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1、 第 2 讲 匀变速直线运动的规律 主干梳理 对点激活 知识点 匀变速直线运动及其公式 1定义和分类(1)匀变速直线运动：沿着一条直线，且01加速度不变的运动。2三个基本公式(1)速度与时间关系式：04vv0at。(2)位移与时间关系式：05xv0t12at2。(3)速度与位移关系式：06v2v202ax。3两个重要推论(1)物体在一段时间内的平均速度等于这段时间07中间时刻的瞬时速度，还等于初末时刻速度矢量和的08一半，即：v v0v2。(2)任意两个连续相等的时间间隔 T 内的位移之差为一恒量，即：xx2x1x3x2xnxn109aT2。可以推广到 xmxn(mn)aT2。4初速度为零的匀
2、变速直线运动的五个推论(1)1T 末、2T 末、3T 末nT 末瞬时速度的比为：v1v2v3vn10123n。(2)1T 内、2T 内、3T 内nT 内位移的比为：x1x2x3xn11122232n2。(3)第一个 T 内、第二个 T 内、第三个 T 内第 n 个 T 内位移的比为：x1x2x3xn12135(2n1)。(4)从静止开始运动位移 x、2x、3x、nx 所用时间的比为：t1t2t3tn131 2 3 n。(5)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：t1t2t3tn141(21)(3 2)(n n1)。知识点 自由落体运动和竖直上抛运动 1自由落体运动(1)条件：物体只在01
3、重力作用下，从02静止开始的运动。(2)运动性质：初速度 v00，加速度为重力加速度 g 的03匀加速直线运动。(3)基本规律 速度与时间关系式：v04gt。位移与时间关系式：h0512gt2。速度与位移关系式：v2062gh。(4)伽利略对自由落体运动的研究 伽利略通过07逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论。伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理 猜想与假设 实验验证 合理外推。这种方法的核心是把实验和08逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来。2竖直上抛运动(1)运动特点：加速度为 g，上升阶段做09匀减速直线运动，下降阶段做10自由落体运动。(2)基本规
4、律 速度与时间关系式：v11v0gt。位移与时间关系式：h12v0t12gt2。速度与位移关系式：v2v20132gh。上升的最大高度：H14v202g。上升到最高点所用时间：t15v0g。一 思维辨析 1匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动。()2匀加速直线运动的位移是均匀增大的。()3在匀变速直线运动中，中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。()4物体由某高度从静止下落一定做自由落体运动。()5竖直上抛最高点速度为零而加速度不为零。()6竖直上抛的上升阶段速度的变化量的方向是向下的。()答案 1.2.3.4.5.6.二 对点激活 1(人教版必修 1P40T3改编)以 18 m
5、/s 的速度行驶的汽车，制动后做匀减速运动，在 3 s 内前进36 m，则汽车在 5 s 内的位移为()A50 m B45 m C40.5 m D40 m 答案 C 解析 根据 xv0t12at2得 3618312a32，即 a4 m/s2。汽车停止所需时间为 t0v0a 0184 s4.5 s5 s，所以 4.5 s 末汽车停车，5 s 内的位移 x0v202a018224 m40.5 m，故 C 正确。2.(人教版必修 1P45T3改编)有一种“傻瓜”照相机，其光圈(进光孔径)随被摄物体的亮度自动调节，而快门(曝光时间)是固定不变的。为估测某架“傻瓜”照相机的曝光时间，实验者从某砖墙前的高
