《2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标).pdf(27页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 2012 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1(5 分)已知集合 A=1,2,3,4,5,B=(x,y)|xA,yA,xyA,则 B 中所含元素的个数为()A3 B6 C8 D10 2(5 分)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有()A12 种 B10 种 C9 种 D8 种 3(5 分)下面是关于复数 z=的四个命题:其中的真命题为(),p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:
2、z 的共轭复数为 1+i,p4:z 的虚部为1 Ap2,p3 Bp1,p2 Cp2,p4 Dp3,p4 4(5 分)设 F1、F2是椭圆 E:+=1(ab0)的左、右焦点,P 为直线 x=上一点,F2PF1是底角为 30的等腰三角形,则 E 的离心率为()A B C D 5(5 分)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=8,则 a1+a10=()A7 B5 C5 D7 6(5 分)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N2)和实数 a1,a2,an,输出 A,B,则()AA+B 为 a1,a2,an的和 B为 a1,a2,an的算术平均数 CA 和 B 分别是 a1,a2,an中最大
3、的数和最小的数 DA 和 B 分别是 a1,a2,an中最小的数和最大的数 7(5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A6 B9 C12 D18 8(5 分)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x的准线交于点 A 和点 B,|AB|=4,则 C 的实轴长为()A B C4 D8 9(5 分)已知 0,函数 f(x)=sin(x+)在区间,上单调递减,则实数 的取值范围是()A B C D(0,2 10(5 分)已知函数 f(x)=,则 y=f(x)的图象大致为()A B C D 11(5 分)已知三棱
4、锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此三棱锥的体积为()A B C D 12(5 分)设点 P 在曲线上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|最小值为()A1ln2 B C1+ln2 D 二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13(5 分)已知向量夹角为 45,且,则=14(5 分)设 x,y 满足约束条件:;则 z=x2y 的取值范围为 15(5 分)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小
5、时)均服从正态分布 N(1000,502),且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 16(5 分)数列an满足 an+1+(1)nan=2n1,则an的前 60 项和为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(12 分)已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c=asinCccosA(1)求 A;(2)若 a=2,ABC 的面积为,求 b,c 18(12 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花
6、,求当天的利润 y(单位:元)关于当天 需求量 n(单位:枝,nN)的函数解析式(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得如表:日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率(i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X的分布列,数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是17 枝?请说明理由 19(12 分)如图,直三棱柱 ABCA1B1C1中,AC=BC=AA1,D 是棱
7、AA1的中点,DC1BD(1)证明:DC1BC;(2)求二面角 A1BDC1的大小 20(12 分)设抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点为 F,准线为 l,AC,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点;(1)若BFD=90,ABD 的面积为,求 p 的值及圆 F 的方程;(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值 21(12 分)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(1)ex1f(0)x+x2;(1)求 f(x)的解析式及单调区间;(2)若,求(a+1)b 的最大值 四、
