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1、.2012 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共 14 小题。每小题 5 分。共计 7分请把答案填写在答题卡相应位置上 （5 分）（12 江苏)已知集合 A=.2。=。4。6.则 AB=1.2。4。6 考点:并集及其运算 专题：集合.分析：由题意。A.B 两个集合的元素已经给出。故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可 解答：解：1。2.。B=2.4。6 AB=1.2.6 故答案为1.2.4。6 点评:本题考查并集运算。属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义 2.（分）(2012 江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3：3:4.现用分层
2、抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本。则应从高二年级抽取 1 名学生.考点：分层抽样方法 专题:概率与统计 分析：根据三个年级的人数比。做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例。得到要抽取的高二的人数 解答:解：高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3:3:.高二在总体中所占的比例是=.用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本.要从高二抽取.故答案为：15 点评:本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例。这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题.3.（5 分)(202 江苏）设 a.bR.abi=（i 为虚
3、数单位).则 ab 的值为 8.考点:复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件.专题:数系的扩充和复数 分析:由题意。可对复数代数式分子与分母都乘以 1+2i.再由进行计算即可得到 abi3i.再由复数相等的充分条件即可得到 a的值。从而得到所求的答案.解答：解:由题.a。b.a+bi=所以 a=5.b=3。故 a+8 故答案为 8 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算。解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭复数的四则运算是复数考查的重要内容。要熟练掌握。复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化 .（分）(2012 江苏）图是一个算法流程图。则输出的 k
4、的值是 .考点：循环结构.专题:算法和程序框图 分析：利用程序框图计算表达式的值。判断是否循环。达到满足题目的条件.结束循环。得到结果即可 解答:解：1+4=00.不满足判断框.则=2.20+4=。不满足判断框的条件。则 k.32120。不成立。则 k=4.420+400。不成立则 k=5。525+4=4。成立.所以结束循环.输出=故答案为:5.点评:本题考查循环框图的作用。考查计算能力.注意循环条件的判断 (5 分)（201 江苏)函数 f(x)=的定义域为（。考点:对数函数的定义域.专题：函数的性质及应用.分析：根据开偶次方被开方数要大于等于 0真数要大于 0。得到不等式组.根据对数的单调
5、性解出不等式的解集。得到结果 解答:解：函数 f（)=要满足 120.且 x0.x0.。x0。故答案为：（0。点评:本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到。开偶次方时.被开方数要不小于 0。；真数要大于 0;分母不等于 0;0 次方的底数不等于这种题目的运算量不大。是基础题 6（5 分）（2 江苏）现有 10 个数.它们能构成一个以为首项。3 为公比的等比数列。若从这 10 个数中随机抽取一个数。则它小于 8 的概率是.考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式 专题：等差数列与等比数列;概率与统计.分析：先由题意写出成等比数列的个数为。然后找出小于的项的个数。代入古
6、典概论的计算公式即可求解 解答:解：由题意成等比数列的 1个数为：1。（)2。(）3(3）9 其中小于的项有:13。（3）。(3）5。(3)7.（)9共 6 个数 这 1个数中随机抽取一个数。则它小于 8 的概率是 P=故答案为:点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题 .(5 分）(2012 江苏)如图.在长方体CDA1B1C中.B=D3cm。AA1=2cm.则四棱锥B1D1的体积为 6 cm3.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:空间位置关系与距离；立体几何 分析:过作 AOD 于 O.求出O。然后求出几何体的体积即可 解答:解:过 A 作 AOBD
