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1、实用标准文档 精彩文案 八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径 全局最短路径问题-求图中所有的最短路径【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”【出题背景】角、三角形、菱形、矩
2、形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题 1】作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小 连AB，与l交点即为P 两点之间线段最短 PA+PB最小值为AB【问题 2】“将军饮马”作法 图形 原理 作B关于l的对称点B连A B，与l交点即为P 两点之间线段最短 PA+PB最小值为A B lABlPBAlBAlPBAB实用标准文档 精彩文案 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小【问题 3】作法 图形 原理 在直线1l、2l上分别求点M、N，使PMN的周长最小 分别作点P关于两直线
3、的对称点P 和P，连PP ，与两直线交点即为M，N 两点之间线段最短 PM+MN+PN的最小值为 线段PP 的长【问题 4】作法 图形 原理 在直线1l、2l上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小 分别作点Q、P关于直线1l、2l的对称点Q和P连QP，与两直线交点即为M，N 两点之间线段最短 四边形PQMN周长的最小值为线段PP 的长【问题 5】“造桥选址”作法 图形 原理 将点A向下平移MN的长 两点之间线段最短 l1l2Pl1l2NMPPPl1l2NMPQQPl1l2PQmnMNAAmnABMN实用标准文档 精彩文案 直线mn，在m、n，上分别求点M、N，使MNm，且AM+MN+BN
4、的值最小 度单位得A，连AB，交n于点N，过N作NMm于M AM+MN+BN的最小值为 AB+MN【问题 6】作法 图形 原理 在直线l上求两点M、N（M在左），使aMN，并使AM+MN+NB的值最小 将点A向右平移a个长度单位得A，作A 关于l的对称点A，连AB，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M 两点之间线段最短 AM+MN+BN的最小值为 A B+MN【问题 7】作法 图形 原理 作点P关于1l的对称点P，作PB2l于B，交2l于A 点到直线，垂线段最短 PA+AB的最小值为线段PB的长 laABMNlAABAMNl1l2ABPPl1l2P实用标准文档 精彩文案 在1l上求点A，
5、在2l上求点B，使PA+AB值最小 【问题 8】作法 图形 原理 A为1l上一定点，B为2l上一定点，在2l上求点M，在1l上 求 点N，使AM+MN+NB的值最小 作点A关于2l的对称点A，作点B关于1l的对称点B，连AB 交2l于M，交1l于N 两点之间线段最短 AM+MN+NB的最小值为线段AB的长【问题 9】作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使PBPA的值最小 连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P 垂直平分上的点到线段两端点的距离相等 PBPA0 【问题 10】作法 图形 原理 作直线AB，与直线l的交 三角形任意两边之差小于l2l1ABNMl2l1MNABABlBAlBAl
6、PBAlPAB实用标准文档 精彩文案 在直线l上求一点P，使PBPA的值最大 点即为P 第三边PBPAAB PBPA的最大值AB【问题 11】作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使PBPA的值最大 作B关于l的对称点B作直线A B，与l交点即为P 三角形任意两边之差小于第三边PBPAAB PBPA最大值AB 【问题 12】“费马点”作法 图形 原理 ABC中每一内角都小于120，在ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小 所求点为“费马点”，即满足APBBPCAPC120以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求 两点之间线段最短 PA+PB+PC最小值C
7、D lABlBPABABCPEDCBA实用标准文档 精彩文案【精品练习】1如图所示，正方形ABCD的面积为 12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A2 3 B2 6 C3 D6 2如图，在边长为 2 的菱形ABCD中，ABC60，若将ACD绕点A旋转，当AC、AD分别与BC、CD交于点E、F，则CEF的周长的最小值为（）A2 B32 C32 D4 3四边形ABCD中，BD90，C70，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN的周长最小时，AMN+ANM的度数为（）A120 B130 C110 D140 A D E P
8、B C CADBMN实用标准文档 精彩文案 4如图，在锐角ABC中，AB42，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 5如图，RtABC中，C90，B30，AB6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），且EDAE，则线段AE的取值范围是 6如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是_（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即RtABC中，C90，则有222ABBCAC）DEABCDABCMN实用标准文档 精彩文案 7如图，三角
9、形ABC中，OABAOB15，点B在x轴的正半轴，坐标为B(36，0)OC平分AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MAMN的最小值是_ 8已知A（2，4）、B（4，2）C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为 ，此时 C、D两点的坐标分别为 9已知A（1，1）、B（4，2）（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；yxBOAyxBAO实用标准文档 精彩文案 （2）P为x轴上一动点，求PBPA的值最大时P点的坐标；（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；10点C为AOB内一点（1）在OA求
10、作点D，OB上求作点E，使CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若AOB30，OC10，求CDE周长的最小值和此时DCE的度数 yxBOACDyxBOA实用标准文档 精彩文案 11（1）如图，ABD和ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CFCD；（2）在ABC中，ABC30，AB6，BC8，A，C 均小于 120，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由 图ACB图FEDBACCOBA实用标准文档 精彩文案 12荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？