8、请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22(10 分)如图,D,E 分别为ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交ABC的外接圆于 F,G 两点,若 CFAB,证明:(1)CD=BC;(2)BCDGBD 23选修 44;坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2的坐标系方程是=2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2,)(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标;(2)设 P 为 C1上任意一点,求|
9、PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围 24已知函数 f(x)=|x+a|+|x2|(1)当 a=3 时,求不等式 f(x)3 的解集;(2)若 f(x)|x4|的解集包含1,2,求 a 的取值范围 2012 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1(5 分)(2012新课标)已知集合 A=1,2,3,4,5,B=(x,y)|xA,yA,xyA,则 B 中所含元素的个数为()A3 B6 C8 D10【分析】由题意,根据集合 B 中的元素属性对 x,y 进行
10、赋值得出 B 中所有元素,即可得出 B 中所含有的元素个数,得出正确选项【解答】解:由题意,x=5 时,y=1,2,3,4,x=4 时,y=1,2,3,x=3 时,y=1,2,x=2 时,y=1 综上知,B 中的元素个数为 10 个 故选 D 2(5 分)(2012新课标)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有()A12 种 B10 种 C9 种 D8 种【分析】将任务分三步完成,在每步中利用排列和组合的方法计数,最后利用分步计数原理,将各步结果相乘即可得结果【解答】解:第一步,为甲地选一名
11、老师,有=2 种选法;第二步,为甲地选两个学生,有=6 种选法;第三步,为乙地选 1 名教师和 2 名学生,有 1 种选法 故不同的安排方案共有 261=12 种 故选 A 3(5 分)(2012新课标)下面是关于复数 z=的四个命题:其中的真命题为(),p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z 的共轭复数为 1+i,p4:z 的虚部为1 Ap2,p3 Bp1,p2 Cp2,p4 Dp3,p4【分析】由 z=1i,知,p3:z 的共轭复数为1+i,p4:z 的虚部为1,由此能求出结果【解答】解:z=1i,p3:z 的共轭复数为1+i,p4:z 的虚部为1,故选 C 4(5 分)(2012新
12、课标)设 F1、F2是椭圆 E:+=1(ab0)的左、右焦点,P 为直线 x=上一点,F2PF1是底角为 30的等腰三角形,则 E 的离心率为()A B C D 【分析】利用F2PF1是底角为 30的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据 P为直线 x=上一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率【解答】解:F2PF1是底角为 30的等腰三角形,|PF2|=|F2F1|P 为直线 x=上一点 故选 C 5(5 分)(2012新课标)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=8,则 a1+a10=()A7 B5 C5 D7【分析】由 a4+a7=2,及 a5a6=a4a7=8 可求 a4
13、,a7,进而可求公比 q,代入等比数列的通项可求 a1,a10,即可【解答】解:a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=8 a4=4,a7=2 或 a4=2,a7=4 当 a4=4,a7=2 时,a1=8,a10=1,a1+a10=7 当 a4=2,a7=4 时,q3=2,则 a10=8,a1=1 a1+a10=7 综上可得,a1+a10=7 故选 D 6(5 分)(2012新课标)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N2)和实数 a1,a2,an,输出 A,B,则()AA+B 为 a1,a2,an的和 B为 a1,a2,an的算术平均数 CA 和 B 分别是 a1,a2
14、,an中最大的数和最小的数 DA 和 B 分别是 a1,a2,an中最小的数和最大的数 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是求出 a1,a2,an中最大的数和最小的数【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知,该程序的作用是:求出 a1,a2,an中最大的数和最小的数 其中 A 为 a1,a2,an中最大的数,B 为 a1,a2,an中最小的数 故选:C 7(5 分)(2012新课标)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A6 B9 C12 D18【分析】通过三视图判
15、断几何体的特征,利用三视图的数据求出几何体的体积即可【解答】解:该几何体是三棱锥,底面是俯视图,三棱锥的高为3;底面三角形斜边长为 6,高为 3 的等腰直角三角形,此几何体的体积为 V=633=9 故选 B 8(5 分)(2012新课标)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C与抛物线 y2=16x 的准线交于点 A 和点 B,|AB|=4,则 C 的实轴长为()A B C4 D8 【分析】设等轴双曲线 C:x2y2=a2(a0),y2=16x 的准线 l:x=4,由 C与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,能求出 C 的实轴长【解答】解:设等轴双曲线 C:x2y2=a2