6、处使一个石子自由落下，拍摄石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上 2.5 m 的高度下落，每块砖的平均厚度为 6 cm，请估算这架照相机的曝光时间为()A0.01 s B0.02 s C0.1 s D0.2 s 答案 B 解析 解法一：(公式法)图中 AB 的实际长度为 AB0.12 m，A 到地面的高度 h18.56 cm0.51 m。B 到地面的高度 h26.56 cm0.39 m，则 hOAHh11.99 m，hOBHh22.11 m。由 hOA12gt21得 t10.63 s，hOB12gt22得 t20.65 s。曝光时间 tt2
7、t10.02 s，故 B 正确。解法二：(估算法)自由落体运动到 A 点的末速度为 v 2ghOA6.3 m/s。因为 0.12 m 远小于 1.99 m，故可以近似地将 AB 段当做匀速直线运动，故 t|AB|v0.019 s，故 B 正确。3(人教版必修 1P43T3改编)某型号的舰载飞机在航空母舰的跑道上加速时，发动机产生的最大加速度为 5 m/s2，所需的起飞速度为 50 m/s，跑道长 100 m。设飞机起飞对航空母舰的运动状态没有影响，飞机在跑道上的运动可以看做匀加速直线运动。(1)通过计算判断，飞机能否靠自身的发动机从舰上起飞？(103.16)(2)为了使飞机在开始滑行时就有一定
8、的初速度，航空母舰装有弹射装置，对于该型号的舰载飞机，弹射系统必须使它具有多大的初速度？(153.87)答案(1)不能(2)38.7 m/s 解析(1)由 v2t2ax 得 vt 2ax10 10 m/s31.6 m/s。因为 vt0 时，物体正在上升；v0 时，物体在抛出点上方；h0 时，物体在抛出点下方。例 2 将一个物体在 t0 时刻以一定的初速度竖直向上抛出，t0.8 s 时物体的速度大小变为 8 m/s(不计空气阻力，g 取 10 m/s2)，则下列说法正确的是()A物体一定是在 t3.2 s 时回到抛出点 Bt0.8 s 时刻物体的运动方向可能向下 C物体的初速度一定是 20 m/
9、s Dt0.8 s 时刻物体一定在初始位置的下方 解题探究(1)0.8 s 内物体速度的改变量是多少？提示：vgt8 m/s。(2)t0.8 s 时物体的速度大小变为 8 m/s，此时速度方向有可能竖直向下吗？提示：不可能。尝试解答 选 A。物体做竖直上抛运动，在 0.8 s 内的速度变化量 vgt8 m/s，因为初速度不为零，可以知道 t0.8 s 时刻速度的方向一定竖直向上，不可能竖直向下，物体处于抛出点的上方，故 B、D 错误。由 vv0gt 得 v016 m/s，则上升到最高点的时间 t1v0g1.6 s，则从抛出到回到抛出点的时间 t2t13.2 s，故 A 正确，C 错误。总结升华
10、 竖直上抛的重要特性(1)对称性：如图所示，物体以初速度 v0竖直上抛，A、B 为途中的任意两点，C 为最高点，则：时间对称性：物体上升过程中从 AC 所用时间 tAC和下降过程中从 CA 所用时间 tCA相等，同理有tABtBA。速度对称性：物体上升过程经过 A 点的速度与下降过程经过 A 点的速度大小相等，方向相反。能量对称性：物体从 AB 和从 BA 重力势能变化量的大小相等，均等于 mghAB。(2)多解性：在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下落阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解，也可能造成路程多解。变式 21 科技馆中的一个展品
11、如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从 A 下落到 B 的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的 A、B、C、D 四个位置不动，对出现的这种现象，下 列描述正确的是(取 g10 m/s2)()A水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足 tABtBCtCD B闪光的间隔时间是210 s C水滴在相邻两点间的平均速度满足 vAB vBC vCD149 D水滴在各点的速度之比满足 vBvCvD135 答案 B 解析 在运动学问题的解题过程中，若多个物体所参与的运动规律完全相同，可将多个物体的运
12、动转换为一个物体的连续运动，解答过程将变得简单明了。由题图可知 AB BC CD 135，水滴做初速度为零的匀加速直线运动，由题意知水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等，A 错误；由 h12gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为210 s，即闪光的间隔时间是210 s，B 正确；由 v xt知水滴在相邻两点间的平均速度满足 vAB vBC vCD135，C 错误；由 vgt 知水滴在各点的速度之比满足 vBvCvD123，D 错误。变式 22(2018湖北部分重点高中协作体联考)如图所示是一种较精确测重力加速度 g 值的方法：将下端装有弹射装置的真空玻璃直管竖直放置，玻璃管足
13、够长，小球竖直向上被弹出，在 O 点与弹簧分离，上升到最高点后返回。在 O 点正上方选取一点 P，利用仪器精确测得 OP 间的距离为 H，从 O 点出发至返回 O 点的时间间隔为 T1，小球两次经过 P 点的时间间隔为 T2，求：(1)重力加速度 g；(2)当 O 点距离管底部的距离为 L0时，玻璃管的最小长度。答案(1)8HT21T22(2)L0T21HT21T22 解析(1)小球从 O 点上升到最大高度过程中 h112gT122 小球从 P 点上升到最大高度过程中 h212gT222 依据题意得 h1h2H，联立解得 g8HT21T22。(2)真空管的最小长度 LL0h1，故 LL0T21
14、HT21T22。考点 3 匀变速直线运动问题的求解方法 例 3 目前交警部门开展的“车让人”活动深入人心，如图所示，司机发现前方有行人正通过人行横道时开始做匀减速直线运动，恰好在停车线处停止运动。汽车经 4 s 停止，若在第 1 s 内的位移是 14 m，则最后 1 s 内的位移是()A3.5 m B2 m C1 m D0 解题探究 该题属于末速度为零的匀减速直线运动，常采用何种方法处理？提示：逆向思维法结合比例法。尝试解答 选 B。利用“逆向思维法”，把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则匀减速直线运动的物体在相等时间内的位移之比为 7531，所以7114 mx1，x12 m，
15、故 B 正确。总结升华“一画，二选，三注意”解决匀变速直线运动问题 变式 3 一个质点正在做匀加速直线运动，用固定的照相机对该质点进行闪光照相，闪光时间间隔为 1 s，分析照片得到的数据，发现质点在第 1 次、第 2 次闪光的时间间隔内移动了 0.2 m；在第 3 次、第 4 次闪光的时间间隔内移动了 0.8 m，由上述条件可知()A质点运动的加速度是 0.6 m/s2 B质点运动的加速度是 0.3 m/s2 C第 1 次闪光时质点的速度是 0.1 m/s D第 2 次闪光时质点的速度是 0.3 m/s 答案 B 解析 由 xaT2和逐差法可得质点运动的加速度是 0.3 m/s2，选项 A 错
16、误，B 正确；第 1 次、第 2次闪光的时间间隔内中间时刻的速度 v0.2 m/s，第 1 次闪光时质点的速度是 v1vaT2(0.20.30.5)m/s0.05 m/s，第 2 次闪光时质点的速度是 v2vaT2(0.20.30.5)m/s0.35 m/s，选项 C、D 错误。(2018黑龙江模拟)(9 分)短跑运动员完成 100 m赛跑的过程可简化为匀加速运动和匀速运动两个阶段。一次比赛中，某运动员用 11.00 s 跑完全程。已知运动员在加速阶段的第 2 s 内通过的距离为 7.5 m，求该运动员的加速度及在加速阶段通过的距离。高考模拟 随堂集训 1(2018河南豫东、豫北十校联考)汽车
