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1、河南省濮阳市2019 届高三 5 月模拟考试试题数学（理）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.已知集合|22Axx，3|1Bxx，则AB（）A.|0 x xB.|2x xC.02|xxD.|32xx【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求出集合B，根据交集定义求出结果.【详解】3130Bxxxx则20ABxx本题正确选项：C【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知 i 是虚数单位，若2(1)izi，则 z 的共轭复数z对应的点在复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D
2、【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【详解】解：由2+iz（1i），得z1221311122iiiiiii，1322zi，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（1322，），在复平面的第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.若x表示不超过x的最大整数，则下图的程序框图运行之后输出的结果为()A.49850 B.49900 C.49800 D.49950【答案】A【解析】由已知可得049500401 4024049405017408502S49850，故选A.4.要得到cos(2)4yx的图象
3、，只需将sin 2yx的图象（）A.向左平移4个单位B.向左平移8个单位C.向右平移4个单位D.向右平移8个单位【答案】B【解析】试 题 分 析：cos(2)sin(2)sin(2)sin 2()44248yxxxx，故 要 得 到cos(2)4yx的图象，只需将sin2yx的图象向左平移8个单位考点：函数sin()yAx的图像和性质5.若变量x，y满足约束条件3123xyxyxy，则xyzlnln的最大值为（）A.2B.2ln2C.2lnD.ln 2【答案】D【解析】【分析】根据约束条件得到可行域，将xyzlnln化为lnyzx，根据yx的几何意义可求得取2,1C时，yx最大，代入可求得z
4、的最大值.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：lnlnlnyzyxxz取最大值时，yx最大yx的几何意义为：,x y与原点连线的斜率由上图可知，点C与原点连线斜率最大由31xyxy得：2,1Cmax2yxmaxln 2z本题正确选项：D【点睛】本题考查线性规划中斜率型的最值的求解，关键是能够明确分式类型的目标函数的几何意义，属于常规题型.6.设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则SQD在四面体的面BCD上的的射影可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知四面体为正四面体，根据正四面体的特点可求得S在平面BCD上的射影点
5、T在中线DE上，且13DTDE，又,D Q平面BCD，可得射影三角形，从而得到结果.【详解】四面体各棱长相等，可知四面体ABCD为正四面体取BC中点E，连接DE，如下图所示：作AF平面BCD，垂足为F，由正四面体特点可知，F为BCD中心，且23DFDE作ST平面BCD，垂足为T，可知/STAF，且T为DF中点，则13DTDE即S在平面BCD上的射影点为T又,D Q平面BCDDQT即为SQD在平面BCD上的射影，可知正确本题正确选项：C【点睛】本题考查投影图形的求解问题，关键是能够确定射影点所处的位置，属于基础题.7.设双曲线22143xy的左、右焦点分别为1F，2F过1F的直线l交双曲线左支于
6、A，B两点，则22AFBF的最小值为（）A.10B.11C.12D.13【答案】B【解析】【分析】利用双曲线定义可知求解22AFBF的最小值即为求解4aAB的最小值；当AB最小时，AB为通径，从而利用通径长和双曲线方程可求得所求最小值.【详解】由22143xy得：2a，3b由双曲线定义可知：2124AFAFa；2124BFBFa2211448AFBFAFBFAB又AB为双曲线的焦点弦AB最小时，AB为通径2min22332bABa22min8311AFBF本题正确选项：B【点睛】本题考查双曲线的定义和几何性质的应用，关键是能够利用双曲线的定义将问题转化为最短焦点弦的问题，根据双曲线几何性质可知
7、最短的焦点弦为通径，从而使问题得以求解.8.安排A，B，C，D，E，F6 名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有（）A.30 种B.40 种C.42 种D.48 种【答案】C【解析】【分析】利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A照顾老人甲的情况和B照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A照顾老人甲的同时B照顾老人乙的情况，从而得到结果.【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：226490C C种安排方法其中A照顾老人甲的情况有：125430C C种B照顾老人乙的
8、情况有：125430C C种A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有：114312C C种符合题意的安排方法有：9030301242种本题正确选项：C【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.9.已知O为ABC内一点，且1()2AOOBOC，ADtAC，若B,O,D三点共线，则t的值为（）A.14B.13C.12D.23【答案】B【解析】设 线 段BC的 中 点 为M，则2OBOCOM，因 为2OAOBOC，所 以AOOM，则111111()()24444AOAMABACABADABADtt，由,B O D三点共线，得11144t，解得13t；故
9、选 B.点睛：利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：,A B C 三点共线ABAC；O为平面上任一点，,A B C三点共线OAOBOC，且1.10.已知直线l与曲线31yxx有三个不同的交点11,A x y，22,B xy，33,C xy，且|ABAC，则31iiixy（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式可判断出曲线31yxx关于点0,1对称，由ABAC可知0,1A且,B C关于点A对称，从而可求得232302xxyy，代入求得结果.【详解】设31fxxx，则33112fxfxxxxxfx关于0,1对称，即曲线31yxx关于点0,1对称ABAC，根据对称性
10、可知：0,1A23230212xxyy232302xxyy31122331123iiixyxyxyxy本题正确选项：D【点睛】本题考查函数对称性的应用问题，解题关键是能够根据解析式得到曲线的对称点，从而使问题得以求解.11.已知抛物线xyC4:21，焦点(1,0)F和圆1)1(:222yxC，直线:(1)lyk x与1C，2C依次相交于11,A x y，22,B xy，33,C xy，44,D xy，（其中4321xxxx），则AB CD的值为（）A.1 B.2 C.24kD.2k【答案】A【解析】y2=4x，焦点 F（1，0），准线 l0：x=-1 由定义得：|AF|=xA+1，又|AF|=
11、|AB|+1，|AB|=xA，同理：|CD|=xD，l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，xAxD=1，则|AB|?|CD|=1 综上所述，|AB|?|CD|=1，故选 A点睛：本题主要考查抛物线的定义应用、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，利用抛物线定义表示出点到焦点的距离是关键.12.如图，点P在正方体1111ABCDA B C D的面对角线1BC上运动，则下列四个结论：三棱锥1AD PC的体积不变；1/A P平面1ACD；1DPBC；平面1PDB平面1ACD其中正确的结论的个数是()A.1 个B.2个C.3 个D.4 个【答案】C
12、【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【详解】对于，由题意知11/ADBC，从而1/BC平面1AD C，故BC1上任意一点到平面1AD C的距离均相等，所以以P为顶点，平面1AD C为底面，则三棱锥1AD PC的体积不变，故正确；对于，连接1A B，11AC，111/ACAD且相等，由于知：11/ADBC，所以11/BA C面1ACD，从而由线面平行的定义可得，故正确；对于，由于DC平面11BCB C，所以1DCBC，若1DPBC，则1BC平面DCP，1BCPC，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；对于，连接1DB，由1DBAC且11DBAD，可得1DB面1ACD，从而由面
13、面垂直的判定知，故正确故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想第卷（非选择题，共90 分）二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）.13.561xxx展开式的常数项为_.【答案】5【解析】【分析】写出展开式的通项，整理可知当4r时为常数项，代入通项公式求得结果.【详解】561xxx展开式的通项公式为：153056215511rrrrrrrTCxCxxx当153002r，即4r时，常数项为：44515C本题正确结果：5【点睛】本题考查二项式定理中的求解指定项系数的问题，属于基础题.14.如图，在正方
14、体1111ABCDA B C D中，点O为线段BD的中点.设点P在线段1CC上，直线OP与平面1A BD所成的角为，则sin的取值范围是 _.【答案】6,13【解析】【分析】由题意可得直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是111,22AOAC OA，再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出取值范围【详解】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是111,22AOAC OA，不妨取AB=2在RtAOA1中，sinAOA1=1126342AAAO，sinC1OA1=1111sin2sin22sincosAOAAOAAOAAOA632 2623333，sin的取值范围是6,1
15、3.【点睛】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题15.如图，设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，coscossinaCcAbB，且.6CAB若点D是ABC外一点，2DC，3DA，则当四边形ABCD面积最大值时，sinD_【答案】772【解析】分 析：由 正 弦 定 理，两 角 和 的 正 弦 函 数 公 式，三 角 形 内 角 和 定 理 化 简 已 知 等 式 可 得2sin()sinsin1.2ACBBB，根据范围B（0，），可求 B的值由余弦定理可得AC2=1312cosD，由 ABC为直角三角形，可求，238ABCSA
16、C,SBDC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为133631333 cos+3sinsin38228DDD，利用三角函数化一公式得到最值时的角C值.详解：cosCcossinacAbB，由正弦定理得到2sin()sinsin1.2ACBBB在三角形ACD中由余弦定理得到21312cosACD，三角形ABC的面积为213313333 cos24882ACACACD四边形的面积为133631333 cos+3sinsin38228DDD当三角形面积最大时，32 7sin()1,sincos7632DD故答案为：2 77点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内
17、角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题16.对于函数()yf x，若存在区间,a b，当,xa b时的值域为,(0)ka kb k，则称()yfx为k倍值函数.若()lnxfxx是k倍值函数，则实数k的取值范围是_.【答案】1(1,1)e【解析】试题分析：由题意得ln xxkx有两个不同的解，ln1xkx，则21ln0 xkxex，因此当0 xe时，1(,1)ke，当xe时，1(0,1)ke，从而要使ln xxkx有两个不同的解，需1(0,1)ke考点：函数与方程【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先
18、要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.三、解答题（共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答）.17.已知数列nb的前n项和为nS，2nnSb，等差数列na满足123b a，157ba（）求数列na，nb的通项公式；（）证明：1 22313nna ba ba b.【答案】（）1nan,112nnb；（）详见解析.【解析】【分析】（）根据1nnnbSS，整理可得
19、121nnbb，从而可知nb为等比数列，将1n代入2nnSb可求得1b，根据等比数列通项公式求出nb；将123b a，157ba化为1a和d的形式，求解出基本量，根据等差数列通项公式求得na；（）利用错位相减法求解出12231332nnnna ba ba b，由302nn可证得结论.【详解】（）2nnSb当1n时，1112bSb11b当2n时，1122nnnnnbSSbb，整理得：121nnbb数列nb是以1为首项，12为公比的等比数列121nnb设等差数列na的公差为d123b a，157ba11346adad，解得：121ad112111naandnn（）证明：设2122311112312
20、22nnnnTaba ba bn23111112312222nnTn两式相减可得：23111111111111421111122222212nnnnnTnn13322nnnnnT233即12231332nnnna ba ba b302nn122313nna ba ba b【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题，属于常规题型.18.如图所示，在四棱锥PABCD中，ABPC，ADBC，ADCD，且2PCBCAD22 2CD，2PA(1)PA平面ABCD；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为60？如果存在，求PMPD的值；如果不存
21、在，请说明理由【答案】(1)见证明 (2)见解析【解析】【分析】（1）推导出ABAC，APAC，ABPC，从而AB平面PAC，进而PAAB，由此能证明PA平面ABCD；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M，使得二面角MACD的大小为60，PMPD423【详解】（1）在底面ABCD中，ADBC，ADCD且222 2BCADCD2ABAC，2 2BCABAC又ABPC，ACPCC，AC平面PAC，PC平面PACAB平面PAC又PA平面PACABPA2PAAC，2 2PCPAAC又PAAB，ABACA，AB平面ABCD，A
