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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6 页，时间120 分钟，满分150 分.一.选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.已知211iiz（i为虚数单位），则复数z=（）A.1i B.1i C.1i D.1i 【答案】D.2.设 A,B 是两个集合，则”ABA”是“AB”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，ABAAB，反之，ABABA，故为充要条件，选C.考点：集合的关系.3
2、.执行如图1 所示的程序框图，如果输入3n，则输出的S()A.67 B.37 C.89 D.49 【答案】B.考点：1 程序框图；2.裂项相消法求数列的和.4.若变量,x y满足约束条件1211xyxyy，则3zxy的最小值为（）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】试题分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当2x，1y时，yxz 3的最小值是7，故选A.考点：线性规划.5.设函数()ln(1)ln(1)f xxx，则()f x是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.
3、偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A.考点：函数的性质.6.已知5axx的展开式中含32x的项的系数为30，则a（）A.3 B.3 C.6 D-6【答案】D.【解析】试题分析：rrrrrxaCT2551)1(，令1r，可得6305aa，故选D.考点：二项式定理.7.在如图2 所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 【答案】C.【解析】试题分析：根据正态分布的性质，34.0)11(21)10(xPxP，故选C.考点：正态分布.8.已知点A,B,C 在圆2
4、21xy上运动，且ABBC.若点P 的坐标为（2,0），则PAPBPC的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B.考点：1.圆的性质；2.平面向量数量积.9.将函数()sin 2f xx的图像向右平移(0)2个单位后得到函数()g x的图像，若对满足12()()2f xg x的12,x x，有12min3xx，则（）A.512 B.3 C.4 D.6【答案】D.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到)22sin()(xxg，又2|)()(|21xgxf，不妨 kx2221，mx22222，)(221mkxx，又12min3xx，632，故选D.考点：三角函数的图象和性质.10.某
5、工件的三视图如图3 所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（）A.89 B.169 C.34(21)D.312(21)【答案】A.【解析】考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.11.20(1)xdx .【答案】0.【解析】试题分析：0)21()1(22200 xxdxx.考点：定积分的计算.12.在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4 所示.若将运动员按成绩由好到差编为1
6、35号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是 .【答案】4.【解析】试题分析：由茎叶图可知，在区间151,139的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720人.考点：1.系统抽样；2.茎叶图.13.设 F 是双曲线C：22221xyab的一个焦点，若C 上存在点P，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一 个端点，则C 的离心率为 .【答案】5.【解析】试题分析：根据对称性，不妨设)0,(cF，短轴端点为),0(b，从而可知点)2,(bc在双曲线上，5142222acebbac.考点：双曲线的标准方程及其性质.14.设nS为等比数列 na的前n项和，
7、若11a，且1233,2,SSS成等差数列，则na .【答案】13n.【解析】试题分析：13S，22S，3S成等差数列，333)(2223321121qaaaaaaaa，又等比数列na，1113nnnqaa.考点：等差数列与等比数列的性质.15.已知32,(),x xaf xxxa，若存在实数b，使函数()()g xf xb有两个零点，则a的取值范围 是 .【答案】),1()0,(.考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.三、解答题 16.()如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB、CD 的中点分别是M、N，直线MO 与直线CD 相交于点F，证明：（1）0180MENNOM；（2）FE
8、FNFMFO 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）首先根据垂径定理可得OME=90o，ENO=90o，再由四边形的内角和即可得证；（2）由（1）中的结论可得O,M,E,N 四点共圆，再由割线定理即得FE FNFM FO 试题解析：（1）如图a 所示，因为M，N 分别是弦AB,CD 的中点，所以OMAB,ONCD,即OME=90o，ENO=90o，OME+ENO=180o，又 四 边 形 的 内 角 和 等 于360o，故MEN+NOM=180o；（2）由（I）知，O,M,E,N 四点共圆，故由割线定理即得FE FNFM FO 考点：1.垂径定理；2.四点共圆；3.割
9、线定理.（）已知直线352:132xtlyt（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为(5,3)，直线l与曲线C 的交点为A，B，求|MAMB的值.【答案】（1）0222xyx；（2）18.考点：1.极坐标与直角坐标的互相转化；2.直线与圆的位置关系.（）设0,0ab，且11abab.（1）2ab；（2）22aa与22bb不可能同时成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）将已知条件中的式子可等价变形为1ab，再由基本不等式即可得证；（
10、2）利用反证法，假设假设22aa与22bb同时成立，可求得10 a，10 b，从而与1ab矛盾，即可得证 试 题 解析：由abbababa11，0a，0b，得1ab，（1）由基本不等式及1ab，有22abba，即2ba；（2）假设22aa与22bb同时成立，则由22aa及0a得10 a，同理10 b，从而1ab，这与1ab矛盾，故22aa与22bb不可能成立.考点：1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.17.设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanabA，且 B 为钝角(1)证明：2BA（2）求sinsinAC的取值范围【答案】（1）详见解析；（2）（22，98.
