，f(6)1，则不 等式 f(x)ex的解集为()A(2，)B(0，)C(1，)D(4，)4答案 B 解析 因为 f(x3)为偶函数，所以 f(3x)f(x3)，因此 f(0)f(6)1设 h(x)f(x)ex，则原不等式即 h(x)h(0)又 h(x)f(x)exf(x)ex(ex)2f(x)f(x)ex，依题意 f(x)f(x)，故 h(x)0，因此函数h(x)在 R 上是增函数，所以由 h(x)h(0)，得 x0故选 B 5已知函数 f(x)的定义域是 R，f(0)
23、2，对任意的 xR，f(x)f(x)1，则不等式 exf(x)ex1 的解集是()Ax|x0 Bx|x0 C|x|x1|Dx|x1，或 0 x1，可得到g(x)0，所以g(x)为R上的增函数 又g(0)e0f(0)e010，所以exf(x)ex1，即 g(x)0 的解集为x|x0 6已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)13ex的解集为()A(1，)B(，1)C(0，)D(，0)6答案 C 解析 构造函数 g(x)f(x)1ex，则 g(x)f(x)f(x)1ex0，故 g(x)在 R 上为增函数又 g(0)f(0)1e03，由 f(x)13ex，得f(x)1ex3，即 g(x)g(0
24、)，解得 x0故选 C 7定义在 R 上的可导函数 f(x)满足 f(x)f(x)0，则下列各式一定成立的是()9 Ae2f(2021)f(2019)Cf(2021)f(2019)7答案 A 解析 根据题意，设 g(x)exf(x)，其导函数 g(x)exf(x)exf(x)exf(x)f(x)，又由函数 f(x)与其导函数 f(x)满足 f(x)f(x)0，则有 g(x)0，则函数 g(x)在 R 上为减函数，则有 g(2021)g(2019)，即 e2021f(2021)e2019f(2019)，即 e2f(2021)f(x)恒成立，若 x12exf(x1)B1exf(x2)0，所以 g(
25、x)在 R 上单调递增，当 x1x2时，g(x1)g(x2)，即 11exf x2exf(x1)9设函数 f(x)的导函数为 f(x)，对任意 xR 都有 f(x)f(x)成立，则()A3f(ln2)2f(ln3)B3f(ln2)2f(ln3)C3f(ln2)2f(ln3)D3f(ln2)与 2f(ln3)的大小不确定 9答案 C 解析 令 F(x)f(x)ex，则 F(x)f(x)f(x)ex，因为对xR 都有 f(x)f(x)，所以 F(x)0，即 F(x)在 R 上单调递减又 ln2ln3，所以 F(ln2)F(ln3)，即f(ln 2)eln 2f(ln 3)eln 3，所以f(ln
26、2)2f(ln 3)3，即3f(ln2)2f(ln3)，故选 C 10已知函数 f(x)是定义在 R 上的可导函数，且对于xR，均有 f(x)f(x)，则有()Ae2022f(2022)e2022f(0)Be2022f(2022)f(0)，f(2022)f(0)，f(2022)e2022f(0)De2022f(2022)f(0)，f(2022)f(x)，并 ex0，所以 g(x)g(0)，g(2022)f(0)，f(2022)e2022f(0)，f(2022)0，则不等式 cosxf(x2)sinxf(x)0 的解集为()A4，2 B4，2 C4，0 D2，4 答案 C 解析 令 g(x)f(
27、x)sinx，则 g(x)f(x)cosxf(x)sinxf(x)f(x)tanxcosx，当 x0，2)时，f(x)f(x)tanx0，cosx0，g(x)0，即函数 g(x)单调递增又 g(0)0，x0，2)时，g(x)f(x)sinx0f(x)是定义在2，2上的奇函数，g(x)是定义在2，2上的偶函数不等式 cosxf(x2)sinxf(x)0，即 sinx2fx2sinxf(x)，即 gx2g(x)，|x2|x|，x4，又2x22，故x0，由得不等式的解集是4，0 故选 C(2)对任意的 x0，2，不等式 f(x)tanx 2f 4 Bf 32f(1)cos 1 C2f(1)cos1
28、2f 4 D 2f 40，cos x0，构造函数 F(x)f(x)cos x，则 F(x)f(x)sinxf(x)cos x，因为对任意的 x0，2，不等式 f(x)tan xf(x)恒成立，所以 f(x)sin x0 恒成立，所以 F(x)0 恒成立，所以函数 F(x)在 x0，2上单调递增，所以 F 6F 4F(1)F 3，所以 f 6cos6f 4cos4f(1)cos1f 3cos3，所以32f 622f 4f(1)cos112f 3，所以 3f 6 2f 42f(1)cos10(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是()A 2 f 3f 4 B 2 f 3f
29、 4 Cf(0)2 f 4 Df(0)0，则 F(x)0，F(x)在2，2上单调递增把选项转化后可知选 A(5)已知定义在0，2上的函数 f(x)，f(x)是 f(x)的导函数，且恒有 cosxf(x)sinxf(x)0 成立，则()Af 6 2f 4 B 3f 6f 3 Cf 6 3f 3 D 2f 6 3f 4 答案 CD 解析 设g(x)f(x)cosx，则g(x)f(x)cosxf(x)sinxcos2x，因为当x0，2时，cosxf(x)sinxf(x)0，所以当 x0，2时，g(x)f(x)cosxf(x)sinxcos2xg 3，g 6g 4，即f632f312f 6 3f 3，
30、f632f422 2f 6 3f 4故选 CD(6)已知函数 yf(x)对于任意的 x0，2满足 f(x)cosxf(x)sinx1lnx，其中 f(x)是函数 f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A 2f 3f 4 B 2f 3f 4 C 2f 6 3f 4 D 2f 3f 6 答案 B 解析 设 g(x)f(x)cos x，则 g(x)f(x)cos xf(x)sin xcos2x1ln xcos2x，x0，2 令 g(x)0 得 x1e，当 x0，1e时 g(x)0，函数 g(x)单调递减，当 x1e，2时，g(x)0，函数 g(x)单调递增1e6432，g 6g 4g 3，即f 312f 422f 632，化简得 2f 3f 4，3f 3f 6，3f 4 2f 6，故选 B