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1、优品课件 高一数学反函数、幂函数知识点 高一数学反函数、幂函数知识点 1.反函数的定义 设函数 y=f(x)的定义域是 A，值域是 C 我们从式子 y=f(x)中解出 x 得到式子 x=(y)如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过式子 x=(y)，x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么式子x=(y)叫函数 y=f(x)的反函数，记作 x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)注意：函数 y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数 y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)的定义域是-1，+，值域是0，+），它的反函数定义域为0，+），值域是-1，+)。2 反函数存在的条件 按照函数定
2、义，y=f(x)定义域中的每一个元素 x，都唯一地对应着值域中的元素 y，如果值域中的每一个元素 y 也有定义域中的唯一的一个元素 x 和它相对应，即定义域中的元素 x 和值域中的元素y，通过对应法则 y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数 y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数例如：函数 y=x2,xR，定义域中的元素1，都对应着值域中的同一个元素 1，所以，没有反函数 而 y=x2,x1 表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数 3函数与反函数图象间的关系 函数 y=f(x)和它的反函数 y=f-1(x)的图象关于 y=x 对称若点(a,b)在 y=f(x)的图象上，那么点(b,a)
3、在它的反函数 y=f-1(x)的图象上 4反函数的几个简单命题（1）一个奇函数 y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数 y=f-1(x)一定是奇函数（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数 定义：形如 y=xa(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域：当 a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果 a 为任意实数，则函数的定义域为大于 0 的所有实数；如果 a 为负数，则 x 肯定不能为 0，不过这时函数的定义域还必须根 据 q 的奇偶性来确定，即如果同时 q为偶数，则 x 不
4、能小于 0，这时函数的定义域为大于 0 的所有实数；如果同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。当 x 为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在 x 大于 0 时，函数优品课件 的值域总是大于 0 的实数。在 x 小于 0 时，则只有同时 q 为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有 a 为正数，0 才进入函数的值域 性质：对于 a 的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果 a=p/q，q 和 p 都是整数，则 x(p/q)=q次根号(x 的 p 次方)，如果 q 是奇数，函数的定义域是 R，如果 q 是偶数，函数的定义域是0，+)。当指数
5、 n 是负整数时，设 a=-k，则 x=1/(xk)，显然 x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到 x 所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是 0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为 0 与负数两种可能，即对于 x0，则 a 可以是任意实数；排除了为 0 这种可能，即对于 x0 的所有实数，q 不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于 x 为大于且等于 0 的所有实数，a 就不能是负数。总结起来，就可以得到当 a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果 a 为任意实数，则函数的定义域为大于 0 的所有实数；如果 a 为负
6、数，则 x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据 q 的奇偶性来确定，即如果同时 q 为偶数，则 x 不能小于 0，这时函数的定义域为大于 0 的所有实数；如果同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。在x 大于 0 时，函数的值域总是大于 0 的实数。在 x 小于 0 时，则只有同时 q 为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有 a 为正数，0才进入函数的值域。由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到：(1)所有的图形都通过(1，1)这点。(2)当 a 大于 0 时，幂函数为单调递增的，而 a 小于 0 时，幂
7、函数为单调递减函数。(3)当 a 大于 1 时，幂函数图形下凹；当 a 小于 1 大于 0 时，幂函数图形上凸。(4)当 a 小于 0时，a 越小，图形倾斜程度越大。(5)a大于 0，函数过(0，0)；a 小于 0，函数不过(0，0)点。(6)显然幂函数无界。1 幂函数解析式的右端是个幂的形式。幂的底数是自变量，指数是常数，可以为任何实数；与指数函数的形式正好相反。2 幂函数的图像和性质比较复杂，高考只要求掌握指数为 1、2、3、-1、时幂函数的图像和性质。3 了解其它幂函数的图像和性质，主要有：当优品课件 自变量为正数时，幂函数的图像都在第一象限。指数为负数的幂函数都是过点(1，1)的减函数
8、，以坐标轴为渐近线，指数越小越靠近 x轴。指数为正数的幂函数都是过原点和(1，1)的增函数；在 x=1的右侧指数越大越远离 x 轴。幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出：要么是 x0，要么是关于原点对称。前者只在第一象限有图像；后者一定具有奇偶性，利用对称性可以画出二或三象限的图像。注意第四象限绝对不会有图像。定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数；否则是奇函数。4 幂函数奇偶性的一般规律：指数是偶数的幂函数是偶函数。指数是奇数的幂函数是奇函数。指数是分母为偶数的分数时，定义域 x0 或 x0，没有奇偶性。指数是分子为偶数的分数时，幂函数是偶函数。指数是分子分母为奇数的分数时，幂函数是奇数函数。优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！