11、【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为 inB=sin（2+A），从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将CAsinsin转化为只与A有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.试题解析：（1）由 a=btanA 及正弦定理，得sinsincoscosAbBAaB,所以 sinB=cosA，即 sinB=sin（2+A）.又 B 为钝角，因此2+A（2，A），故 B=2+A，即 B-A=2；（2）由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+2)=2-2A0，所以 A0,4，于是 sinA+sinC=sinA+sin（2-2A）=sinA+cos2A=-22s
12、inA+sinA+1=-2（sinA-14）2+98，因为 0A4,所以 0sinA22,因此22-22199sin488A 由此可知 sinA+sinC 的取值范围是（22，98.考点：1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次
13、抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望.【答案】（1）107；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）记事件1A=从甲箱中摸出的 1 个球是红球，2A=从乙箱中摸出的 1 个球是红球 1B=顾客抽奖 1 次获一等奖2B=顾客抽奖 1 次获二等奖，C=顾客抽奖 1 次能获奖，则可知1A与 2A相互独立，12A A与12A A互斥，1B与2B互斥，且1B=12A A，2B=12A A+12A A，C=1B+2B，再利用概 率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知 XB（3，15），分别求得 P(X=0)=003314()()55C=64125，P(X=1)=112314()()55
14、C=48125，P(X=2)=221314()()55C=12125，即可知X的概率分布及其期望.试题解析：（1）记事件1A=从甲箱中摸出的 1 个球是红球，2A=从乙箱中摸出的 1 个球是红球 1B=顾客抽奖 1 次获一等奖2B=顾客抽奖 1 次获二等奖，C=顾客抽奖 1 次能获奖.由题意，1A与2A相互独立，12A A与12A A互斥，1B与2B互斥，且1B=12A A，2B=12A A+12A A，C=1B+2B.因 P（1A）=410=25，P(2A)=510=12，所以 P（1B）=P(12A A)=P(1A)P(2A)=2512=15，P（2B）=P（12A A+12A A）=P（
15、12A A）+P（12A A）=P（1A）(1-P(2A)+(1-P（1A）)P(2A)=25(1-12)+(1-25)12=12，故所求概率为 P(C)=P(1B+2B)=P（1B）+P（2B）=15+12=710.；（2）顾客抽奖 3 次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为15，所以 XB（3，15）.于是 P(X=0)=003314()()55C=64125，P(X=1)=112314()()55C=48125，P(X=2)=221314()()55C=12125，P(X=3)=330314()()55C=1125 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 641
16、25 48125 12125 1125 X 的数学期望为 E（X）=315=35.考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.19.如图，已知四棱台1111ABCDABC D上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，16AA，且 1AA 底面 ABCD，点 P、Q 分别在棱1DD、BC 上.（1）若 P 是1DD的中点，证明：1ABPQ；（2）若 PQ/平面11ABB A，二面角 P-QD-A 的余弦值为37，求四面体 ADPQ 的体积.【答案】（1）详见解析；（2）24.【解析】（1）若 P 是1DD的中点，则 P（0,92，3），1AB=(3,0,6)，于是1AB P
17、Q=18-18=0，所以1ABPQ，即1ABPQ；（2）由题设知，DQ=(6，m-6,0),1DD=(0,-3,6)是平面 PQD 内的两个不共线向量.设1n=（x，y，z）是平面 PQD 的一个法向量，则11100nDQnDD，即6(6)0360 xmyyz，取 y=6，得1n=（6-m，6,3）.又平面 AQD 的一个法向量是2n=（0，0，1），所以 cos=1212|n nnn=222233(6)63(6)45mm而二面角 P-QD-A 的余弦值为37，因由题设知，BCAB,BC1A A,所以 BC平面11ABB A,因此 BC1AB1 因为 tanABR=ARAB=36=11ABA
