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1、2020 年高考数学（理）一轮复习讲练测专题 4.6 正弦定理和余弦定理1（河北省枣强中学2018-2019 学年期末）在ABC中，角ABC，的对边分别是abc，若132 cos3bcA，则a（）A5 B7C4 D 3【答案】D【解析】由余弦定理可得：22212cos942 3293abcbcA，解得3a，故选 D。2（吉林省白山市2018-2019 学年期末）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，若2 sincbC，2B，则B()A6B4C3D2【答案】A【解析】因为2 sincbC，所以sin2sinsinCBC，所以1sin2B，则6B或56，因为2B，所以6B，故选
2、A。5（山西省大同市2018-2019 学年期末）在ABC中，2cos22Bacc（a，b，c分别为角A、B、C的对边），则ABC的形状为（）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【答案】B【解析】21cossinsincoscossinsincossinsin()2222sinBacBACBCABCBCcCsincos090BCC，故答案选B。6（辽宁省丹东市2018-2019 学年期末）在ABC中，1cos3A，3ACAB，则sinC（）A13B33C63D2 23【答案】A【解析】1cos3A，2 2sin3A又22222212cos92383BCABACAB
3、ACAABABABABAB，2 2BCAB，又sinsinBCABAC，12 21sinsin332 2ABCABC故选 A7（陕西省渭南市2018-2019 学年质量检测）在ABC中，7,2,60ACBCB，则BC 边上的中线AD 的长为()A1 B3C2 D7【答案】D【解析】由余弦定理可得：22222cos230ACABBCAB BCBABAB3AB在ABD中，由余弦定理可得：2222cos7ADABBDAB BDB，7AD故选 D。8（天津市第一中学2018-2019 学年期末）在ABC中，三内角,A B C的对边分别为,a b c，若ABC的面积为S，且222()Sabc，则tan(
4、)AB（）A43B43C53D53【答案】B【解析】ABC 中，SABC12ab sinC，由余弦定理：c2a2+b22abcosC，且 2S（a+b）2 c2，absinC（a+b）2（a2+b22abcosC），整理得 sinC2cosC2，（sinC2cosC）242222sinCcosCsin Ccos C4，化简可得3tan2C+4tanC0C（0，180），tanC43，4tan3AB，故选 B。9（云南省玉溪市2018-2019 学年期末）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若:4:3:2a b c，则2sinsinsin2ABC（）A37B57C97D107【答案】
5、D【解析】由题意2sinsin2sinsin2sin22sincos2 cosABABabCCCcC，:4:3:2a b c，设4,3,2ak bk ck，由余弦定理可得：2216947cos2438kCk，则832sinsin107sin 2748kABCk.故选 D。10（吉林省吉林市普通中学2018-2019 学年调研）ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sincsin()sinaACabB，4c，则ABC面积的最大值为（）A2 3B4 C4 3D8 3【答案】C【解析】sinsinsinaAcCabB，由正弦定理abcsinAsinBsinC，得 a2（ab）b+c2，即
6、a2+b2c2ab由余弦定理得cosC222122abcab，结合 0C，得 C3c4，由余弦定理可得：16a2+b2ab2ababab，当且仅当ab等号成立，S ABC113164 3222absinC，即 ABC 面积的最大值为4 3故选 C。11（陕西省咸阳市2019 届高三模拟检测）已知a.b.c 分别是 ABC 的内角 A、B、C 的对边，若coscbA，则 ABC 的形状为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形【答案】A【解析】由coscbA，得cossinCsinBA又因为在 ABC 有sincoscossinCABsinABsinBA所以coscoscossinA
7、BsinBAsinBA，即cos0sinAB又因为0sinA，所以cos0B，所以角B 为钝角所以 ABC 的形状为钝角三角形故选 A。12（河北省石家庄市2019 届高中毕业班模拟）在 ABC 中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足22sin3 cos40aaBB，2 7b，则 ABC 的面积为（）A2B12xxC3D2 3【答案】D【解析】由题意知22sin3 cos40aaBB，可得24 sin()403aaB，即24 sin()43aBa，即2444sin()3aBaaa，又由4424aaaa，当且仅当4aa，即2a时等号成立，所以sin()13B，所以32B，解得6B，在AB
8、C中，由余弦定理可得2222cosbacacB，即222(27)222 cos6cc，整理得22 3240cc，解得2 3c，所以三角形的面积11sin22 3 sin2 3226SacB，故选 D。13（湖北省八市2019 届联考）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若2,3 2ac，tan2tanBA，则ABC的面积为A2 B3 C3 2D4 2【答案】B【解析】tanB2tanA，可得：sin2sincoscosBABA，即：2sinAcosBcosAsinB，sinCsinAcosB+cosAsinB 3sinAcosB，由正弦定理得：c3acosB，a2，c32，co
