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1、第 1 页 共 9 页 八年级数学全等三角形辅助线添加之倍长中线（全等三角形）拔高练习 试卷简介:本测试卷考查对倍长中线辅助线做法的掌握，共10道题，有解答题和证明题，解答题的第一题是证明题第一题的拓展，证明题的第四题是证明题第三题的拓展，同学们可以在做完后进行比较，看条件和结论发生了哪些改变 学习建议:一般出现中线的时候我们可以考虑倍长中线这种辅助线，构造出全等三角形，实现线段和角度的转移，然后利用题干中其他条件，最终将问题解决。一、解答题(共 2 道，每道 10 分)1.如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边的中点，G、F 分别为 AD，BC 边上的点，若 AG=1，BF=2，GE
2、F=90，则 GF 的长为_.答案：解：连接 GF，延长 GE 到 M，使得 EM=GE，连接 BM.在 AGE 和 BME 中，AGE BME（SAS）AG=BM=1，GAE=MBE=90 ABC=90 F,B,M 三点共线，即 FM=FB+BM=2+1=3 在 GEF 和 MEF 中，第 2 页 共 9 页 GEF MEF GF=FM=3 解题思路：E 为 AB 的中点，且 GEF=90，看到这两个条件，我们想到了倍长中线 易错点：倍长中线辅助线的做法和应用 试题难度：三颗星 知识点：全等三角形的判定 2.如图，在 ABC 中，AC=5，中线 AD=7，则 AB 边的取值范围是？答案：延长
3、 AD 至 E，使 DE=AD，则 AE=14.1=2，BD=CD ACD EBD（SAS）AC=BE=5 又 AE-BEAB AE+BE 9ABFG 由 CG=BE，FG=EF 得：BE+CFEF 解题思路：由条件，AD 为 ABC 的中线，想到倍长中线 易错点：倍长中线 试题难度：三颗星 知识点：全等三角形的判定 4.如图已知 ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证 EF2AD.答案：延长 AD 于 H 使 AD=HD，连接 BH。在三角形 BDH 与三角形 CDA 中 BD=DC BDH=CDA DH=DA 三角形 BDH 三
4、角形 CDA（SAS）AC=BH，H=CAD。AC/BH，CAB+ABF=1800.EAB+CAF=900+900=1800.CAB+EAF=1800 ABH=EAF 在三角形 EAF 与三角形 ABH 中 EA=BA 第 6 页 共 9 页 EAF=ABH AF=AC=BH 三角形 EAF 三角形 ABH（SAS）EF=AH=2AD。解题思路：见答案 易错点：不能正确的做出辅助线，实现变量之间的转化。试题难度：三颗星 知识点：等腰直角三角形 5.如图，在 ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是 AD 上一点，BEAC，BE 的延长线交 AC 于点F，求证：AEF=EAF 答案：证明：延长
5、 AD 到 G，使 DG=AD，连接 BG 在 ACD 和 BGD 中，ACD BGD（SAS）1=4，AC=BG 又 BE=AC BE=BG 从而 3=4 2=3 1=2 解题思路：倍长中线构造出全等三角形，实现线段和角度的转移，从而利用已知条件求解 易错点：倍长中线 第 7 页 共 9 页 试题难度：四颗星 知识点：全等三角形的判定 6.如图，在 ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 中点，EF AD 交 CA 的延长线于点 F，交EF 于点 G，若 BG=CF，求证：AD 为 ABC 的角平分线.答案：证明：延长 GE 到 M，使 EM=GE，连接 CM 在 BEG 和
6、 CEM 中，BEG CEM（SAS）1=2，BG=CM 又 BG=CF CM=CF，即 2=3 EF AD 1=4，3=5 从而得到 4=5 即：AD为 ABC 的角平分线 解题思路：题干中有：点 E 是 BC 中点，想到用倍长中线的方法来构造出全等三角形来转移线段和角度，从而利用题干中的平行条件求解 易错点：倍长中线 试题难度：三颗星 知识点：平行线的性质 7.如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.第 8 页 共 9 页 答案：延长 FD 至点 G，使 DG=DF，连结 BG、EG.BD=BC，BDG=CDF，DG=D
7、F BDG CDF CF=BG，DG=DF EF=EG BG+BEEG BE+CFEF 解题思路：通过倍长中线法构造全等三角形，实现线段量的转移.即 BE、CF、EF 或与之想等的线段转移到一个三角形中，进而利用两边之和大于第三边得出结论 易错点：无从入手解题 试题难度：四颗星 知识点：全等三角形的判定与性质 8.如图，ABC 中，BD=DC=AC,E 是 DC 的中点，求证，AD 平分 BAE.答案：证明：延长 AE 到 F，使 EF=AE，连接 DF 在 ACE 和 FDE 中，ACE FDE（SAS）、AC=DF，C=CDF AC=CD DAC=ADC 从而 DAC+C=ADC+CDF=ADF ADB 为 ACD 的一个外角 ADB=C+DAC 即 ADB=ADF 在 ABD 和 AFD 中 第 9 页 共 9 页 ABD AFD（SAS）1=2 即 AD 平分 BAE 解题思路：看到中点，想到倍长中线，构造出全等三角形，实现线段和角度的转移，从而得到解决 易错点：倍长中线 试题难度：四颗星 知识点：全等三角形的判定