18、A=tan11A AB,所以 tanABR=tan11A AB，因此 1ABRBAB=111A ABBAB=90o，于是1ABBR，再由1即知1AB平面 PRBC，又 PQ平面PRBC，故1ABPQ.（2）如图 d，过点 P 作 PM/1A A交 AD 于点 M，则 PM/平面11ABB A.因为1A A平面 ABCD，所以OM平面ABCD,过点M作MNQD于点N，连结PN，则PNQD，PNM为二面角 P-QD-A 的平面角，所以 cosPNM=37，即MNPN=37,从而403PMMN.3 连结 MQ，由 PQ/平面11ABB A，所以 MQ/AB，又 ABCD 是正方形，所以 ABQM 为
19、矩形，故 MQ=AB=6.设 MD=t，则 MN=22MQ MDMQMD=2636tt.4过点1D作11/D EA A交 AD 于点 E，则11AA D E为矩形，所以1D E=1A A=6，AE=11AD=3，因此 ED=AD-AE=3，于是1623D EPMMDED,所以 PM=2MD=2t，再由34得2363t=403，解得 t=2，因此 PM=4.故四面体 ADPQ 的体积 1116 6 424332ADQVSh .考点：1.空间向量的运用；2.线面垂直的性质；3.空间几何体体积计算.20.已知抛物线21:4Cxy的焦点 F 也是椭圆22222:1(0)yxCabab的一个焦点，1C与
20、2C的公共弦的长为2 6.（1）求2C的方程；（2）过点 F 的直线l与1C相交于 A、B 两点，与2C相交于 C、D 两点，且AC与BD同向（）若|ACBD，求直线l的斜率（）设1C在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线l绕点 F 旋转时，MFD总是钝角三角形【答案】（1）22198yx；（2）（i）64，（ii）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据已知条件可求得2C的焦点坐标为)1,0(，再利用公共弦长为62即可求解；（2）（i）设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 y=kx+1.由214ykxxy得2x+16kx-64=0，根据条件可知AC=BD，从而可以建立关于k
21、的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明FA FM=122x-11y=124x+10，因此AFM是锐角，从而180oMFDAFM是钝角，即可得证 试题解析：（1）由1C:24xy知其焦点 F 的坐标为（0,1），因为 F 也是椭圆2C的一焦点，所以 221ab1又1C与2C的公共弦的长为 26，1C与2C都关于 y 轴对称，且1C的方程为24xy，由此易知1C与2C的公共点的坐标为（36,2），所以229614ab 2，联立1，2得2a=9，2b=8，故2C的方程为22198xy 3；（2）如图f，设 A（11,x y）B（22,xy）C（33,xy）D（44,xy）.（i）因AC与BD同向，
22、且|AC|=|BD|,所以AC=BD，从而31xx=42xx，即 12xx=34xx，于是212xx-412x x=234xx-434x x3 设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 y=kx+1.由214ykxxy得2x+16kx-64=0.而1x，2x是这个方程的两根.所以12xx=4k，12x x=-44，由221189ykxxy得（9+82k）2x+16kx-64=0.而3x，4x是这个方程的两根.所以 34xx=-21698kk，34x x=-26498k5，将45带入3，得 16（2k+1）=221698kk+24 6498k,即 16（2k+1）=2222169(1)98kk
23、，所以2298k=169，解得 k=64，即直线 l 的斜率为64.（ii）由24xy得y=2x，所以1C在点 A 处的切线方程为 y-1y=12x（x-1x），即 y=1x x-124x.令 y=0 得 x=12x，即 M（12x,0）,所以FM=(12x,-1).而FA=(11,1x y).于是 FA FM=122x-11y=124x+10，因此AFM是锐角，从而180oMFDAFM是钝角.故直线 l 绕点 F 旋转时，MFD 总是钝角三角形.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.21.已知0a，函数()sin(0,)axf xex x.记nx为()f x的从小到大的第
24、n*()nN个极值点,证明：（1）数列()nf x是等比数列（2）若211ae，则对一切*nN，|()|nnxf x恒成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.设 g（t）=tet（t）0），则2(1)tg te tt（）=.令g t（）=0 得 t=1，当 0t1 时，g t（）1 时，g t（）0，所以 g（t）在区间（0,1）上单调递增.从而当 t=1 时，函数 g（t）取得最小值 g（1）=e 因此，要是（）式恒成立，只需2()11gaea，即只需211ae.而当 a=211e 时，tan=1a=21e 3且02.于是 2213e，且当 n2时，22132en.因此对一切*nN,211nnaxe，所以 g（nax）21(1)agea.故（）式亦恒成立.综上所述，若 a211e，则对一切*nN，()|nnxxf恒成立.考点：1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.