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1、2021-2022 学年高一下数学期末模拟试卷 请考生注意：1请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 05 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1已知点2,1A，点(,)P x y满足线性约束条件20,10,24,xyxy O 为坐标原点，那么OA OP的最小值是 A11 B0 C1 D5 2 已知直线xya与圆224xy交于 A、B 两点，O 是
2、坐标原点，向量OA、OB满足，则实数a 的值是（）A2 B2 C6或6 D2 或2 3经过平面 外两点，作与 平行的平面，则这样的平面可以作()A1 个或 2 个 B0 个或 1 个 C1 个 D0 个 4圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述为：质点在以某点为圆心半径为 r的圆周上的运动叫“圆周运动”，如图所示，圆 O 上的点以点 A 为起点沿逆时针方向旋转到点 P，若连接 OA、OP，形成一个角，当角73，则cos（）A12 B22 C32 D1 5在等差数列 na中，265,1aa，则10a等于()A5 B6 C7 D8 6已知角的终边经过点(4,3)，则cos=（）A45 B35
3、C35 D45 7直线3ykx与圆22(3)(2)4xy相交于 M，N 两点，若|2 3MN 则k的取值范围是（）A3,04 B30,4 C3,03 D2,03 8 设mR，过定点A的动直线0 xmy和过定点B的动直线30mxym交于点,P x y，则PAPB的最大值是（）A5 B10 C102 D17 9若直线和直线互相垂直，则()A或 B3 或 1 C或 1 D或 3 10已知x，y取值如下表：x 0 1 4 5 6 y 1.3 m 3m 5.6 7.4 画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为1yx，则 m 的值(精确到0.1)为()A1.5 B1.6 C1.7 D1.8 二、
4、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。11当01x时，不等式sin2xkx成立，则实数 k 的取值范围是_.12九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”.在某种玩法中，用na表示解下*9,n nnN个圆环所需的移动最少次数，na满足11a，且1121,22,nnnanaan为偶数为奇数，则解下 4 个环所需的最少移动次数为_.13一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为 3m.14在 ABC 中，若222sinsinsin CAB，则 ABC 的
5、形状是 _.15等比数列 na中，若312a，548a，则7a _.16已知无穷等比数列 na的首项为1，公比为12，则其各项的和为_ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 如图所示，在三棱柱111-ABC ABC中，侧棱1AA 底面ABC，ABBC，D 为AC的中点，12,3AAABBC.（1）求证：1AB/平面1BC D；（2）求1AB与BD所成角的余弦值 18 已知,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2),(2,4),(2,)abcm .（1）若()abc，求|c；（2）若kab与2ab共线，求k的值.19设函数 223
6、f xmxmx.（1）若1m，解不等式 0f x；（2）若对一切实数x，0f x 恒成立，求实数m的取值范围.20已知12,e e 是夹角为60的单位向量，且122aee，1232bee （1）求a b；（2）求a与b的夹角 21已知圆P过点1,0,4,0AB.（1）点5,2C，直线l经过点A 且平行于直线BC，求直线l的方程；（2）若圆心P的纵坐标为 2,求圆P的方程.参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D【解析】点 P xy（，）满足线性约束条件20,10,24,xyxy 212OA OPxyx
7、y（，）（，），令目标函数2zxy，画出可行域如图所示，联立方程20,10,xy 解得21A（，），2zxy，在点A处取得最小值：min2215z 故选 D【点睛】此题主要考查简单的线性规划问题以及向量的内积的问题，解决此题的关键是能够找出目标函数.2、D【解析】由，两边平方，得，所以，则为等腰直角三角形，而圆的半径，则原点到直线的距离为，所以，解得的值为 2 或-2 故选 D 3、B【解析】若平面 外的两点所确定的直线与平面 平行，则过该直线与平面 平行的平面有且只有一个；若平面 外的两点所确定的直线与平面 相交，则过该直线的平面与平面 平行的平面不存在;故选 B.4、A【解析】运用求任意角
8、的三角函数值的步骤：化正、脱周、变锐角和求值，可得所求值.【详解】71coscoscos332.故选：A.【点睛】本题考查任意角三角函数值的求法，属于基础题.5、C【解析】由数列 na为等差数列，当2kmn时，有2mnkaaa，代入求解即可.【详解】解：因为数列 na为等差数列，又26210，则21062aaa，又265,1aa，则107a，故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的性质，属基础题.6、D【解析】试题分析：由题意可知 x=-4，y=3，r=5，所以4cos5xr.故选 D.考点：三角函数的概念.7、A【解析】可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解【详解
9、】如图所示，设弦MN中点为 D，圆心 C(3,2),330ykxkxy 弦心距222|323|31|(1)1kkCDkk，又2|2 3|33MNDNDN，由勾股定理可得222222|31|231kDNCNCDk，2222|31|31|31|1(31)1(43)0041kkkkkkkkk 答案选 A【点睛】圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。处理过程中，直线需化成一般式 8、A【解析】由题意知两直线互相垂直，根据直线分别求出定点A与定点B，再利用基本不等式，即可得出答案。【详解】直线0 xmy过定点(0,0)A，直线30(1)30mxymm xy过定点()1,3B,210A
10、B 又因直线0 xmy与直线30mxym互相垂直，即222ABPAPB 即221025PAPBPA PBPA PB，当且仅当=5PAPB时取等号 故选 A【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本不等式，属于中档题。9、C【解析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线和直线互相垂直，所以，解方程可得或，故选 C.【点睛】本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，
