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1、第 2 课时 勾股定理的实际应用 1熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2勾股定理的正确使用(难点)一、情境导入 如图，在一个圆柱形石凳上，假设小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究 探究点一：勾股定理在实际生活中的应用【类型一】勾股定理在实际问题中的简单应用 如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13 米，此人以 0.5 米每秒的速度收绳 问6 秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保存根号)?解析：开始时，AC5 米，BC1
2、3 米，即可求得 AB 的值，6 秒后根据 BC、AC 长度即可求得 AB 的值，然后解答即可 解：在 RtABC 中，BC13 米，AC5 米，那么 AB BC2AC212 米，6秒后，BC610 米，那么 AB BC2AC25 3米，那么船向岸边移动距离为(125 3)米 方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理【类型二】含 30或 45等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用 由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日 A 市测得沙尘暴中心在 A 市的正西方向 300km的 B 处，以 10 7km/h 的速度向南偏东
3、 60的 BF 方向移动，距沙尘暴中心 200km 的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A 市是否会受到沙尘暴的影响？假设不会，说明理由；假设会，求出 A 市受沙尘暴影响的时间 解析：过点 A 作 ACBF 于 C，然后求出ABC30，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 AC12AB，从而判断出 A 市受沙尘暴影响，设从 D点开始受影响，此时 AD200km，利用勾股定理列式求出 CD 的长，再求出受影响的距离，然后根据时间路程速度计算即可得解 解：如图，过点 A 作 ACBF 于 C，由题意得，ABC906030，AC12AB12300150(km)，150200，A 市受沙
4、尘暴影响，设从 D 点开始受影响，那么 AD200km.由勾股定理得，CDAD2AC2 2002150250 7(km)，受影响的距离为 2CD100 7km，受影响的时间位 100 710 710(h)方法总结：熟记“直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键 探究点二：勾股定理在几何图形中的应用【类型一】利用勾股定理解决最短距离问题 如图，长方体的长 BE15cm，宽 AB 10cm，高 AD20cm，点 M 在 CH 上，且CM5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点 A 爬到点 M，需要爬行的
5、最短距离是多少？解：分三种情况比拟最短距离：如图(将正面与上面展开)所示，AM10220525 29，如图(将正面与 右 侧 面 展 开)所 示，AM 202105225(cm)5 2925，第二种短些，此时最短距离为 25cm；如图(将正面与左侧面展开)所示，AM20102525 37(cm).5 3725，最短距离为 25cm.答：需要爬行的最短距离是 25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左
6、面和上面展开，从而比拟取其最小值即可【类型二】运用勾股定理与方程解决有关计算问题 如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在CD 边上的 B处，点 A 的对应点为 A，且 BC3，那么 AM 的长是()A1.5 B2 解析：设 AMx，连接 BM，MB，在RtABM 中，AB2AM2BM2，在 RtMDB中，BM2MD2DB2，MBMB，AB2AM2BM2BM2MD2DB2，即 92x2(9x)2(93)2，解得 x2，即 AMB.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为 x，然后用含有 x 的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方
7、程解答【类型三】勾股定理与数轴 如以下图，数轴上点 A 所表示的数为a，那么 a 的值是()A.51 B 51 C.51 D.5 解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出 A点的坐标 图中的直角三角形的两直角边为1 和 2，斜边长为 1222 5，1 到A 的距离是 5，那么点 A 所表示的数为 5C.方法总结：此题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点 A 的符号后，点 A 所表示的数是距离原点的距离 三、板书设计 1勾股定理在实际生活中的应用 2勾股定理在几何图形中的应用 就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“a2b2c2，没有分析问题
8、的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高.45 一次函数的应用 第 1 课时 利用一次函数解决实际问题 1根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3建立一次函数模型解决实际问题(难点)一、情境导入 联通公司 话费收费有A套餐(月租费15 元，通话费每分钟 0.1 元)和 B 套餐(月租费 0 元，通话费每分钟 0.15 元)两种设 A套餐每月话费为 y1(元)，B 套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为 x 分钟(1)分别表示出 y1
9、与 x，y2与 x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下 A 套餐更省钱？二、合作探究 探究点：一次函数与实际问题【类型一】利用图象(表)解决实际问题 我国是世界上严重缺水的国家之一为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t以内(包括10t)的用户，每吨收水费 a 元；月用水超过 10t 的用户，10t 水仍按每吨 a 元收费，超过 10t 的局部，按每吨 b 元(ba)收费设某户居民月用水xt，应收水费 y 元，y 与 x 之间的函数关系如以下图(1)求 a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收
10、的水费；(2)求 b 的值，并写出当 x10 时，y 与 x之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用 4t 水，两家共收水费 46 元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过 10t 时，设其函数表达式为 yax，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得 a 的值；再将 x8 代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得 b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比 10t 多还是比 10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量 解：(1)当 0 x10 时，图象过原点，所 以 设 y ax.把(10
