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1、精品教案可编辑学业分层测评(十九)最大值与最小值(建议用时：45 分钟)学业达标 一、填空题1.已知函数f(x)x3 3x，|x|1，f(x)的最小值为 _.【解析】f(x)3x233(x1)(x1)，当x 1,1 时，f(x)0，所以f(x)在 1,1上是单调递减函数，f(x)的最小值为f(1)2.【答案】22.(2016徐州高二检测)函数yxex在 0,2 上的最大值是_.【解析】由f(x)xex得f(x)1xex，当x0,1 时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1,2 时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1 时，函数取得最大值f(1)1e.【答案】1e3.函数yxsin x，x2，
2、的最大值是 _.【解析】因为y 1cos x，当x2，时，y 0，则函数y在区间2，上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin.【答案】4.(2016无锡高二检测)函数f(x)1x1x(x1,3)的值域为 _.【解析】f(x)1x 121x22xx 12，所以在1,3 上f(x)0 恒成立，精品教案可编辑即f(x)在 1,3 上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)134，最小值是f(1)32.故函数f(x)的值域为32，134.【答案】32，1345.已知函数yx2 2x3 在区间a,2上的最大值为154，则a等于 _.【解析】当a1 时，最大值为4，不合题意，当1a2 时，f(x)在a,
3、2上是减函数，f(a)最大，a22a 3154，解得a12或a32(舍去).【答案】126.函数f(x)12x2ln x的最小值为 _.【解析】f(x)x1xx21x，且x0.令f(x)0，得x1;令f(x)0，得 0 x1.f(x)在x1 处取得极小值也是最小值，且f(1)12ln 1 12.【答案】127.下列结论：在区间a，b上，函数的极大值就是最大值；在区间a，b上，函数的极小值就是最小值；在区间a，b上，函数的最大值、最小值在xa和xb时达到；在区间a，b上的连续函数f(x)在a，b上必有最大值和最小值.其中正确的是_(填序号).【解析】因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，
4、极小值也不一定就是最精品教案可编辑小值，最值不一定在区间端点取到，所以都不正确，而连续函数f(x)在a，b上必有最大值和最小值，所以正确.【答案】8.(2016马鞍山高二检测)已知函数f(x)ax22ln x，若当a0 时，f(x)2 恒成立，则实数a的取值范围是 _.【解析】由f(x)ax22ln x得f(x)2x2ax3，又函数f(x)的定义域为(0，)，且a 0，令f(x)0，得xa(舍去)或xa.当 0 xa时，f(x)0；当xa时，f(x)0.故xa是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f(a)ln a1.要使f(x)2 恒成立，需ln a 12 恒成立，则a e.【答案】e，)
5、二、解答题9.求函数f(x)x3 3x，x3，3的最大值和最小值.【解】f(x)3x23 3(x1)(x1)，令f(x)0，得x1 或x 1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,1)1(1，3)3f(x)00f(x)0220由上表可知：当x 1 时，f(x)取得最大值，f(x)maxf(1)2.当x 1 时，f(x)取得最小值，f(x)minf(1)2.10.已知函数f(x)1xxkln x，k 0，求函数f(x)在1e，e 上的最大值和最小值.精品教案可编辑【解】因f(x)1xxkln x，f(x)x1xx2kxkx 1x2.若k0，则f(x)1x2在1e，
6、e 上恒有f(x)0，f(x)在1e，e 上单调递减.f(x)minf(e)1 ee，f(x)maxf1ee1.若k0，f(x)kx1x2k x1kx2，则在1e，e 上恒有k x1kx20，f(x)在1e，e 上单调递减，f(x)minf(e)1eekln e 1ek1，f(x)maxf1eek1.综上，当k0 时，f(x)min1 ee，f(x)maxe 1；当k0 时，总有f(x)e2x，求实数a的取值范围.【解析】由f(x)e2x得：a exx2，设g(x)exx2，x0，则g(x)ex2xx3，令g(x)0，得x2.当x(0,2)时，g(x)0，g(x)在(0,2)上单调递增；当x(2，)时，g(x)0，g(x)在(2，)上单调递减.当x2 时，y(x)取最大值为e24，g(x)g(2)e24，因此，a的取值范围为e24，.