7、于 O。AO 是棱锥的高。所以 AO=所以四棱锥 AB1D1D 的体积为 V=6 故答案为：.点评:本题考查几何体的体积的求法。考查空间想象能力与计算能力.8.(5分）(012 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中.若双曲线的离心率为。则的值为 2.考点：双曲线的简单性质 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由双曲线方程得 y2的分母 m2+0 所以双曲线的焦点必在 x 轴上 因此 a2=m0 可得=m2+m+4 最后根据双曲线的离心率为.可得 c2=a.建立关于 m 的方程：m2+m+45.解之得=2 解答:解：m2+40 双曲线的焦点必在 x 轴上 因此2=m0.b2=m+4 cm+m2
8、4=m+双曲线的离心率为。可得 c2=a 所以+m+4=m解之得 故答案为：点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程。在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题 9(分）（212 江苏)如图。在矩形 ABCD 中.AB=。BC=点 E 为 BC 的中点。点 F 在边CD 上。若=。则的值是.考点:平面向量数量积的运算 专题:平面向量及应用.分析:根据所给的图形。把已知向量用矩形的边所在的向量来表示做出要用的向量的模长表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于 0。得到结果.解答：解:。=|=。|=1.|1=（)()=2+2=。故答案为:点评:本题考查平面
9、向量的数量积的运算 本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式。本题是一个中档题目 0(5 分)(01 江苏)设 f（x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数.在区间1。1上.f(x)=其中。bR.若=则 a+3b 的值为 10.考点:函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法 专题:函数的性质及应用.分析:由于 f(）是定义在 R 上且周期为 2 的函数。由 f()的表达式可得 f(）=（)af(）=;再由(1)f(1)得 2+=0.解关于 a.的方程组可得到a.b 的值。从而得到答案 解答:解：（x）是定义在 R 上且周期为的函数f(）=.f（)=（)=1 a。（)=;又=
10、。1 a 又 f(1)=f(1）2b=.由解得 a=4;3b=1 故答案为:1 点评:本题考查函数的周期性。考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到。b 的方程组并求得 a.b 的值是关键。属于中档题.11(分）（012 江苏)设 为锐角.若o(+)=.则i(2+)的值为 考点:三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦 专题:三角函数的求值；三角函数的图像与性质 分析：先设+。根据 co 求出 sin.进而求出 sin2 和 cs2。最后用两角和的正弦公式得到in（+）的值 解答:解:设=+。sin=。si2=2sicos=。cos=2co
11、s21=。si（2+)=sn（+)=sin（2)=sin2cosc2sn 故答案为:点评：本题要我们在已知锐角 的余弦值的情况下。求的正弦值。着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用。属于中档题 12(5 分)(202 江苏）在平面直角坐标系Oy 中。圆 C 的方程为 x+y28x+5.若直线=x2 上至少存在一点。使得以该点为圆心.1 为半径的圆与圆 C 有公共点。则 k的最大值是 考点:圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系 专题：直线与圆.分析：由于圆 C 的方程为（x)2+2=.由题意可知。只需（x4)2+y2=1 与直线 y
12、kx有公共点即可 解答：解：圆 C 的方程为2y2x=0。整理得:(）+y=1。即圆 C 是以(。0)为圆心.为半径的圆;又直线=x上至少存在一点。使得以该点为圆心1 为半径的圆与圆 C 有公共点.只需圆 C:（）2+y2=1 与直线 yk2 有公共点即可 设圆心 C(4。0)到直线 y=k2 的距离为 d。.则 d=2.即24k.0k k 的最大值是 故答案为:.点评:本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“(x4）+y2=4 与直线=x2 有公共点是关键。考查学生灵活解决问题的能力。属于中档题.13（5 分)(2012 江苏）已知函数 f(x）=2+ax+b（a。）的值域为0。+)。若关