16、(a0),y2=16x 的准线 l:x=4,C 与抛物线 y2=16x 的准线 l:x=4 交于 A,B 两点,A(4,2),B(4,2),将 A 点坐标代入双曲线方程得=4,a=2,2a=4 故选 C 9(5 分)(2012新课标)已知 0,函数 f(x)=sin(x+)在区间,上单调递减,则实数 的取值范围是()A B C D(0,2【分析】法一:通过特殊值=2、=1,验证三角函数的角的范围,排除选项,得到结果 法二:可以通过角的范围,直接推导 的范围即可【解答】解:法一:令:不合题意 排除(D)合题意 排除(B)(C)法二:,得:故选 A 10(5 分)(2012新课标)已知函数 f(x
17、)=,则 y=f(x)的图象大致为()A B C D【分析】考虑函数 f(x)的分母的函数值恒小于零,即可排除 A,C,由 f(x)的定义域能排除 D,这一性质可利用导数加以证明【解答】解:设 则 g(x)=g(x)在(1,0)上为增函数,在(0,+)上为减函数 g(x)g(0)=0 f(x)=0 得:x0 或1x0 均有 f(x)0 排除 A,C,又 f(x)=中,能排除 D 故选 B 11(5 分)(2012新课标)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此三棱锥的体积为()A B C D【分析】根据题
18、意作出图形,利用截面圆的性质即可求出 OO1,进而求出底面 ABC 上的高 SD,即可计算出三棱锥的体积 【解答】解:根据题意作出图形:设球心为 O,过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1,则 OO1平面 ABC,延长 CO1交球于点 D,则 SD平面 ABC CO1=,OO1=,高 SD=2OO1=,ABC 是边长为 1 的正三角形,SABC=,V三棱锥SABC=故选:C 12(5 分)(2012新课标)设点 P 在曲线上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|最小值为()A1ln2 B C1+ln2 D【分析】由于函数与函数 y=ln(2x)互为反函数,图象关于 y=x 对称,要求|
19、PQ|的最小值,只要求出函数上的点到直线 y=x 的距离为的最小值,设 g(x)=,利用导数可求函数 g(x)的单调性,进而可求 g(x)的最小值,即可求【解答】解:函数与函数 y=ln(2x)互为反函数,图象关于 y=x 对称,函数上的点到直线 y=x 的距离为,设 g(x)=(x0),则,由0 可得 xln2,由0 可得 0 xln2,函数 g(x)在(0,ln2)单调递减,在ln2,+)单调递增,当 x=ln2 时,函数 g(x)min=1ln2,由图象关于 y=x 对称得:|PQ|最小值为 故选 B 二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13(5分)(2012 新 课 标)已
20、知 向 量夹 角 为45,且,则=3 【分 析】由 已 知 可 得,=,代 入|2|=可求【解答】解:,=1=|2|=解得 故答案为:3 14(5 分)(2012新课标)设 x,y 满足约束条件:;则 z=x2y 的取值范围为 【分析】先作出不等式组表示的平面区域,由 z=x2y 可得,y=,则表示直线 x2yz=0 在 y 轴上的截距,截距越大,z 越小,结合函数的图形可求 z 的最大与最小值,从而可求 z 的范围【解答】解:作出不等式组表示的平面区域 由 z=x2y 可得,y=,则表示直线 x2yz=0 在 y 轴上的截距,截距越大,z 越小 结合函数的图形可知,当直线 x2yz=0 平移
21、到 B 时,截距最大,z 最小;当直线 x2yz=0 平移到 A 时,截距最小,z 最大 由可得 B(1,2),由可得 A(3,0)Zmax=3,Zmin=3 则 z=x2y3,3 故答案为:3,3 15(5 分)(2012新课标)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1000,502),且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 【分析】先根据正态分布的意义,知三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为,而所求事件“该部件的
22、使用寿命超过 1000 小时”当且仅当“超过1000 小时时,元件 1、元件 2 至少有一个正常”和“超过 1000 小时时,元件 3 正常”同时发生,由于其为独立事件,故分别求其概率再相乘即可【解答】解:三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N(1000,502)得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 设 A=超过 1000 小时时,元件 1、元件 2 至少有一个正常,B=超过 1000小时时,元件 3 正常 C=该部件的使用寿命超过 1000 小时 则 P(A)=,P(B)=P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=故答案为 16(5 分)(2012新课标)数列an满足 an
