《5差分方程.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5差分方程.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 第五讲 差分方程 一、问题的提出 与微分方程一样，差分方程也有广泛的应用。差分方程和微分方程既有联系也有区别。一般来说，连续时间的最优化过程产生的一阶条件是微分方程，而离散时间的最优化过程产生一阶条件是差分方程。因此，要弄清最优解的性质，有必要研究微分方程和差分方程。前面我们学习了微分方程的解和解的性质。本讲将研究差分方程的解与解的性质。在学习过程中，我们应该把微分方程与差分方程比较一下，发现其中的相似之处。差分方程有广泛的应用，仅举几例。例1 价格波动的蛛网模型。设厂商面临的产品需求函数和供给函数为 0,0,1cdcPSabaPDtttt 如果市场在任何时候都达到均衡，则得到产品价格的
2、一阶差分方程 dcPbaPtt1。例2 经济周期波动的内生性-乘数原理和加速原理。凯恩斯消费函数为 2 yc 可动态化为 1),(11ttttyycc 加速原理动态方程为 1,)1()1(11ayyakkIttttt 根据国民经济核算的会计恒等式 ttttcysI 1)1(ttttyyacy 2111)1(ttttyyacy 211111ttttttttyyyyaccyy 211111ttttttyyyyayy 这是一个二阶差分方程。01121tttyayaya 121)1(42aaaaax 显然，由于01a，特征方程有两个根，一正一负。令0，问题简化为 0121tttayyaya 对应的特征
3、方程为 012axaxa 例3 消费资产定价模型 3 rrrrrrrpdpCCCC1111)()(若时间效用函数是风险中性的，可设rrCC)(,欧拉方程可以改写为差分方程 tttdpp11 二、一阶差分方程的解 一阶线性差分方程的一般形式为 111ttttbxax 其中，ta,tb为给定的数列。为简单起见，下面始终假设 ta为常数列，但 tb可以随着时间的变化而变化。因此，下面考虑的一阶线性差分方程的形式为 11tttbaxx 一般来说，差分方程的通解为 ptctgtxxx 其中，gtx、ctx、ptx分别表示差分方程的通解、齐次差分方程的通解、非齐次方程的特解。（一）、齐次方程1ttaxx，
4、它的均衡点0 x。而方程1ttaxx的解通过迭代得到 0 xaxtt 4 据此，可以获得如下结论：1 当)1,0(a时，解单调收敛到均衡点 0；均衡点是稳定的。2 当)0,1(a时，解振荡收敛到 0；均衡点是稳定的。3 当),1(a时，解单调分散到无穷大；均衡点是不稳定的。4 当)1,(a时，解振荡分散到无穷大；均衡点是不稳定的。（二）、自治系统 当 tb是常数序列时，则称上面的系统为自治系统。这个系统在均衡点x满足bxax，则)(1xxaxxtt ttacxx 其中 c 为常数，它由初始条件决定。关于线性系统的稳定性的结论对于自治系统而言仍然成立，即 1 当)1,0(a时，解单调收敛到均衡点
5、x；均衡点是稳定的。2 当)0,1(a时，解振荡收敛到x；均衡点是稳定的。3 当),1(a时，除了 c=0 之外，解单调分散到无 5 穷大；均衡点是不稳定的。4 当)1,(a时，解振荡分散到无穷大；均衡点是不稳定的。（三）非自治系统 非自治系统11tttbaxx的解仍然可以表示为 pttgtxcax 其中 c 为常数，它由初始条件决定。对于非自治系统，只要我们能够选择一个特解，则就知道了它的通解。通过前向迭代，可以获得方程的一个解 10niitintntbaxax 令tn,则 100tiitittbaxax 由于我们现在不知道0 x是多大，所以，我们可以把 xt表示成过去所有的信息的表达式 0
6、10limiitiniitintnntbabaxax 如果1a，变量是 xt是有界的，则，0iititbax是方程的特解。方程的通解可表示为 0iitittbacax 这个解叫做前向解。6 如果1a，变量是 xt是有界的，则方程的通解可表示为 011iiitittbaacax 这个解叫做方程后向解。如果1a，前向解是稳定的；如果1a，后向解是稳定的。例 1求蛛网模型 0,0,1cdcPSabaPDtttt 的解，并讨论其稳定性。解：根据均衡条件ttSD,得一阶差分方程 abdPacPtt1 方程的均衡点为 acbdP 根据前面的差分方程通解公式 ttacKacbdP K 是待定常数。结论：当1