17、在水平面上刹车，其位移与时间的关系是 x24t6t2，则它在前 3 s 内的平均速度为()A6 m/s B8 m/s C10 m/s D12 m/s 答案 B 解析 将题目中的表达式与 xv0t12at2比较可知：v024 m/s，a12 m/s2。所以由 vv0at 可 得汽车从刹车到静止的时间为 t02412 s2 s，由此可知第 3 s 时汽车已经停止，位移 xv0t12at2(242622)m24 m，故平均速度 v xt243 m/s8 m/s，B 正确。2.(2018湘中名校联考)如图所示，很小的木块由静止开始从斜面下滑，经时间 t 后进入一水平面，两轨道之间用长度可忽略的圆弧连接
18、，再经 2t 时间停下，关于木块在斜面上与在水平面上位移大小之比和加速度大小之比，下列说法正确的是()A12 21 B12 12 C21 21 D21 12 答案 A 解析 设木块到达斜面底端时的速度为 v，根据 vat 得，加速度之比a1a2vtv2t21；根据平均速度的推论知，x1v2t，x2v22t，所以x1x212。A 正确。3(2018长春模拟)不计空气阻力情形下将一物体以一定的初速度竖直上抛，物体上升和下降的总时间为 2t，若在物体上升的最大高度的一半处设置一水平挡板，仍将该物体以相同的初速度竖直上抛，物体撞击挡板前后的速度大小相等、方向相反。撞击所需时间不计，则这种情况下物体上升
19、和下降的总时间约为()A0.2t B0.3t C0.5t D0.6t 答案 D 解析 将未设置挡板时物体的上升过程分成位移相等的两段，设下面一段位移所用时间为 t1，上面一段位移所用时间为 t2，根据逆向思维可得：t2t11(21)，物体撞击挡板后以原速率弹回(撞击所需时间不计)，物体上升和下降的总时间 t2t1且 t1t2t，由以上各式可得：t(2 2)t0.6t，故 D 正确。4.(2018汉中质检)汉中天坑群是全球较大的天坑群地质遗迹，如图是镇巴三元圈子崖天坑，最大深度为 320 m，在某次勘察中，探险队员利用探险绳从坑沿到坑底仅用时 89 s(可认为下落路径是竖直的)，若队员先以加速度
20、 a 从静止开始做匀加速运动，经过 40 s 时速度为 5 m/s，然后以此速度匀速运动，最后匀减速到达坑底速度恰好为零。(1)求匀加速阶段的加速度 a 的大小及匀加速下降的高度 h；(2)求队员匀速运动的时间。答案(1)0.125 m/s2 100 m(2)39 s 解析(1)根据加速度的定义式 可得 avtvv0t5040 m/s20.125 m/s2 根据 h12at2，可得 h100 m。(2)设队员匀速运动的时间为 t1，匀速下降的高度为 h1，匀减速运动的加速度大小为 a1，由题意有 h1vt1 匀减速过程有 v22a1(h总hh1)又由匀减速过程有 a1vt总tt1 联立解得 t
21、139 s。5(2017全国卷)为提高冰球运动员的加速能力，教练员在冰面上与起跑线相距 s0和 s1(s1t2 Bt1t2 Cx1x2 Dx1x2 答案 BD 解析 因为列车做匀加速直线运动，两个过程中，速度变化量相等，故根据公式 vat 可得，所用时间相同，故 t1t2，A 错误，B 正确；根据公式 xv2v202a可得 x1x2，C 错误，D 正确。8近来交警部门开展的“车让人”活动深入人心，不遵守“车让人”的驾驶员将受到罚款、扣分的严厉处罚。假设一辆以 8 m/s 的速度匀速行驶的汽车即将通过路口，有一老人正在过人行横道，此时汽车的车头距离停车线 8 m。该车减速时的加速度大小为 5 m
22、/s2。则下列说法中正确的是()A如果驾驶员立即刹车制动，则 t2 s 时，汽车离停车线的距离为 1.6 m B如果在距停车线 6 m 处开始刹车制动，汽车能在停车线处停车让人 C如果驾驶员的反应时间为 0.4 s，汽车刚好能在停车线处停车让人 D如果驾驶员的反应时间为 0.2 s，汽车刚好能在停车线处停车让人 答案 AD 解析 若汽车立即做匀减速直线运动，速度减为零的时间 t00v0a85 s1.6 s2 s，所以从刹车到停止的位移大小 x1v202a6410 m6.4 m，汽车离停车线的距离为 8 m6.4 m1.6 m，故 A 正确；如果汽车在距停车线 6 m 处开始刹车制动，刹车位移是
