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1、海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）2014.4 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8 小题,每小题 5 分,共 40 分.1.C 2.D 3.D 4.A 5.B 6.B 7.C 8.B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.96 10.1611.2 12.3413.3 2414.9；3(本题第一空3 分，第二空2分)三、解答题:本大题共 6小题,共 80 分.15解：（）()sin3f xx-2 分(1)(0)(0)1ffg-3 分3sinsin
2、032.-5 分（）(1)()()sin()sin1333f tf tg ttttt-6 分sincoscossinsin33333ttt-7 分13sincos2323tt-8 分sin()33t-10 分因为3 3,2 2t，所以5,3366t，-11 分所以1sin()1,332t，-12 分所以()g t在3 3,2 2上的取值范围是1,12-13 分16.解：（）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33.-2 分（）设a为乙公司员工B投递件数，则当a=34 时，X=136 元，当a35 时，354(35)7Xa元，X的可能取值为136,147,154,189,203-4
3、分说明：X取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止X的分布列为：X136 147 154 189 203 P110310210310110-9 分说明：每个概率值给1 分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分 13231()1361471541892031010101010E X1655=165.5()10元-11 分（）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860 元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.-13 分17（）因为平面ABD平面BCD，交线为BD，又在ABD中，AEBD于E，AE平面ABD所以AE平面BCD.-3 分（）由（）结论A
4、E平面BCD可得AEEF.由题意可知EFBD，又AEBD.如图，以E为坐标原点，分别以,EF ED EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz-4 分不妨设2ABBDDCAD，则1BEED.由图 1 条件计算得，3AE，2 3BC，33BF则3(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,3),(,0,0),(3,2,0)3EDBAFC-5 分(3,1,0),(0,1,3)DCAD.yzxEBCA1DF由AE平面BCD可知平面DCB的法向量为EA.-6 分设平面ADC的法向量为(,)x y zn，则0,0.DCADnn即30,30.xyyz令1z，则3,1yx，所以
5、(1,3,1)n.-8 分平面 DCB的法向量为EA所以5cos,5|EAEAEAnnn，所以二面角ADCB的余弦值为55-9 分（）设AMAF，其中0,1.由于3(,0,3)3AF，所以3(,0,3)3AMAF，其中0,1-10 分所以3,0,(1)33EMEAAM-11 分由0EMn，即3303-(1-）-12 分解得3=(0,1)4.-13 分所以在线段AF上存在点M使EMADC平面，且34AMAF.-14 分18解（）eaxya，-2 分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：2yxm，所以12 0m且0|2xy.-4 分解得1m，2a-5 分（）法 1：对于任意实数a，曲线 C总在直线
6、的yaxb的上方，等价于?x,aR，都有eaxaxb，即?x,aR，e0axaxb恒成立，-6 分令()eaxg xaxb，-7 分若 a=0，则()1g xb，所以实数b 的取值范围是1b；-8 分若0a,()(e1)axg xa，由()0g x得0 x，-9 分(),()gx g x的情况如下：x0（-,）0（0,+）()gx0+()g x极小值-11分所以()g x的最小值为(0)1gb，-12分所以实数b 的取值范围是1b；综上，实数b 的取值范围是1b-13 分法 2：对于任意实数a，曲线 C总在直线的yaxb的上方，等价于?x,aR，都有eaxaxb，即?x,aR，eaxbax恒成
7、立，-6 分令tax，则等价于?tR，etbt恒成立，令()etg tt，则()e1tg t，-7分由()0g t得0t，-9 分(),()g tg t的情况如下：t0（-,）0（0,+）()g t0+()g t极小值-11分所以()etg tt的最小值为(0)1g，-12分实数 b 的取值范围是1b-13 分19解：（）设00(,)A xy,00(,)B xy，-1 分因为ABM为等边三角形，所以003|1|3yx.-2 分又点00(,)A xy在椭圆上，所以0022003|1|,3239,yxxy消去0y，-3分得到2003280 xx，解得02x或043x，-4 分当02x时，2 3|3
8、AB；当043x时，14 3|9AB.-5分说明：若少一种情况扣2 分（）法 1：根据题意可知，直线AB斜率存在.设直线AB:ykxm，11(,)A xy，22(,)B xy，AB中点为00(,)N xy，联立22239,xyykxm消去y得222(23)6390kxkmxm，-6分由0得到222960mk-7分所以122623kmxxk,121224()223myyk xxmk，-8 分所以2232(,)2323kmmNkk，又(1,0)M如果ABM为等边三角形，则有MNAB，-9分所以1MNkk，即2222313123mkkkmk，-10分化简2320kkm，-11分由得232kmk，代入
9、得2222(32)23(32)0kkk，化简得2340k，不成立，-13分此步化简成42291880kkk或4291880kk或22(32)(34)0kk都给分 故ABM不能为等边三角形.-14分法 2：设11(,)A x y，则2211239xy，且1 3,3x，所 以222221111121|(1)(1)3(3)133MAxyxxx，-8分设22(,)B xy，同理可得221|(3)13MBx，且2 3,3x-9 分因为21(3)13yx在 3,3上单调所以，有12xx|MAMB，-11 分因为,A B不关于 x 轴对称，所以12xx.所以|MAMB，-13 分所以ABM不可能为等边三角形
10、.-14分20.解：（）设点列123(0,2),(3,0),(5,2)AAA的正交点列是123,BBB,由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)BB,设2(,)Bx y，1223(3,2),(2,2)A AA A，1223(,2)(5,2)B Bx yB Bxy，由正交点列的定义可知12120A AB B,23230A AB B,即32(2)0,2(5)2(2)0 xyxy解得25xy所以点列123(0,2),(3,0),(5,2)AAA的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)BBB.-3 分（）由题可得122334(3,1),(3,1)(3,1)A AA AA A，设点列1
11、234,B BBB是点列1234,A AAA的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)B BB BB B，,123，Z因为1144,ABAB与与相同，所以有123123-+-=9,（1）3+3+3=1.（2）因为123，Z，方程（2）显然不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(,9,1)(AAAA不存在正交点列；-8 分（）5nn，N，都存在整点列()A n无正交点列.-9 分5nn，N，设1(,),iiiiAAa b其中,iia b是一对互质整数，1,2,3,1in若有序整点列123,nB BBB是点列123,nAAAA正交点列,则1(,),1,
12、2,3,1iiiiiB Bb ain，则有11=1111=11,(1).(2)nniiiiinniiiiibaab当 n 为偶数时，取1,(0,0)A1,=3=,1,2,3,1-1iiiabini为奇数，为偶数.由于123,nBBBB是整点列，所以有iZ，1,2,3,1in.等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列123,nAAAA无正交点列；当 n 为奇数时，取1,(0,0)A11=3,2ab,1,=3=,2,3,1-1iiiabini为奇数，为偶数,由于123,nBBBB是整点列，所以有iZ，1,2,3,1in.等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列123,nAAAA无正交点列.综上所述，5nn，N，都不存在无正交点列的有序整数点列()A n-13 分