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1、 第 2 节 古典概型 课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法 题号 古典概型的判断与基本事件 1、3 古典概型的概率计算 2、5、6、7、8、9、10、12 综合应用 4、11、13、14、15、16 A 组 一、选择题 1.下列事件属于古典概型的基本事件的是(D)(A)任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件(B)篮球运动员投篮,观察其是否投中(C)测量某天 12 时的教室内温度(D)一先一后掷两枚硬币,观察正反面出现的情况 解析:A 项任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件,但各点数之和不是等可能的,例如和为2 的概率为,和为3 的概率为=,所以它不是等可能的,不是古典
2、概型.B 项显然事件“投中”和事件“未投中”发生的可能性不一定相等,所以它也不是古典概型.C 项其基本事件空间包含无限个结果,所以不是古典概型.D 项含有 4 个基本事件,每个基本事件出现的可能性相等,符合古典概型,故选 D.2.甲乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为 b,且 a,b1,2,3,若|a-b|1,则称甲乙“心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:甲想一数字有 3 种结果,乙猜一种数字有 3 种结果,基本事件总数 3 3=9.设甲乙“心有灵犀”为事件 A,则 A 的对立
3、事件 B 为“|a-b|1”,即|a-b|=2,包含 2 个基本事件,P(B)=,P(A)=1-=,故选 D.3.中国作家莫言被授予诺贝尔文学奖,成为有史以来首位获得诺贝尔文学奖的中国籍作家.某学校组织了4 个学习小组.现从中抽出2 个小组进行学习成果汇报,在这个试验中,基本事件的个数为(C)(A)2(B)4(C)6(D)8 解析:设 4 个学习小组为 A,B,C,D,从中抽出 2 个的可能情况有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共 6 种.故选 C.4.从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(D)(A)(B
4、)(C)(D)解析:如图所示,从正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选 4 个顶点,可以看作随机选 2 个顶点,剩下的 4 个 顶点构成四边形,有 A、B,A、C,A、D,A、E,A、F,B、C,B、D,B、E,B、F,C、D,C、E,C、F,D、E,D、F,E、F,共 15 种.若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有 A、D,B、E,C、F,共 3 种,故其概率为=,故选 D.5.(2013年高考新课标全国卷)从 1,2,3,4中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是(B)(A)(B)(C)(D)解析:从 1,2,3,4中任取 2 个不同的数有六种情况:(
5、1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的有(1,3),(2,4),故所求概率是=.故选 B.二、填空题 6.(2013肇庆教学质量评估)从 1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 .解析:利用古典概型的概率公式求解,因为从 1,2,3,4中随机取两个数,有 6 种取法,其中一个数是另一个数的两倍的情况有 1,2和 2,4两种,故所求概率是=.答案:7.(2013年高考新课标全国卷)从 1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是 .解析:从 1,2,3,4,5中任意取两个不同的数共有(1,2),
6、(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10种.其中和为 5 的有(1,4),(2,3)2种.由古典概型概率公式知所求概率为=.答案:8.(2013年高考重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 .解析:甲、乙、丙三人随机地站成一排有 6 种方法:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,其中甲、乙相邻的有 4 种.故所求概率 P=.答案:9.(2013南京模拟)在集合 A=2,3中随机取一个元素 m,在集合B=1,2,3中随机取一个元素 n,得到点 P(m,n),则点 P 在圆 x2+y2=9
7、内部的概率为 .解析:点 P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6种情况,只有(2,1),(2,2)这 2 个点在圆 x2+y2=9 的内部,所求概率为=.答案:10.(2012年高考浙江卷)从边长为1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为 的概率是 .解析:如图所示,在正方形 ABCD中,O 为中心,从五个点中随机取两个,共有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),10种等可能情况.正方形的边长为 1,两点距离为 的情况有(O,A