23、 6.4 m，所以汽车不能在停车线处停车让人，故 B 错误；刹车的位移是 6.4 m，所以汽车可做匀速运动的位移是 1.6 m，则驾驶员的反应时间 t1.68 s0.2 s 时，汽车刚好能在停车线处停车让人，故 C 错误，D 正确。9为测得楼房的高度，让一石块从楼顶自由下落(不计空气阻力)，除已知的重力加速度 g 外，测出下列哪个物理量就可以算出楼房的高度()A石块下落到地面的总时间 B石块下落第 1 s 内的位移 C石块落地前 1 s 内的位移 D石块通过最后 1 m 位移的时间 答案 ACD 解析 根据位移与时间的关系式 h12gt2知，知道下落的总时间，可以求出下落的高度，故 A 正确。
24、根据 h12gt2知，知道石块在第 1 s 内的位移，得不出楼房的高度，故 B 错误。设落地的总时间为 t，落地前 1 s 内的位移等于 t s 内的位移减去(t1)s 内的位移，根据 h12gt212g(t1)2，可以求出运动的时间 t，再根据位移与时间的关系式 h12gt2可得出下落的高度，即楼房的高度，故 C 正确。已知石块通过最后 1 m 位移的时间，根据 xv0t12gt2，求出最后 1 m 内的初速度，根据 vv0gt，求出落地的速度大小，再根据 v22gh 求出下落的高度，即楼房的高度，故 D 正确。10在轻绳的两端各拴一个小球，一个人用手拿着绳子上端的小球，站在三层楼的阳台上，
25、释放小球，使小球自由下落，两小球相继落地的时间差为 t，速度差为 v，如果人站在四层楼的阳台上，用同样的方法释放小球，让小球自由下落，则两小球相继落地的时间差 t 和速度差 v 将()At 不变 Bt 变小 Cv 变小 Dv 变大 答案 BC 解析 画出小球自由落体的 vt 图象 因为阴影部分表示绳长，由图象知 v 变小，t 变小。故 B、C 正确。二、非选择题(本题共 2 小题，共 30 分)11.(2018甘肃天水质检)(15 分)如图所示木杆长 5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方 20 m 处圆筒 AB，圆筒 AB 长为 5 m，取 g
26、10 m/s2，求：(1)木杆经过圆筒的上端 A 所用的时间 t1是多少？(2)木杆通过圆筒 AB 所用的时间 t2是多少？答案(1)(2 3)s(2)(5 3)s 解析(1)木杆由静止开始做自由落体运动，木杆的下端到达圆筒上端 A 用时 t下 A 2h下Ag 21510 s 3 s 木杆的上端到达圆筒上端 A 用时 t上 A 2h上Ag 22010 s2 s 则木杆通过圆筒上端 A 所用的时间 t1t上 At下 A(2 3)s。(2)木杆的上端到达圆筒下端 B 用时 t上 B 2h上Bg 22510 s 5 s 则木杆通过圆筒所用的时间 t2t上 Bt下 A(5 3)s。12(15 分)如图
27、 1 所示，在成都天府大道某处安装了一台 500 万像素的固定雷达测速仪，可以准确抓拍超速车辆 以及测量运动车辆的加速度。一辆汽车正从 A 点迎面驶向测速仪 B，若测速仪与汽车相距 355 m，此时测速仪发出超声波，同时车由于紧急情况而急刹车，汽车运动到 C 处与超声波相遇，当测速仪接收到发射回来的超声波信号时，汽车恰好停止于 D 点，且此时汽车与测速仪相距 335 m，忽略测速仪安装高度的影响，可简化为图 2 所示分析(已知超声波速度为 340 m/s)。(1)求汽车刹车过程中的加速度 a；(2)此路段有 80 km/h 的限速标志，分析该汽车刹车前的行驶速度是否超速？答案(1)10 m/s2(2)不超速 解析(1)设超声波从 B 运动到 C 的时间为 t0，那么在超声波从 C 返回 B 的 t0时间内，汽车由 C 减速运动到 D 且速度为零，应用逆向思维 x212at20，x1x212a(2t0)2 x1x2x0 x20 m 而超声波在 t0时间内的传播距离为 BCxx2 又 BCv声t0 解得 t01 s，a10 m/s2。(2)由 x1x2v202a，解得 v020 m/s72 km/h 所以汽车未超速。