13、于 x 的不等式 f（x）的解集为（。m+）.则实数 c 的值为 9 考点：一元二次不等式的应用.专题：函数的性质及应用;不等式的解法及应用 分析:根据函数的值域求出与 b 的关系.然后根据不等式的解集可得(x）c 的两个根为m。m+6。最后利用根与系数的关系建立等式。解之即可 解答：解:函数(x）x2+a+（a。b)的值域为0。+)。f（x)2+a=只有一个根。即=4b=0 则 b=不等式 f(x）c 的解集为（m。m+）。即为2+ax+解集为(m.m+)。则2+ac=的两个根为 m。6|m+6m=6 解得 c=故答案为:9 点评:本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系。同时
14、考查了分析求解的能力和计算能力。属于中档题.14(分）(201 江苏)已知正数 a。bc 满足：54ca。cnln。则 的取值范围是 e.7.考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;不等式的综合 专题:导数的综合应用;不等式的解法及应用.分析:由题意可求得 2。而 5 1.于是可得 7;由 c ln.+l 可得 0cln。从而.设函数(）=(x)。利用其导数可求得（)的极小值.也就是 的最小值。于是问题解决.解答:解:4cab .5ca4ca。2 从而 41=7.特别当=7 时.第二个不等式成立 等号成立当且仅当:b：=1：:2 又 cnba+clnc.01).f().当 0 x0。当 xe
15、时f（x)0。当 x=e 时.f(x)取到极小值。也是最小值.f(x)min=f（e)=等号当且仅当=。=e 成立.代入第一个不等式知：2=e3.不等式成立.从而 e可以取得.等号成立当且仅当 a:：c=：e:1 从而 的取值范围是e。7双闭区间 点评:本题考查不等式的综合应用。得到.通过构造函数求 的最小值是关键.也是难点。考查分析与转化、构造函数解决问题的能力。属于难题.二、解答题：本大题共小题.共计 9分请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.5（14 分)(201 江苏）在AC 中。已知.（1)求证:nB=3anA；（)若 cosC=.求 A 的值 考点：解
16、三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用.专题:三角函数的求值；解三角形;平面向量及应用.分析：(）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边。然后两边同时除以 c化简后。再利用正弦定理变形.根据 cosco0。利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到 tB=taA;（2）由 C 为三角形的内角。及 co的值.利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC的值。进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出 tanC 的值.由anC 的值 及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出 tan(A+B)的值。利用两角和与差的正切函数公式化简后。将anB=3tanA 代入.得到关于 t
17、A 的方程。求出方程的解得到 tan的值.再由 A 为三角形的内角。利用特殊角的三角函数值即可求出的度数 解答：解:(1）=。cbosA=3cacosB.即os=3ao。由正弦定理得:sncosA=3siAcos。又 0BcosB0.在等式两边同时除以 coAcos。可得anB=3tnA;(2)csC=。0。k.当且仅当 k=1 时取等号 炮的最大射程是 1千米（2)0.炮弹可以击中目标等价于存在 k。使（1+k2）a=3.2 成立.即关于 k 的方程 a2k2ak+a2+640 有正根.由韦达定理满足两根之和大于。两根之积大于 0.故只需=00a2a（a+4)0 得 a6.此时.=.当 a
18、不超过 6 千米时炮弹可以击中目标.点评:本题考查函数模型的运用考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力。属于中档题.1(16 分)(20 江苏)若函数=（x)在 xx0处取得极大值或极小值.则称 x为函数 y=(x)的极值点已知 a。是实数.1 和1 是函数 f(x)=x3+a2+bx 的两个极值点.(1)求 a 和的值；(2)设函数 g（x）的导函数 g(x)f（x)2。求 g(x)的极值点；.(3）设(x)=(f（x)）.其中 c2。2。求函数 y=h(x)的零点个数.考点：函数在某点取得极值的条件;函数的零点 专题:导数的综合应用.分析：（)求出 导函数。根据 1 和是函数的两