9、sB22，因为 B（0，），得：2sin2B.112acsin23 23222ABCSB，故选 B。14（江西省赣州市2019 届高三模拟）在ABC中，1cos7A，5 3sin()14CB，6BC，则AC边的长为（）A5 34B3 32C7 32D2 3【答案】C【解析】如图所示，在AB上取一点D，使BDCB，设ACD，则5 3sinsin14CB，由1cos7A得4 3sin7A.因为sinsinA，所以为说角，从而11cos14.所以1coscos 180cos2ADCAA，于是60ADC.故1302BADC，在ABC中，由正弦定理sinsinBCACAB得7 34AC，故选 C。15（
10、吉林省吉林市普通中学2019 届调研）ABC中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，且sincsin()sinaACabB，4c，则ABC面积的最大值为（）A2 3B4 C4 3D8 3【答案】C【解析】sinsinsinaAcCabB，由正弦定理abcsinAsinBsinC，得 a2（ab）b+c2，即 a2+b2c2ab由余弦定理得cosC222122abcab，结合 0C，得 C3c4，由余弦定理可得：16a2+b2ab2 ababab，当且仅当ab 等号成立，SABC113164 3222absinC，即 ABC 面积的最大值为4 3故选 C。16（湖北省武汉市2019 届调研测
11、试）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bac，sin sinsin sin1 cos2ABBCB，则角A()A4B3C6D512【答案】B【解析】22sinsinsinsin1cos2112sin2sinABBCBBB即：sinsin2sinACB由正弦定理得：2acb2222222222421cos2222acacbacbbbbBacacb3B又2244acbac2222420acacaaccacacABC为等边三角形3A故选 B。17（河北省衡水市第十三中学2019 届质检）已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且222coscosabcaBbAabc，若AB
12、C的外接圆半径为2 33，则ABC的周长的取值范围为（）A2,4B4,6C4,6D2,6【答案】B【解析】因为222coscosabcaBbAabc，所以2coscosabcosCsinABsinBAabsinC，2sincosCABsinC，21cosC，3C,2 3c2233sin因此22222222223344ababcababcosCababababab.即22244abab，,因为2abc,所以4,6abc，故选 B。18（安徽省合肥市2019 届质量检测）已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2 sinaBbC，3b，1cos4B，则ABC的面积为（）A9 15
13、B9 1516C3 1516D916【答案】B【解析】由sin2 sinaBbC结合正弦定理可得2abbc，则2ac.由余弦定理2222cosbacacB，可得2219=2224ccc c，解得32c，则3a.又215sin1cos4BB，所以113159 15sin3222416ABCSacB，故选 B。19（广东省六校2019 届联考）在ABC中，角A、B、C的对边长分别a、b、c，满足22sin3 cos40aaBB，2 7b，则ABC的面积为A2 2B2C2 3D3【答案】C【解析】把22(sin3cos)40aaBB看成关于a的二次方程，则2224(sin3cos)164(32 3s
14、incos4)BBsin Bcos BBB24(22 3sincos3)4(cos23sin22)cos BBBBB42sin(2)206B，故若使得方程有解，则只有0，此时6B，2 7b，代入方程可得，2440aa，2a，由余弦定理可得，2428cos3022cc，解可得，4 3c，111sin24 32 3222ABCSacB故选 C。20（贵州省 2019 届质量测评卷）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边1c时，ABC周长的最大值为_.【答案】21【解析】依题意，CAB，结合三角形的内角和定理，所以2AB，设ABC的外接圆半径为R，则
15、12R，于是2(sinsin)sinsinabRABABsincos2 sin4AAA，当4A时，ab取最大值为2，所以周长的最大值为21。1.【2019 年高考浙江卷】在ABC中，90ABC，4AB，3BC，点D在线段AC上，若45BDC，则BD_，cosABD_【答案】1225，7 210【解析】如图，在ABD中，由正弦定理有：sinsinABBDADBBAC，而34,4ABADB,225AC=AB+BC=，34sin,cos55BCABBACBACACAC，所以1225BD.7 2coscos()coscossinsin4410ABDBDCBACBACBAC.2.【2019 年高考北京卷
