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1、.“PA+kPB”型的最值问题 当 k 值为 1 时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。当 k 取任意不为 1 的正数时，通常以动点 P 所在图像的不同来分类，一般分为 2 类研究。其中 点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线 L，先取 A（或 B）关于直线 L 的对称点 A（或 B），连接 AB（或 BA），并与直线交于一点 P，则点 P 就是将军饮马的地点，即 PA+PB 即为最短路线。例1.如图，在锐角 ABC
2、 中，AB=4，BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 。例2.如图，在矩形 ABCD 中，AB10，AD6，动点 P 满足 S PAB31S矩形ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为 例3.如图，AOB=30，点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分AOB，且 OP=6，PMN 的周长最小值为 ；当PMN 的周长取最小值时，四边形 PMON 的面积为 。变式：“造桥选址”模型 例4.如图，已知直线 ab，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 A 到直线 a的距离为 2
3、，点 B到直线 b 的距离为 3，AB=302试在直线 a 上找一点 M，在直线 b 上找一点 N，满足 MNa 且 AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB 的值为 。例5.如图，CD 是直线 y=x 上的一条定长的动线段，且 CD=2，点 A（4，0），连接 AC、AD，设 C 点横坐标为 m，求 m 为何值时，ACD的周长最小，并求出这个最小值。.二、“胡不归”模型 有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾
4、为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A 是出发地，B 是目的地；AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程 AB。但是，他忽略了在驿道上（V1）行走要比在砂土地带（V2）行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。解题步骤：将所求线段和改写为“BD12VVAD”的形式（012VV1）；在 AD 的一侧，BD 的异侧，构造一个角度，使得 sin12VV；过 B 作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值 例6.如图，ABC 中，BC=2,ABC=30，则 2AC+AB 的最小值为
5、。例7.如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且ABC=60，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点,则 AM+21BM 的最小值为 。例8.如图，等腰 ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上的高为 AO，点 D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从点 A 出发，沿 AD-DC 运动，动点 P 在 AD 上运动速度 3 个单位每秒，动点 P 在 CD 上运动的速度为 1 个单位每秒，则当 AD=.时，运动时间最短为 秒。中考真题 1.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其中对称轴
6、与 x 轴交于点 D。若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则PDPB21的最小值为 。2.（2014.成都）如图，已知抛物线42938yxx与 x 轴从左至右依次交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线33433xy与抛物线的另一个交点为 D（-5，33）。设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标为 时，点 M 在整个运动过程中用时最少？.三、“阿氏圆”模型【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两
7、点 A、B，则所有满足 PA=kPB（k1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图所示 2-1-1，O 的半径为 r,点 A、B 都在O 外，P 为O 上的动点，已知 r=kOB.连接 PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P 点的位置如何确定？图 2-1-1 图 2-1-2 图 2-1-3 本题的关键在于如何确定“kPB”的大小，（如图 2-1-2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC=kr,则可说明BPO 与PCO 相似，即 kPB=PC。本题求“PA+kPB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如
8、图 2-1-3），本题得解。“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心 O（将系数不为 1 的线段两个端点分别与圆心相连接），则连接 OP、OB；第二步：计算出所连接的这两条线段 OP、OB 长度；第三步：计算这两条线段长度的比kOBOP；第四步：在 OB 上取点 C，使得kOBOPOPOC；第五步：连接 AC，与圆 O 交点即为点 P 例9.如图，点 A、B 在O 上，且 OA=OB=6，且 OAOB，点C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，且 OD=4，动点 P 在O 上，则 2PC+PD 的最小值为 .例10.如图，半圆的半径为 1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC=1，
9、BD=2，P 为弧 AB 上一动点，求22PC+PD 的最小值为 例11.（1）【问题提出】：如图 1，在 Rt ABC 中，ACB90，CB4，CA6，C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP，BP，求BPAP21的最小值为 （2）.【自主探索】：在“问题提出”的条件不变的情况下，BPAP31的最小值为 （3）.【拓展延伸】：已知扇形 COD 中，COD90，OC6，OA3，OB5，点 P 是 CD 上一点，则 2PAPB 的最小值为 【模型类比】“胡不归”构造某角正弦值等于小于 1 系数 起点构造所需角（k=sinCAE）-过终点作所构角边的垂线-利用垂线段最短解决 “阿氏圆”构造共边
10、共角型相似 构造 PABCAP 推出 PA2=ABAC 即：半径的平方=原有线段构造线段 .拓展：“费马点”问题 背景资料：在已知 ABC 所在平面上求一点 P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马 1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”如图，当 ABC 三个内角均小于 120时，费马点 P 在 ABC 内部，此时APB=BPC=CPA=120，此时，PA+PB+PC 的值最小 解决问题：（1）如图，等边 ABC 内有一点 P，若点 P 到顶点 A、B、C 的距离分别为 3，4，5，求APB 的度数 为了解决本题，我们可以将 ABP 绕顶点 A 旋转到 ACP处，此时 ACPABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段 PA，PB，PC 转化到一个三角形中，从而求出APB=；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图，ABC 中，CAB=90，AB=AC，E，F 为 BC 上的点，且EAF=45，判断 BE，EF，FC 之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图，在 Rt ABC 中，C=90，AC=1，ABC=30，点 P 为 Rt ABC 的费马点，连接 AP，BP，CP，求 PA+PB+PC 的值