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1、 初中最短路径问题 -1-最短路径问题（珍藏版）【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径 全局最短路径问题-求图中所有的最短路径【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”【出题背景】角、三角形、菱形、
2、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题 1】作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小 连 AB，与 l 交点即为 P 两点之间线段最短 PA+PB 最小值为 AB【问题 2】“将军饮马”作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小 作 B 关于 l 的对称点 B 连 A B ，与 l 交点即为 P 两点之间线段最短 PA+PB 最小值为 A B【问题 3】作法 图形 原理 -2-在直线l1、l2 上分别求点 M、N，使PMN 的周长最小 分
3、别作点 P 关于两直线的对称点 P ，两点之间线段最短 PM+MN+PN 的最小值为线段 PP的长【问题 4】作法 图形 原理 在直线l1、l2 上分别求点 M、N，使四边形 PQMN 的周长最小 分别作点 Q、P 关于直线 l1、l2 的对称点 Q和 P 连 Q P ，与两直线交点即为 M，N 两点之间线段最短 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P P 的 长 -3-4-5-6-P E 【问题 10】作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使 PA PB 的值最大 作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P 三角形任意两边之差小于第三边 PA PB AB PA PB 的最大值AB 【问
4、题 11】作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使 PA PB 的值最大 作 B 关于 l 的对称点 B 作直线 A B，与 l 交点即为 P 三角形任意两边之差小于第三边 PA PB AB PA PB 最大值AB 【问题 12】“费马点”作法 图形 原理 ABC 中每一内角都小于 120，在 ABC 内求一点 P，使 PA+PB+PC 值最小 所求点为“费马点”，即满足APBBPC APC120以 AB、AC 为边向外作等边 ABD、ACE，连 CD、BE 相交于 P，点 P 即为所求 两点之间线段最短 PA+PB+PC 最小值CD 【精品练习】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为
5、 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（）A.2 B.2 A D C3 D B C 2.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，若将ACD 绕点 A 旋转，当 AC、AD分别与 BC、CD 6 3 6-7-3 交于点 E、F，则CEF 的周长的最小值为（）A2 B 2 C 2 D4 3-8-2 3 3.四边形 ABCD 中，BD90，C70，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 的周长最小时，AMN+ANM 的度数为（）A120 B130 C110 D140 4.如图，在锐角A
6、BC 中，AB4，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 5.如图，RtABC 中，C90，B30，AB6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B、C 重合），且 EDAE，则线段 AE 的取值范围是 6.如图，AOB30，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM1，ON3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MPPQQN 的最小值是 （注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 RtABC 中，C90，则有 AC 2 BC 2 AB 2）7.如图，三角形ABC 中
7、，OABAOB15，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B(6，0)OC 平分AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MAMN 的最小值是 -9-8.已知 A（2，4）、B（4，2）C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为 ，此时 C、D 两点的坐标分别为 9已知 A（1，1）、B（4，2）（1）P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标；（2）P 为 x 轴上一动点，求 PA PB 的值最大时 P 点的坐标；（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；1 0.点 C 为AOB 内一点（1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若AOB30，OC10，求CDE 周长的最小值和此时DCE 的度数 1 1.（1）如图，ABD 和ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于 F，连 AF，求证：AF+BF+CFCD；-10-