23、+1+(1)nan=2n1,则an的前 60 项和为 1830 【分析】由题意可得 a2a1=1,a3+a2=3,a4a3=5,a5+a4=7,a6a5=9,a7+a6=11,a50a49=97,变形可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a15=2,a16+a14=56,利用数列的结构特征,求出an的前 60 项和【解答】解:an+1+(1)n an=2n1,有 a2a1=1,a3+a2=3,a4a3=5,a5+a4=7,a6a5=9,a7+a6=11,a50a49=97 从而可得 a3+a1=2,a4+a2=8,
24、a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a11=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,从第一项开始,依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2,从第二项开始,依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项,以 16 为公差的等差数列 an的前 60 项和为 152+(158+)=1830,故答案为:1830 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(12 分)(2012新课标)已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C的对边,c=asinCccosA(1)求 A;(2)若 a=2,ABC 的面积为,求 b,c【分析】(1)由正弦定理有:sin
25、AsinCsinCcosAsinC=0,可以求出 A;(2)有三角形面积以及余弦定理,可以求出 b、c【解答】解:(1)c=asinCccosA,由正弦定理有:sinAsinCsinCcosAsinC=0,即 sinC(sinAcosA1)=0,又,sinC0,所以sinAcosA1=0,即 2sin(A)=1,所以 A=;(2)SABC=bcsinA=,所以 bc=4,a=2,由余弦定理得:a2=b2+c22bccosA,即 4=b2+c2bc,即有,解得 b=c=2 18(12 分)(2012新课标)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果
26、当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,nN)的函数解析式(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得如表:日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率(i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X的分布列,数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由【分析】(1)根
27、据卖出一枝可得利润 5 元,卖不出一枝可得赔本 5 元,即可建立分段函数;(2)(i)X 可取 60,70,80,计算相应的概率,即可得到 X 的分布列,数学期望及方差;(ii)求出进 17 枝时当天的利润,与购进 16 枝玫瑰花时当天的利润比较,即可得到结论【解答】解:(1)当 n16 时,y=16(105)=80;当 n15 时,y=5n5(16n)=10n80,得:(2)(i)X 可取 60,70,80,当日需求量 n=14 时,X=60,n=15 时,X=70,其他情况 X=80,P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=10.10.2=0.7,X 的分布列为 X
28、 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 EX=600.1+700.2+800.7=76 DX=1620.1+620.2+420.7=44(ii)购进 17 枝时,当天的利润的期望为 y=(14535)0.1+(15525)0.2+(16515)0.16+1750.54=76.4 76.476,应购进 17 枝 19(12 分)(2012新课标)如图,直三棱柱 ABCA1B1C1中,AC=BC=AA1,D 是棱 AA1的中点,DC1BD(1)证明:DC1BC;(2)求二面角 A1BDC1的大小 【分析】(1)证明 DC1BC,只需证明 DC1面 BCD,即证明 DC1DC,DC1BD;(
29、2)证明 BC面 ACC1A1,可得 BCAC 取 A1B1的中点 O,过点 O 作 OHBD 于点 H,连接 C1O,C1H,可得点 H 与点 D 重合且C1DO 是二面角 A1BDC1的平面角,由此可求二面角 A1BDC1的大小【解答】(1)证明:在 RtDAC 中,AD=AC,ADC=45 同理:A1DC1=45,CDC1=90 DC1DC,DC1BD DCBD=D DC1面 BCD BC 面 BCD DC1BC(2)解:DC1BC,CC1BC,DC1CC1=C1,BC面 ACC1A1,AC 面 ACC1A1,BCAC 取 A1B1的中点 O,过点 O 作 OHBD 于点 H,连接 C1
30、O,OH A1C1=B1C1,C1OA1B1,面 A1B1C1面 A1BD,面 A1B1C1面 A1BD=A1B1,C1O面 A1BD 而 BD 面 A1BD BDC1O,OHBD,C1OOH=O,BD面 C1OHC1HBD,点 H 与点 D 重合且C1DO 是二面角 A1BDC1的平面角 设 AC=a,则,sinC1DO=C1DO=30 即二面角 A1BDC1的大小为 30 20(12 分)(2012新课标)设抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点为 F,准线为 l,AC,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点;(1)若BFD=90,ABD 的面积为,求 p 的值