7、ac时，系统是振荡分散的；7 当01ac时，系统是振荡稳定的；当1ac时，系统是等幅振荡的。例 2Cagan 模型动态 LM 模型的特例 1956 年 Cagan 研究了七种恶性通货膨胀。Cagan 所定义的恶性通货膨胀是用货币表现的价格水平每月至少上涨 50，也就是每年通货膨胀率达到 13000！记ttMmln，Mt为 t 时刻的名义货币量；ttPpln，Pt为 t 时刻的价格水平；记etp1为 t 时刻以前的信息给定时对 t+1 时刻价格水平的预期，这样 Cagan 模型可以表示为 tetttpppm1 其中为负常数，表示实际货币需求弹性。Cagan 模型表示实际货币余额的需求与预期通货膨
8、胀率是负相关的。货币的供给是外生给定的。卡甘模型 IS-LM 模型的简化形式。在传统的 LM 曲线中，t 其的实际货币需求随实际产出变化 Yt而发生正向变化，随名义利率 it1反方向变化。即 1,tttdtiYLPM 收入的增加会提高人们的货币需求；名义利率的上升提高持有货币的机会成本。卡甘认为，在恶性通货膨胀下，预期未来的通货膨胀对货币需求 8 的影响无可比拟。实际产出和实际利率在很大程度上并不会随着货币的变化产生很大的变化。在完全可以预期的情况下，实际利率和名义利率以及通货膨胀率之间的关系可由费雪方程式表示 ttttPPri11111 近似地可以表示为 11111ttttttrppri 其
9、中1t是通货膨胀率。费雪认为，名义利率等于实际利率与预期通货膨胀率之和。名义利率和通货膨胀率同步变动，这就是为什么卡甘模型近似地表达了在恶性通货膨胀条件下的货币需求与通货膨胀之间的关系。由于假设货币供给tm货币供给是外生变量，所以在均衡条件下，卡甘模型tetttpppm1 就是货币供给决定价格水平的一阶差分方程。如果预期是理性的，则11tetpp，卡甘模型变成 ttttpppm1 或者写成 tttmpp11 由于0，所以11,价格水平为 01111iitittmcp 由于方程右边的第二项有限，且01111ii，所以，价格水 9 平是是现期货币供给量和预期货币供给量的加权平均。例3 资产价格与股
10、市泡沫。考虑股票价格波动方程tttdpp11的解 0111iitittdcp 它表示股票的价格等于股票的收益的未来贴现值加上一个资产泡沫。所以，含有资产泡沫的解也可以是理性的。但是，由于 01limttc 所以，011limiitittdp 从长期看，资产泡沫趋于 0。也就是说，泡沫总会破裂的。二、二阶线性差分方程与乘数加速原理 一般而言，一个高阶差分方程可以通过变换化成一个一阶差分方程方程组，所以，要讨论高阶差分方程，只需讨论差分方程组即可。为方便起见，以二阶线性差分方程为例，同样的方法也可以研究更高阶的线性差分方程组。设二元线性差分方程组为 ttttttttdyaxaybyaxax2221
11、112111 10 或 tttBAzz1 其中，),(tttyxz,22211211aaaaA,),(tttdbB ptctgtzzz 其中，ctz齐次差分方程的通解；gtz、ptz分别表示非差分方程的通解、特解。首先考虑齐次方程系统 ttAzz1 如果 A 是一个对角矩阵，即2112aa,则它的解是 ttacx111,ttacy222 对于一般的齐次方程组，考虑矩阵的对角化。1）假设矩阵 A 有两个不同的实数特征根21,，相应的特征向量分别为),(12111eee,),(22212eee,),(21eeE 表示特征向量矩阵，则 AEE1),(21diag是以特征根为对角元素的方阵。又设ttz
12、Ez1，),(111tttyxz，则方程系数矩阵被化为 ttttyxyx211100 该齐次方程的通解为 ttcx11,ttcy12 由此可得原方程的解 11 ttttcceeeeyx221122211211 2）当方程的特征根均为复数时，以 n=2 为例，系统的特征根可以写成)sin(cos1ir)sin(cos2ir 对应的两个特征向量分别为 ifdeifde21,因此，齐次方程有下列解 tttttviutftdirtftdrz)sincos()sincos(1 tttttviutftdirtftdrz)sincos()sincos(2 齐次差分方程的通解为 ttgtucucz21 3）当特征方程有重根时，系统不能对角化。如果矩阵 A 的特征根出现重根，设特征根为，这齐次线性差分方程的通解可以表示为 tttccz112111)(tttccz222212)(例 5求乘数加速原理的解 对应乘数加速原理的差分方程为 0121tttayyaya 令1ttym，则上述二阶差分方程可以表示为一个二元一阶差分方程 12 组 tttttmaayaayym11111 令 1101aaaaA 对应的特征方程为 012aaa 12142aaaaa 如果01a，特征方程有两个根21,一正一负。同学可自己判断解的性质。