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1、1 等差数列知识点总结一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2等差数列的通项公式若等差数列 an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d(nm)dp.3等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则Axy2.4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等
2、差数列，公差为d，则ak，akm，ak 2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n 1(2n1)an.(6)若n为偶数，则S偶S奇nd2；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)5等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Snna1an2，或等差数列 an 的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Snna1nn12d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2n，数列 an是等差数列的充要条件是SnAn2Bn(A，B为常数)7最值问题在等差数列 an中，a1 0，d0，则Sn存在最大值，若a1 0，d0，则S
3、n存在最小值一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Snna1an2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n2 的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，n N*)都成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证S
4、nAn2Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列2 回顾：1已知等差数列an中，a3=9，a9=3，则公差d 的值为（）AB1CD 12已知数列 an 的通项公式是an=2n+5，则此数列是（）A 以 7 为首项，公差为2 的等差数列B 以 7 为首项，公差为5 的等差数列C 以 5 为首项，公差为2 的等差数列D不是等差数列3在等差数列an中，a1=13，a3=12，若 an=2，则 n 等于（）A 23B24C25D 264两个数1 与 5 的等差中项是（）A 1B3C2D5（2005?黑龙江）如果数列an是等差数列，则（）A a1+a8a4+a5Ba1+a8
5、=a4+a5Ca1+a8 a4+a5D a1a8=a4a5考点 1:等差数列的通项与前n 项和题型 1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例 1】已知na为等差数列，则对应练习：1、已知na为等差数列，（互不相等），求.2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.题型 2：已知前项和及其某项，求项数.【解题思路】利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数；利用等差数列的前4 项和及后 4 项和求出，代入可求项数.【例 2】已知为等差数列na的前项和，求对应练习：3、若一个等差数列的前4 项和为 36，后 4 项和为 12
6、4，且所有项的和为780，求这个数列的项数.20,86015aa75aqapanm,knm,ka551655nnSdnaan)1(11adnSnnaa1nSnnSn63,6,994nSaan7,663)1(231821nnnnnSnn3 4.已知为等差数列na的前项和，则 .题型 3：求等差数列的前n 项和【解题思路】（1）利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例 3】已知为等差数列na的前项和，.（1）；求；求.对应练习：5、已知为等差数列na的前项和，求.考点 2：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法
7、有：1、定义法：（，是常数）na是等差数列；2、中项法：()na是等差数列；3、通项公式法：（是常数）na是等差数列；4、项和公式法：（是常数，）na是等差数列.【例 4】已知为等差数列na的前项和，.nSn100,7,141nSaannSnanSn212nnSn321aaa10321aaaanaaaa321nSn10,10010010SS110Sdaann 1Nnd212nnnaaaNnbknanbk,BnAnSn2BA,0AnSn)(NnnSbnn4 求证：数列是等差数列.解：对应练习：6、设为数列na的前项和，（1）常数的值；（2）证：数列是等差数列.考点 3:等差数列的性质【解题思路】
8、利用等差数列的有关性质求解.【例 5】1、已知为等差数列na的前项和，则；2、知为等差数列na的前项和，则 .对应练习：7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）8.设、分别是等差数列na、na的前项和，则 .考点 4：等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出后，判断的单调性.【例 6】已知为数列na的前项和，；数列满足：，其前项和为nbnSn)(NnpnaSnn.21aapnanSn1006a11SnSn)(,mnnSmSmnnmS12n.Ann12.Bnn1.Cnn1.Dnn21nSnTn327nnTSnn55bananSnTnT
9、nSnnnSn211212nb113bnnnbbb1229.1535 数列na、的通项公式；设为数列的前项和，求使不等式对都成立的最大正整数的值.对应练习：9.已知为数列na的前项和，.数列na的通项公式；数列na中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.课后练习：1.(2010 广雅中学)设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则A B C D2.在等差数列na中，则 .3.数列na中，当数列na的前项和取得最小值时，.4.已知等差数列na共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 .5.设数列中，则通项 .6.从正整数数列中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第项是 .nbnTncn)12)(112(6nnnbac57kTnNnknSn31a)2(21naSSnnnk1kkaakkna28a155anSnan1011SS1011SS910SS910SS1205a8642aaaa492nannnSn101030na112,1nnaaanna,5,4,3,2,11964