11、，15)代 入，解 得ayx(0 x10)当 x8 时，y812，即该户居民的水费为 12 元；(2)当 x10 时，设 ybxm(b0)把(10，15)和(20，35)代入，得10bm15，20bm35，解得b2，m5，即超过 10t 的局部按每吨 2元收费，此时函数表达式为 y2x5(x10)；(3)因 为 101.5 101.5 42 3846，所以居民乙用水比 10t 多设居民乙上月用水 xt，那么居民甲上月用水(x4)t.y甲2(x4)5，y乙2x，得2(x4)5(2x5)46，解得 xt，居民乙用水 12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得
12、出函数关系式，根据关系式再得出相关结论 广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：进价(元/千克)售价(元/千克)甲种 5 8 乙种 9 13(1)假设该水果店预计进货款为 1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3 倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共 140 千克，进而利用该水果店预计进货款为 1000 元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出
13、最大值即可 解：(1)设购进甲种水果 x 千克，那么购进乙种水果(140 x)千克，根据题意可得 5x9(140 x)1000，解得 x65，140 x75(千克)答：购进甲种水果 65 千克，乙种水果75 千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3 元，乙种水果每千克利润为 4 元设总利润为 W，由题意可得 W3x4(140 x)x560，故 W 随 x 的增大而减小，那么 x越小，W 越大该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3 倍，140 x3x，解得 x35，当 x35 时，W最大35560525(元)，故 14035105(千克)答：当购进甲种水果 35 千克，购进
14、乙种水果105千克时，此时利润最大为525元 方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键 如图，底面积为 30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度 h(cm)与注水时间 t(s)之间的关系如图所示 请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体的下方圆柱的底面积为 15cm2，求“几何体上方圆柱的高和底面积 解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体下方圆柱需 18s；注满“几何体上方圆柱需 24186(s)；注满“几何体上
15、面的空圆柱形容器需 422418(s)，再设匀速注水的水流速度为 xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图知几何体下方圆柱的高为 acm，根据圆柱的体积公式得 a(3015)185，解得 a6，于是得到“几何体上方圆柱的高为 5cm，设“几何体上方圆柱的底面积为 Scm2，根据圆柱的体积公式得 5(30S)5(2418)，再解方程即可 解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为 14cm，两个实心圆柱组成的“几何体的高度为 11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体到注满用了 422418(s)，这段高度为 14113(cm)设匀速注水的水流速度为 xcm3/s，那么
16、 18x303，解得 x5，即匀速注水的水流速度为 5cm3/s；(2)由图知“几何体下方圆柱的高为 acm，那么 a(3015)185，解得 a6，所以“几何体上方圆柱的高为 1165(cm)设“几何体上方圆柱的底面积为 Scm2，根据题意得 5(30S)5(2418)，解得 S24，即“几何体上方圆柱的底面积为 24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题【类型二】建立一次函数模型解决实际问题 某商场欲购进 A、B 两种品牌的饮料共500 箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示设购进 A 种饮
17、料 x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为 y 元 (1)求 y 关于 x 的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润(注：利润售价本钱)品 牌 A B 进价(元/箱)55 35 售价(元/箱)63 40 解析：由表格中的信息可得到 A、B 两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润 解：(1)由题意，知 B 种饮料有(500 x)箱，那么 y(6355)x(4035)(500 x)3xy3x2500(0 x500)；(2)由 题 意，得55x 35(500 x)x125.当
18、 x125 时，y最大值312525002875.该商场购进 A、B 两种品牌的饮料分别为 125 箱、375 箱时，能获得最大利润 2875 元 方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题 解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题 为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行活动自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发 1 小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线
19、前往丙地，在丙地完成 2 小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程 y(km)与自行车队离开甲地时间 x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自 行 车 队 行 驶 的 速 度 是_km/h；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度路程时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发 a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出 B 的坐标和 C 的坐标，由自行车的
20、速度就可以 D 的坐标，由待定系数法就可以求出 BC，ED 的解析式就可以求出结论 解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是 72324km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为 242.560(km/h)设邮政车出发 a 小时两车相遇，由题意得 24(a1)60a，解得 a23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为 1356094(h)，邮政车从丙地出发的时间为9421214(h)，B(214，135)，C，0)自行车队到达丙地的时间为：135240.54580.5498(h)，D(498，135)设 BC的 解 析 式 为 y1 k1x b1，
21、由 题 意 得135214k1b1，0k1b1，k160，b1450，y160 x450，设 ED 的解析式为 y2k2xb2，由题意得72k2b2，135498k2b2，解得k224，b212，y224xy1y2时，60 x45024x12，解得 x5.5.y1605.5450120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地 120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键 三、板书设计 一次函数与实际问题 1建立一次函数模型解实际问题 2利用图象(表)解决实际问题 对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.