19、个极值点代入列方程组求解即可.(2）由（1)得(x)=x33。求出 g（x）.令 g(x)=0.求解讨论即可.(3）先分|d=2 和|2 讨论关于的方程(x)=的情况;再考虑函数 y=h(x)的零点.解答:解：（1）由(x)=3+ax2+bx.得 f(）3x2+2xb 1 和1 是函数 f（x)的两个极值点。(1)=3a+b=0f(1)3+=0.解得 a=0。b3.(2)由（1）得(x)=33x.g(x)f（x）=x332=(1)2（x+2)=.解得 x1=1。x3=当 x时.g（x)；当2x1 时.g(）0。2 是 g（)的极值点.当21 时。(x)0。1 不是 g(x）的极值点 g(x）的
20、极值点是.(3)令 f(x)=t.则（x）=f（t)先讨论关于 x 的方程 f（x)=d 根的情况。d。2 当|=2 时.由（2）可知(x）2 的两个不同的根为 1 和一 2注意到 f（x)是奇函数。(x）=2 的两个不同的根为1 和.当d|2 时.f（1)df()d=2d0。f(1）d=f（2)d=2f(2)=.此时 f（x）在（2.+）无实根.当(1。2)时f()0.于是 f（x)是单调增函数.又f（1)d0。f(2)0.y=f(x）d 的图象不间断。（x)=d 在（1。2）内有唯一实根.同理。在(一 2。一 1)内有唯一实根 当 x(1。1）时。f（x)0。f（1)d0.y=f(x)d
21、的图象不间断。f（x)在（一 1。1）内有唯一实根.因此。当|d=时.f（x)d 有两个不同的根 x.x。满足x=.|x2;当d|2 时.f(x)=d 有三个不同的根 x3.x4.x5。满足xi2。i=.4。5.现考虑函数 y=h（x)的零点:(i)当|c=2 时。(）c 有两个根 t1.2.满足1|=1。|2|=2.而 f（x)t有三个不同的根.f(x）=t2有两个不同的根.故=h（x）有 5 个零点.(i )当2 时（t）=c 有三个不同的根3.t4.t5。满足|ti|。i=。4。5.而(x）ti有三个不同的根.故 y=h(x)有个零点 综上所述.当|=时。函数 yh(x）有个零点；当|c
22、|b)的左、右焦点分别为1（c)F2（c.0）.已知（1。)和(e。)都在椭圆上其中e 为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程;(2）设.是椭圆上位于 x 轴上方的两点.且直线 AF1与直线 B平行AF2与1交于点.(i）若F1BF=.求直线 AF1的斜率；(ii）求证:F1+PF2是定值.考点：直线与圆锥曲线的综合问题;直线的斜率;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程 分析:(1）根据椭圆的性质和已知(1。e）和（e.）。都在椭圆上列式求解（2）(i）设 A1与 BF2的方程分别为 x+1=y。1=my.与椭圆方程联立。求出AF|、|B2根据已知条件 AFBF2=。用待定系数法求解;（
23、）利用直线 AF与直线 BF2平行点在椭圆上知。可得。.由此可求得 P12是定值.解答:(1)解:由题设知2=c2。e。由点(1）在椭圆上。得。b=1.c2a2 由点(e.）在椭圆上。得.。2=椭圆的方程为.(2）解:由()得 F（0）。(1。0)又直线 A1与直线 BF2平行。设F与F2的方程分别为 x=my.x1=my 设 A(x1。y1)B(x2.y2)y1.y20。由可得(m2+）2my1=0.。（舍）|AF|=0y1|=同理BF2|=(）由得|F1|B=.解得 m2=2 注意到 m。.直线F的斜率为(ii)证明：直线 AF1与直线 B2平行.即.由点 B 在椭圆上知.。同理 PF1+
24、PF2.由得。PF+PF2=PF1+PF2是定值.点评:本题考查椭圆的标准方程考查直线与椭圆的位置关系。考查学生的计算能力。属于中档题 20(16 分)(20 江苏）已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：an=.nN.()设 bn+1=+。N*。求证:数列是等差数列;(2）设 b+nN*且an是等比数列求和 b的值.考点:数列递推式；等差关系的确定;等比数列的性质 专题:等差数列与等比数列 分析:（1）由题意可得.+1=.从而可得可证(2）由基本不等式可得.。由an是等比数列利用反证法可证明 q=1.进而可求 a1.b1 解答：解:(1）由题意可知。an+1=.从而数列是以 1 为公差的等
25、差数列(2）an0。bn0 从而（*）设等比数列a的公比为 q.由 an0 可知0 下证1 若.则。故当时.与(*）矛盾 0q1。则.故当时与（*)矛盾 综上可得=1.n=a1。所以.数列b是公比的等比数列 若则.于是1bb 又由可得 b1.b。b3至少有两项相同.矛盾.从而=点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用.三、附加题（2选做题:任选 2 小题作答.2、3 必做题）（共小题.满分 40 分).21（20 分)（201 江苏）.选修 41：几何证明选讲 如图。AB 是圆 O 的直径.。E 为圆上位于 AB 异侧的两点连接 BD 并延