16、】在 ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=12（1）求 b，c 的值；（2）求 sin（B C）的值【答案】（1）7b，5c；（2）437.【解析】（1）由余弦定理2222cosbacacB，得222132 32bcc.因为2bc，所以2221(2)32 32ccc.解得5c.所以7b.（2）由1cos2B得3sin2B.由正弦定理得5 3sinsin14cCBb.在ABC中，B 是钝角，所以 C 为锐角.所以211cos1sin14CC.所以4 3sin()sincoscossin7BCBCBC.3.【2019 年高考全国卷】ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c.若6,2,
17、3bac B，则ABC的面积为 _【答案】6 3【解析】由余弦定理得2222cosbacacB，所以2221(2)2262cccc，即212c，解得2 3,2 3cc（舍去），所以24 3ac，113sin4 32 36 3.222ABCSacB。4.(2019高考全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 asin AC2bsin A。(1)求 B；(2)若 ABC 为锐角三角形，且c1，求 ABC 面积的取值范围。【解析】(1)由题设及正弦定理得sin AsinAC2sin Bsin A.因为 sin A0，所以 sinAC2sin B.由 ABC180，可得sinA
18、C2 cosB2，故 cosB22sinB2cosB2.因为 cosB20，故 sinB212，因此 B60.(2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC34a.由正弦定理得acsin Asin Csin（120 C）sin C32tan C12.由于 ABC 为锐角三角形，故0 A90，0C90.由(1)知 A C120，所以 30C90，故12a2，从而38SABC32.因此，ABC 面积的取值范围是38，32。5.(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.若 ABC 的面积为a2b2c24，则 C()A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】S12absin
19、 Ca2b2c242abcos C412abcos C，sin Ccos C，即 tan C1.C(0，)，C4.6.(2018北京卷)若 ABC 的面积为34(a2c2b2)，且 C 为钝角，则 B_；ca的取值范围是 _【解析】由已知得34(a2c2b2)12acsin B，所以3a2 c2 b22acsin B，由余弦定理得3cos Bsin B，所以 tan B3，所以 B60，又 C90，B 60，所以 A30，且 AC120，所以casin Csin Asin120 Asin A1232tan A.又 A30，所以 0 tan A3，所以ca12322.【答案】60(2，)7.(2
20、018全国卷)在平面四边形ABCD 中，ADC 90，A45，AB 2，BD 5.(1)求 cos ADB；(2)若 DC22，求 BC.【解析】(1)在 ABD 中，由正弦定理得BDsin AABsin ADB，即5sin 452sin ADB，所以 sin ADB 25.由题设知，ADB90，所以 cos ADB1225235.(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB25.在 BCD 中，由余弦定理，得 BC2BD2DC2 2BD DC cos BDC2582 5 2225 25，所以 BC5。8.(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若ABC
21、的面积为a2b2c24，则 C()A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】因为a2 b2c22abcos C，且 S ABCa2 b2c24，所以 SABC2abcos C412absin C，所以 tan C1.又 C(0，)，故 C4.9.(2018浙江卷)在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c.若 a7，b2，A60，则 sin B _，c_.【解析】由正弦定理得2sin B7sin 60，所以 sin B217，由余弦定理得7c242 2 c12，即c22c3 0，所以 c3.【答案】2173 10.(2018全国卷)在 ABC 中，cosC255，BC1，AC5
22、，则 AB()A4 2 B.30 C.29 D25【答案】A【解析】cosC255，cos C2cos2C212552135.在 ABC 中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC BC cos C52122 5 1 3532，AB 4 2.11.(2018天津卷)在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知 bsinAacos B6.求角 B 的大小；设 a2，c3，求 b 和 sin(2AB)的值【解析】在ABC 中，由正弦定理asin Absin B，可得 bsin A asin B.又由 bsin A acos B6，得 asin Bacos B6，即 sin BcosB6，可得 tan B3.又因为 B(0，)，所以 B3.在 ABC 中，由余弦定理及a2，c3，B3，得 b2a2c22accos B7，故 b7.由 bsin Aacos B6，可得 sin A37.因为 ac，所以 cos A27.因此 sin 2A 2sin Acos A4 37，cos 2A2cos2A117.所以 sin(2A B)sin 2Acos Bcos 2Asin B4 371217323314.