8、),(O,B),(O,C),(O,D)4种,故 P=.答案:三、解答题 11.(2013佛山质检)市民李先生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其他道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程和回程是否堵车互不影响.假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地上学,再返回经甲地赶去乙地上班.(1)写出李先生可能走的所有路线(比如 DDA表示走 D 路从甲到丙,再走 D 路回到甲,然后走 A 路到达乙);(2)假设从甲到乙方向的道路 B 和从丙到甲方向的道路 D 道路拥堵,其他方向均通畅,但李先生不知道相关信息,那么从出发
9、到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少?解:(1)李先生可能走的所有路线分别是 DDA,DDB,DDC,DEA,DEB,DEC,EEA,EEB,EEC,EDA,EDB,EDC,共 12 种 情况.(2)从出发到回到上班地没有遇到拥堵的走法有 DEA,DEC,EEA,EEC共4 种情况.所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率 P=.12.(2013清远市调研)清远是个旅游城市,然而,清远的旅游景点多位于山区的自然村,若网络不给力的话,怎么把美景发上微博呢?为此,清远移动以“网络到镇、信息到村”为目标,施行网络建设和业务拓展同步走的策略,积极建设基站,目前全市已建有 2280个基站,其中包括
10、570个国家自主知识产权的 3G 基站.(1)若清远移动公司按分层抽样的方法从基站中抽取一个容量为 8 的样本,则应抽取多少个国家自主知识产权的 3G 基站;(2)将(1)中的样本看成一个总体,从中任取2 个基站,求至少有1 个国家自主知识产权的 3G 基站被抽取的概率.解:(1)设应抽取 x 个国家自主知识产权的 3G 基站,则=,即 x=2.(2)样本中,设 2 个国家自主知识产权的 3G 基站为 X1和 X2,其他 6 个基站为 Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,则从中取 2 个基站包括的基本事件有X1,X2,X1,Y1,X1,Y2,X1,Y3,X1,Y4,X1,Y5,X1,Y6,X2
11、,Y1,X2,Y2,X2,Y3,X2,Y4,X2,Y5,X2,Y6,Y1,Y2Y1,Y3,Y1,Y4,Y1,Y5,Y1,Y6,Y2,Y3,Y2,Y4,Y2,Y5,Y2,Y6,Y3,Y4Y3,Y5,Y3,Y6,Y4,Y5,Y4,Y6,Y5,Y6,共 28 个.设“从样本中任取 2 个基站,至少有 1 个国家自主知识产权的 3G 基站被抽取”为事件 A,则它包括的基本事件有 X1,X2,X1,Y1,X1,Y2,X1,Y3,X1,Y4,X1,Y5,X1,Y6,X2,Y1,X2,Y2,X2,Y3,X2,Y4,X2,Y5,X2,Y6,共 13 个.则 P(A)=,即所求的概率是.13.(2013年高考天
12、津卷)某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S 4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品,用产品编号列出所有可能的结果;设事件 B 为“在
13、取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于4”,求事件 B 发生的概率.解:(1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表:产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中 S 4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为 0.6.(2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果为A1,A2,A1,A4,A1,A5,A1,A7,A1,A9,A2,A4,A2,A5,A2,A7,A2,A9,A4,A5,A4,A7,A4,A9,A5,
14、A7,A5,A9,A7,A9,共 15 种.在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有可能结果为A1,A2,A1,A5,A1,A7,A2,A5,A2,A7,A5,A7,共 6 种.所以 P(B)=.B 组 14.(2013银川模拟)抛掷两枚均匀的骰子,得到的点数分别为 a,b,那么直线+=1 的斜率 k-的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:记 a,b的取值为数对(a,b),由题意知 a,b的所有可能取值有(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2),(2,6),(3,1),(3,2),(3,6),(4,1)
15、,(4,2),(4,6),(5,1),(5,2),(5,6),(6,1),(6,2),(6,6),共 36 种.由直线+=1 的斜率 k=-,知 ,那么满足题意的 a,b可能的取值为(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共有 9 种,所以所求概率为=.故选 D.15.(2013临沂模拟)已知 A=1,2,3,B=xR|x2-ax+b=0,aA,bA,则 A B=B的概率是(C)(A)(B)(C)(D)1 解析:A B=B,B 可能为,1,2,3,1,2,2,3,1,3.当B=时,a2-4b0且 1,所以其中符合上述条件的有(1,-2),(1,-1),(2,-2),(2,-1),(2,1),(3,-2),(3,-1),(3,1),(4,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),(5,-2),(5,-1),(5,1),(5,2)共 16 种,P=.答案: