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1、山东省 2020 年高考数学一轮考点扫描专题 24 正弦定理与余弦定理的应用一、【知识精讲】1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图 2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.微点提醒 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系
2、弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.二、【典例精练】考点一求距离、高度问题角度 1 测量高度问题【例 11】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 30的方向上，行驶 600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD_m.【答案】1006【解析】由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得600sin 45 BCsin 30，解得BC3002(m
3、).在 RtBCD中，CDBCtan 30 3002331006(m).【解法小结】1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.角度 2 测量距离问题【例 12】如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花 2 个小时的时间进行徒步攀登，已知ABC120，A
4、DC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250 米，请问：两位登山爱好者能否在2 个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)【解析】在ABD中，由题意知，ADBBAD30，所以ABBD1 km，因为ABD120，由正弦定理得ABsin ADBADsin ABD，解得AD3 km，在ACD中，由AC2AD2CD22ADCDcos 150，得 93CD22332CD，即CD2 3CD60，解得CD3332 km(负值舍去)，BCBDCD3312 km，两个小时小王和小李可徒步攀登1 2502 2 500 米，即 2.5 千米，而33121，则ABC是()
5、A锐角三角形 B 直角三角形C钝角三角形 D 无法确定【答案】A【解析】因为A和B都为三角形中的内角，由 tan Atan B1，得 1tan Atan B0，tan B0，即A，B为锐角，所以 tan(AB)tan Atan B1tan Atan Bc,则=()A.B.2 C.3 D.【答案】B 10.(2018 衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100 米，BAC60，其中A到C的距离比B到C的距离远40 米.A地测得该仪器在C
6、处的俯角为OAC15，A地测得最高点H的仰角为HAO30，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210(62)米B.1406米C.2102米D.20(62)米【答案】B【解析】由题意，设ACx米，则BC(x40)米，在ABC内，由余弦定理：BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)2x210 000 100 x，解得x 420(米).在ACH中，AC420 米，CAH301545，CHA903060，由正弦定理：CHsin CAHACsin AHC.可得CHACsin CAHsin AHC 1406(米).11.(2018山东济宁二模,12)在ABC中,内角 A,B,C 所对的边分别
7、为a,b,c,且 acos B-bcos A=c,则 tan(A-B)的最大值为()A.B.C.D.【答案】A 12(2019 届高三台州中学检测)在ABC中，若AB1，BC2，则角C的取值范围是()A.0，6B.0，2C.6，2D.6，2【答案】A【解析】因为cAB1，aBC2，bAC.根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1b3，根据余弦定理cos C12ab(a2b2c2)14b(4 b2 1)14b(3 b2)34bb4143bb23232.所以 0C6.故选 A.13.(2019 届湖北重点中学开学测试)ABC 的面积 S=(a2+b2-c2),则角 C的大小为.【答案】45
8、14.(2019 届山西康杰中学等名校9 月联考)在ABC中,内角 A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,且 asin A+bsin B-csin C=bsin A,若 c=2,则ABC面积的最大值为.【答案】2+15.(2019届安徽黄山11 月八校联考)在ABC 中,B=60,b=,则当c+2a 取最大值时,sin C=.【答案】16.(2019 届高三西湖区校级模拟)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 2cos2A3sin 2A2，b1，SABC32，则A_，bcsin Bsin C_.【答案】3，2【解析】2cos2A3sin 2A2，cos 2A3sin 2A
9、1，sin2A612，0A0),则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,得+=,变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由 A+B+C=,得 sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以 sin Asin B=sin C.(2)由已知及余弦定理,得 cos A=.所以 sin A=.由(1)中 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,得 sin B=cos B+sin B,故 tan B=4.22.(2019 届湖北、山东重点中学一联)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C 所对的边,已知 acos A=R,其中 R为ABC外接圆的半径,S 为ABC的面积,a2+c2-b2=S.(1)求 sin C;(2)若 a-b=-,求ABC的周长.【解 析】(1)由 正 弦 定 理 得a=2Rsin A,由 已 知 得2Rsin Acos A=R,sin 2A=1.又02A2,2A=,则 A=.S=acsin B,a2+c2-b2=acsin B,由余弦定理得2accos B=acsin B,tan B=.又 0B,B=.sin C=sin(A+B)=sin=.(2)由正弦定理得=,a-b=-,c=,ABC的周长为a+b+c=+.