22、C平面ABCDPA平面ABCD（2）方法一：在线段AD上取点N，使2ANND则MNPA又由（1）得PA平面ABCDMN平面ABCD又AC平面ABCDMNAC作NOAC于O又MNNON，MN平面MNO，NO平面MNOAC平面MNO又MO平面MNOACMO又ACNOMON是二面角MACD的一个平面角设PMxPD则122MNx APx，2222ONANxADx这样，二面角MACD的大小为60即tan MON22tan603MNxONx即42 3PMxPD满足要求的点M存在，且42 3PMPD方法二：取BC的中点E，则AE、AD、AP三条直线两两垂直可以分别以直线AE、AD、AP为x、y、z 轴建立空
23、间直角坐标系且由（1）知0,0,2AP是平面ACD的一个法向量设0,1PMxPD则122MNx APx，2ANxADx0,2,22AMxx，2,2,0AC设,AQa b c是平面ACM的一个法向量则2220220AQ AMxbx cAQ ACab222abxcbx令22bx，则22,22,2AQxxx，它背向二面角又平面ACD的法向量0,0,2AP，它指向二面角这样，二面角MACD的大小为60即cos,AP AQAP AQAPAQ22222222222xxxx1cos602即42 3x满足要求的点M存在，且42 3PMPD【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，
24、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19.随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50 人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.年龄（单位：岁）15，25)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75频数5 10 15 10 5 5 赞成人数5 10 12 7 2 1（）若以“年龄45 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；年龄不低于45 岁的人数年龄低于45 岁的人数合计赞
25、成不赞成合计（）若从年龄在45,65)的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5 人进行追踪调查，在5 人中抽取 3 人做专访，求3 人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.参考数据：20()P Kk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22()()()()()n adbcKab cdac bd，其中nabcd.【答案】（）详见解析；（）详见解析.【解析】【分析】（）根据频数分布表补全列联表，代入公式可求得29.986.635K，从而可知有99%的把握；（）
26、根据分层抽样的方法可知抽取的5人中，支持微信支付3人，不支持微信支付2人，根据超几何分布的特点求得分布列和数学期望.【详解】（）由频数分布表得22列联表如下：年龄不低于45 岁的人数年龄低于 45 岁的人数合计赞成102737不赞成10313 合计2030502250(3 1027 10)9.9796.6353730 1320K有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关（）年龄在45,65中支持微信支付9人，不支持微信支付6 人由分层抽样方法可知：抽取的5人中，支持微信支付3人，不支持微信支付2人设3人中不支持微信支付的人数为，则所有可能的取值为：2,1,033351010CPC，
27、213235631105C CPC，1232353210C CPC的分布列为：012P10135103()0 0.1 1 0.620.31.2E【点睛】本题考查独立性检验、超几何分布的分布列和数学期望的求解，对于学生的基础计算能力有一定的考查，属于常规题型.20.已知椭圆2222:10 xyCabab的两个焦点分别为1F、2F，221FF，点Q在椭圆上，且12QF F的周长为6（）求椭圆C的方程；（）若点P的坐标为2,1，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线，求221213|1316ABd的最大值.【答案】（）13422
28、yx；（）523.【解析】【分析】（）根据焦距和焦点三角形周长可求得,a c，利用222cab求得b，从而可得椭圆的方程；（）当直线l斜率不存在时，可判断出M，O，P三点不共线，不符合题意；所以可假设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出12xx和12x x；由三点共线得到斜率相等关系，从而可求得32k；利用弦长公式和点到直线距离公式求得AB和d，代入可整理出：22212133452|1316433ABdm，可知当34m时取最大值.【详解】（）由题意得：22c，622ca解得：2a，1c3222cab椭圆C的方程为13422yx（）设11,A x y，22,B xy当直线l与x轴垂直时