11、这一点一定不能掉以轻心.10、C【解析】根据表格中的数据，求得样本中心为16 17.3(,)55m，代入回归直线方程，即可求解.【详解】由题意，根据表格中的数据，可得0 14561655x，1.335.67.414.3455mmmy，即样本中心为16 17.3(,)55m，代入回归直线方程1yx，即14.3416551m，解得1.7m，故选 C.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的基本特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。11、k（，1【解析】此题先把常数 k 分离出来，再构造成2
12、xsinkx再利用导数求函数的最小值，使其最小值大于等于 k 即可【详解】由题意知：当 0 x1 时 2xsinkx（1）当 x0 时，不等式2xsinkx恒成立 kR（2）当 0 x1 时，不等式2xsinkx可化为 2xsinkx 要使不等式2xsinkx恒成立，则 k2minxsinx成立 令 f（x）2xsinx x（0，1 即 f（x）2222xxxcossinx 再令 g（x）222xxxcossin g（x）242xxsin 当 0 x1 时，g（x）0 g（x）为单调递减函数 g（x）g（0）0 f（x）0 即函数 f（x）为单调递减函数 所以 f（x）minf（1）1 即 k
13、1 综上所述，由（1）（2）得 k1 故答案为：k（，1【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题型 12、7【解析】利用 na的通项公式，依次求出2,3a a，从而得到4a，即可得到答案。【详解】由于na表示解下*9,n nnN个圆环所需的移动最少次数，na满足11a，且1121,22,nnnanaan为偶数为奇数 所以21212 1 11aa ，32222 124aa，故432124 17aa ，所以解下 4 个环所需的最少移动次数为 7 故答案为 7.【点睛】本题考查数列的递推公式，属于基础题。13、83【解析】该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 的圆柱组合而成,所
14、以该几何体的体积为3182 12(m)33 .考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.14、钝角三角形【解析】由222sinsinsinABC，结合正弦定理可得，222abc，由余弦定理可得222cos2abcCab可判断C的取值范围【详解】解：222sinsinsinABC，由正弦定理可得，222abc 由余弦定理可得222cos02abcCab 2C ABC是钝角三角形 故答案为钝角三角形【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题 15、192【解析】设 na的首项为1a，公比为q，根据312a，548a 列出方程组，求出1a和2q即可得解
15、.【详解】设 na的首项为1a，公比为q，则：21411248a qa q，解之得1234aq，所以：63713 4192aaq.故答案为：192.【点睛】本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解q，解出2q即可，属于基础题.16、23【解析】根据无穷等比数列求和公式求出等比数列 na的各项和.【详解】由题意可知，等比数列 na的各项和为121312S ，故答案为：23.【点睛】本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出
16、文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）2613.【解析】（1）连接1BC，设1BC与1BC相交于点 O，连接 OD.证明 OD 为1ABC的中位线，得1/ODAB，即可证明；（2）由（1）可知，ODB为1AB与BD所成的角或其补角，在OBD中，利用余弦定理求解即可【详解】(1)证明：如图，连接1BC，设1BC与1BC相交于点O，连接 OD.四边形11BCC B是平行四边形 点 O 为1BC的中点 D 为 AC 的中点，OD 为1ABC的中位线，1/ODAB OD 平面1BC D，1AB 平面1BC D，1/AB平面1BC D .（2）由（1）可知，ODB为1AB与BD所成
17、的角或其补角 在Rt ABC中，D 为 AC 的中点，则1322ACBD 同理可得，132OB 在OBD中，22226cos213ODBDOBODBOD BD 1AB与 BD 所成角的余弦值为2613.【点睛】本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力是基础题 18、（1）2 2；（2）2【解析】（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出（2）根据向量共线的条件即可求出【详解】（1）因为(2,4)(2,)bcm ，(4,4)bcm (),(1,2)abca ()42(4)0abcm 2(2,2)mc|2 2c （2）由已知：(2,24)2(4
18、,0)kabkkab (2)04(24)kk 2k 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行的坐标表示，属于基础题 19、（1）3x x 或1x ；（2）30m 【解析】（1）1m 时，不等式化为2230 xx，求解即可；（2）分0m 和0m两种情况分类讨论，并结合二次函数的性质，可求出答案.【详解】（1）1m 时，不等式化为2230 xx，即310 xx，解得3x 或1x ，即解集为：3x x 或1x .（2）当0m 时，30f x ，符合题意，当0m时，由题意得204120mmm，解得30m，综上所述，实数m的取值范围是：30m.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查一元二次不
19、等式的解法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.20、（1）72（2）120【解析】试题分析：（1）根据题知，由向量的数量积公式进行运算即可，注意，在去括号的向量运算过程中可采用多项式的运算方法；（2）根据向量数量积公式，可先求出cosa ba b的值，又0 180，从而可求出的值.试题解析：（1）1212232a beeee =22112262ee ee =72 （2）21212227aeeee 2121232327beeee 1cos2a bab 120 21、（1）220 xy；（2）22525(2)24xy.【解析】（1）求出直线BC的斜率，由直线l与直线BC平行，可知这两条直线的斜率相等，再利用点斜式可得出直线l的方程；（2）由题意得出点P在线段AB的中垂线上，可求出点P的坐标，再利用两点间的距离公式求出圆P的半径rAP，于此可写出圆P的标准方程【详解】（1）直线过点1,0A，斜率为20254BCk，所以直线l的方程为21yx，即220 xy；（2）由圆的对称性可知，P必在线段AB的中垂线上，圆心P的横坐标为：14522，即圆心为：5,22P，圆P的半径：225510222rAP，圆的标准方程为：22525224xy.【点睛】本题考查直线的方程，考查圆的方程的求解，在求解直线与圆的方程中，充分分析直线与圆的几何要素，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题