31、及圆 F 的方程;(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值【分析】(1)由对称性知:BFD 是等腰直角,斜边|BD|=2p 点 A 到准线l的 距 离,由 ABD的 面 积SABD=,知=,由此能求出圆 F 的方程(2)由对称性设,则点 A,B 关于点 F 对称得:,得:,由此能求 出坐标原点到 m,n 距离的比值【解答】解:(1)由对称性知:BFD 是等腰直角,斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的距离,ABD 的面积 SABD=,=,解得 p=2,所以 F 坐标为(0,1),圆 F 的方程为
32、x2+(y1)2=8(2)由题设,则,A,B,F 三点在同一直线 m 上,又 AB 为圆 F 的直径,故 A,B 关于点 F 对称 由点 A,B 关于点 F 对称得:得:,直 线,切点 直线 坐标原点到 m,n 距离的比值为 21(12 分)(2012新课标)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(1)ex1f(0)x+x2;(1)求 f(x)的解析式及单调区间;(2)若,求(a+1)b 的最大值【分析】(1)对函数 f(x)求导,再令自变量为 1,求出 f(1)得到函数的解析式及导数,再由导数求函数的单调区间;(2)由题意,借助导数求出新 函数的最小值,令其大于 0 即可得到参数 a,b 所满
33、足的关系式,再研究(a+1)b 的最大值【解答】解:(1)令 x=1 得:f(0)=1 令 x=0,得 f(0)=f(1)e1=1 解得 f(1)=e 故函数的解析式为 令 g(x)=f(x)=ex1+x g(x)=ex+10,由此知 y=g(x)在 xR 上单调递增 当 x0 时,f(x)f(0)=0;当 x0 时,有 f(x)f(0)=0 得:函数的单调递增区间为(0,+),单调递减区间为(,0)(2)得 h(x)=ex(a+1)当 a+10 时,h(x)0y=h(x)在 xR 上单调递增,x时,h(x)与 h(x)0 矛盾 当 a+10 时,h(x)0 xln(a+1),h(x)0 xl
34、n(a+1)得:当 x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)(a+1)ln(a+1)b0,即(a+1)(a+1)ln(a+1)b(a+1)b(a+1)2(a+1)2ln(a+1),(a+10)令 F(x)=x2x2lnx(x0),则 F(x)=x(12lnx)当时,即当时,(a+1)b 的最大值为 四、请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22(10 分)(2012新课标)如图,D,E 分别为ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交ABC 的外接圆于 F,G 两点,若 CFAB,证明:(1)CD=BC;(2)BCDGBD
35、 【分析】(1)根据 D,E 分别为ABC 边 AB,AC 的中点,可得 DEBC,证明四边形 ADCF 是平行四边形,即可得到结论;(2)证明两组对应角相等,即可证得BCDGBD【解答】证明:(1)D,E 分别为ABC 边 AB,AC 的中点 DFBC,AD=DB ABCF,四边形 BDFC 是平行四边形 CFBD,CF=BD CFAD,CF=AD 四边形 ADCF 是平行四边形 AF=CD,BC=AF,CD=BC(2)由(1)知,所以 所以BGD=DBC 因为 GFBC,所以BDG=ADF=DBC=BDC 所以BCDGBD 23(2012新课标)选修 44;坐标系与参数方程 已知曲线 C1
36、的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2的坐标系方程是=2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2,)(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标;(2)设 P 为 C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围【分析】(1)确定点 A,B,C,D 的极坐标,即可得点 A,B,C,D 的直角坐标;(2)利用参数方程设出 P 的坐标,借助于三角函数,即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围【解 答】解:(1)点A,B,C,D的 极 坐 标 为 点A,
37、B,C,D的直角坐标为(2)设P(x0,y0),则为参数)t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2 sin20,1 t32,52 24(2012新课标)已知函数 f(x)=|x+a|+|x2|(1)当 a=3 时,求不等式 f(x)3 的解集;(2)若 f(x)|x4|的解集包含1,2,求 a 的取值范围【分析】(1)不等式等价于,或,或,求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求(2)原命题等价于2xa2x 在1,2上恒成立,由此求得求 a 的取值范围【解答】解:(1)当 a=3 时,f(x)3 即|x3|+|x2|3,即,或,或 解可得 x1,解可得 x,解可得 x4 把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1 或 x4(2)原命题即 f(x)|x4|在1,2上恒成立,等价于|x+a|+2x4x在1,2上恒成立,等价于|x+a|2,等价于2x+a2,2xa2x 在1,2上恒成立 故当 1x2 时,2x 的最大值为21=3,2x 的最小值为 0,故 a 的取值范围为3,0