29、，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件故可设直线l的方程0ykxm m由223412ykxmxy，消去y整理得：2223484120kxkmxm则2222644 344120k mkm122834kmxxk，212241234mx xk点M的坐标为2243,3434kmmkkM，O，P三点共线OMOPkk2231344234mkkmk0m32k此时方程为：223330 xmxm，则23 120m2 3,23m则12xxm，21233mx x2222121213141212kxxx xmAB又22|82|2|4|1332mmd222224121
30、33452|1213164433mABdmm当42 3,2 33m时，2212131316ABd的最大值为523【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆综合应用中的求解最值的问题，解决直线与椭圆综合问题时，常采用联立的方式整理出韦达定理的形式，利用韦达定理表示出所求的距离或弦长，从而将所求问题转变为函数最值的求解问题.21.已知aR，函数2ln12fxxxax（）若函数fx在2,上为减函数，求实数a的取值范围；（）设正实数121mm，求证：对)1()(fxf上的任意两个实数1x，2x，总有11221122f m xm xm fxm fx成立【答案】（）11,3；（）详见解析.【解析】【分
31、析】（）将问题转化为0fx在,2x上恒成立，可得112xxa，令121h xxx，可判断 出h x在2,上 单 调 递 增，即min2h xh，从 而 可 得a的 范 围；（）构 造 函 数122122()F xfmxm xm f xm fx，21,xx，且121xx；利用导数可判断出F x在21,xx上 是 减 函 数，得 到2F xF x，经 验 算 可 知20F x，从 而 可 得122122f m xm xm fxm fx，从而可证得结论.【详解】（）由题意知：121fxxax函数fx在2,上为减函数，即0fx在,2x上恒成立即：112xxa在,2x上恒成立设121h xxx当2x时，
32、11x单调递减，2x单调递增h x在2,上单调递增min1112433h xh113a即a的取值范围为：11,3（）设121xx，令：122122()F xfmxm xm f xm fx，21,xx则21221220F xfmmxmmfx112211122Fxm fm xm xm fxmfm xm xfx1221222222210mxm xxx mm xm xm xmxx122m xm xx121fxxax，令g xfx，则21201gxxfx在1,x上为减函数122fm xm xfx11220mfm xm xfx，即0FxF x在21,xx上是减函数2()0F xF x，即0F x12212
33、20f m xm xm fxm fx21,xx时，122122fmxm xm fxm fx121xx11221122f m xm xm fxm fx【点睛】本题考查利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式成立的问题.本题证明不等式的关键是能够通过构造函数，将问题转化为求解新函数单调性和最值的问题，根据最值可证得对应的结论.请考生在第22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4cos，将曲线C向左平移2个单位长度得到曲线D.（1）求曲线D的参数方程；（2）
34、已知P为曲线D上的动点，,A B 两点的极坐标分别为(3,0),(23,)6，求AP BP的最大值.【答案】（1）曲线D的参数方程为2cos2sinxy（为参数）；（2）132 39.【解析】试 题 分 析：（1）题 设 给 出 的 是 曲 线C的 极 坐 标 方 程，把 它 变 形 为24cos后 利 用222,cosxyx把后者化为2224xy，向左平移2 个单位长度后得到曲线D，其方程为224xy，其参数方程为2cos2sinxy（为参数）.（2）,A B 两点的直角坐标为3,0,3,3，利用（1）算出的曲线D的参数方程计算132 3sin12cosAP BP，利用辅助角公式可以求其最大
35、值.解析：（1）2224cos,4cos,4xyx,则曲线C的直角坐标方程为2224xy，易知曲线C为圆心是2,0，半径为2的圆，从而得到曲线D的直角坐标方程为224xy，故曲线D的参数方程为2cos2sinxy为参数.（2）,A B 两点的直角坐标分别为3,033，依题意可设sin2,cos2P，则2cos3,2sin,2cos3,2sin3APBP，22cos32sin2sin342 3 sin12cos9AP BPaa132 39sin，故AP BP的最大值为132 39.23.已知函数2fxxax（1）若4a求不等式6fx的解集；（2）若3fxx的解集包含0,1，求实数a的取值范围【答案】(1),06,;(2)10a.【解析】试题分析：（1）当4a时，6fx，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为,06,；（2）3fxx等价于23xaxx，即11xax在0,1上恒成立，即10a.试题解析：（1）当4a时，6fx，即2426xxx或24426xxx或4426xxx，解得0 x或6x，不等式的解集为,06,；（2）原命题等价于3fxx在0,1上恒成立，即23xaxx在0,1上恒成立，即11xax在0,1上恒成立，即10a，实数a的取值范围为1,0考点：不等式选讲