26、长至点 C。使 BD=。连接 AC。AE。D 求证：E=C 选修 42:矩阵与变换 已知矩阵 A 的逆矩阵.求矩阵的特征值.C.选修 44:坐标系与参数方程 在极坐标中.已知圆 C 经过点 P(。)。圆心为直线 sin()与极轴的交点.求圆 C 的极坐标方程 D.选修 45：不等式选讲 已知实数 x。y 满足:|+。|2x|。求证:y.考点:特征值与特征向量的计算;简单曲线的极坐标方程;不等式的证明;综合法与分析法(选修).专题:不等式的解法及应用;直线与圆；矩阵和变换;坐标系和参数方程 分析:.要证=.就得找一个中间量代换.一方面考虑到E 是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点
27、到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到.从而得证.由矩阵的逆矩阵。根据定义可求出矩阵 A。从而求出矩阵的特征值 C根据圆心为直线 in（）=与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点 P（.).求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程.D根据绝对值不等式的性质求证.解答:A证明：连接 A.AB 是圆 O 的直径.DB=90(直径所对的圆周角是直角).ADBD(垂直的定义）又BD=D。AD 是线段 BC 的中垂线（线段的中垂线定义）AB=(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）.B=C（等腰三角形等边对等角的性质).又D.E 为圆上位于 AB 异侧的两点.B=E(同弧所对圆周角相等).E
28、=C(等量代换）.B、解：矩阵 A 的逆矩阵.A=f（)=234=0 11。2=4 C、解：圆心为直线 sin（)=与极轴的交点。在 in()=中令=0.得=1圆 C 的圆心坐标为(1。0).圆 C 经过点 P(。)。圆的半径为 PC1 圆 的极坐标方程为=cos.D、证明:3|y=|3=|(x+y)（2)|2|x+|+xy|。y|.2xy|。3|y|.点评：本题是选作题.综合考查选修知识考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明综合性强 22.（10 分)(01 江苏)设 为随机变量。从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条。当两条棱相交时。=;当两条棱平行时.的值为两
29、条棱之间的距离;当两条棱异面时。1.(1）求概率 P（);（2)求 的分布列并求其数学期望 E(）.考点:离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式.专题：概率与统计 分析：(1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率（2)求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望.解答:解:(1)若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意个顶点恰有3条棱。共有对相交棱。P(=）=(2）若两条棱平行.则它们的距离为 1 或。其中距离为的共有 6 对.P(）.(=）=1P（=0)（）=随机变量 的分布列是：0 1 其数学期望 E（
30、)=.点评:本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望。求概率是关键.3(10 分）(212 江苏)设集合n=1。2。.。N记 f（n）为同时满足下列条件的集合 A 的个数：A Pn；若 xA。则 2；若A。则 2x A(1）求 f（);(2)求 f(）的解析式(用表示）.考点:函数解析式的求解及常用方法;元素与集合关系的判断;集合的包含关系判断及应用.专题:集合 分析:（)由题意可得 P4=1.2。34。符合条件的集合 A 为:.1.4。2.3.1。3。4.故可求 f（4)（2)任取偶数 xpn。将 x 除以.若商仍为偶数.再除以 2。经过次后.商必为奇数此时记商为 m可知。若 mA。则 xA。k 为偶数；若 m A。则 x为奇数。可求 解答:解(1)当4 时。P4=12。4。符合条件的集合为:2。.。2.3。1。4 故（)=4(2)任取偶数 xpn。将 x 除以.若商仍为偶数。再除以 2.经过 k 次后商必为奇数此时记商为 m 于是=m 2k。其中 m 为奇数。k*由条件可知。若 mA。则 xk 为偶数 若 m A。则 xAk 为奇数.于是是否属于由是否属于 A 确定.设 Q是 Pn中所有的奇数的集合 因此 f（n)等于 Q的子集个数.当 n 为偶数时(或奇数时)。Pn中奇数的个数是(或）点评:本题主要考查了集合之间包含关系的应用。解题的关键是准确应用题目中的定义