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1、湖北省 2020 届高三上学期第二次月考精编仿真金卷数学（理）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集1,2,3,4,5,6U，集合1,3,5P，1,2,4Q，则()UPQ（）A1B3,5C 1,2,4,6D1,2,3,4,52在复平面内，复数12iiz对应的点位于（）A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限3已知双曲线22221(0,0)xyabab的焦距为4 2，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（）A2B4C 6D84已知变量x，y满足约束条件236133xyyxxy，则目标函数2zxy的最小值为（）A9B7C
2、5D35将函数2sin(2)6yx的图像向左平移6个单位，得到函数()yf x的图像，则下列关于函数()yf x的说法正确的是（）A()f x是奇函数B()f x的周期是2C()f x的图像关于直线12x对称D()f x的图像关于点(),04对称6中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如右图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则56846可用算筹表示为（）ABC D7已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲
3、面所围成的几何体的体积为（）A2 23B4 23C 2 2D428德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法，在其年幼时，对123100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法现有函数2()(0)36057xfxmm，则(1)(2)(3)(2018)ffff m等于（）A20183mB240363mC 40366mD240376m9 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积138cos2SC，且2a，3b，则c（
4、）A2B5C 6D710函数2()22xxf xx的图象大致为（）ABCD11设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(0)ypx p上任意一点，M是线段PF上的点，且|2|PMMF，则直线OM的斜率的最大值为（）A22B23C 33D112已知11,10(1)(),01xf xf xxx，若方程()21f xaxa有唯一解，则实数a的取值范围是（）A2(,)3B2,)3C 28,)3D2 8(,)3第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13已知平面向量(2,1)a，(1,)xb，若ab，则x_145(3)(2)xyxy的展开式中，含24x y项的系数为 _（用数字作答）15若圆22
5、:480C xyx，直线1l过点(1,0)且与直线2:20lxy垂直，则直线1l截圆C所得的弦长为 _16瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，ABC的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为ABC的欧拉三角形如图，111ABC是ABC的欧拉三角形（H为ABC的垂心）已知3AC，2BC，tan2 2ACB，若在ABC内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为 _三、解答题：本大题共6 大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）已知数列na的前n项和nS，满足2nnSan，记1nnba（1）求1b，2b，3b；（2）判断数列nb是否为等比数列，并说
6、明理由；（3）求数列na的通项公式18（12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACAB，4ACAB，16AA，点E，F分别为1CA和AB的中点（1）证明：EF平面11BCC B；（2）求1B F与平面AEF所成角的正弦值19 （12 分）已 知 点00(,)M xy为 椭 圆22:12xCy上 任 意 一 点，直 线00:22lx xy y与 圆22(1)6xy交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点（1）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；（2）求证：直线l与椭圆C相切；（3）判断AFB是否为定值，并说明理由20（12 分）已知函数321()ln2f xxxaxax，aR（1）当0a时，
7、求()f x的单调区间；（2）若函数()()f xg xx存在两个极值点1x，2x，求12()()g xg x的取值范围21（12 分）有一名高二学生盼望2020 年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：2020 年 2 月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019 年 10 月省数学竞赛一等奖中选拔）：2020 年 3月自主招生考试通过并且达到2020 年 6 月高考重点分数线，2020 年 6 月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表省数学竞赛一等奖自主招生通过高考达重点
8、线高考达该校分数线05 06 09 07 若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是02若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按、顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）（1）求该学生参加自主招生考试的概率；（2）求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；（3）求该学生被该校录取的概率请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为126126xmmymm(m为参数)，以坐标原点为极点，x轴的
9、正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()13（1）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；（2）已知点2,0M，若直线l与曲线C交于P，Q两点，求11MPMQ的值23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】函数21()(1)4fxx（1）证明：()|()2|2fxfx；（2）若存在xR，1x，使得21()|1|4()f xmmf x成立，求m的取值范围一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】C【解答】根据补集的运算得2,4,6UP，2,4,61,2,41,2,6)4(,UPQ，故选 C2【答案】D【解答】由题
10、意可得2212ii2ii22iii1z，则复数z对应的点为(2,1)，位于第四象限3【答案】B【解答】因为双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线为byxa，因为两条渐近线互相垂直，所以2()1ba，得ab，因为双曲线焦距为4 2，所以2 2c，由222cab，可知228a，所以2a，所以实轴长为24a4【答案】B【解答】根据约束条件236133xyyxxy画出可行域，如图所示，ABC内部（含边界）为可行域，2zxy，化为1122yx，为斜率是12的一簇平行线，12z是其在y轴上的截距，当经过B点时，截距最小，即z最小，解133yxxy，得32xy，即(3,2)B，此时min32(2
11、)7z5【答案】D【解答】函数2sin(2)6yx的图象向左平移6个单位，得到函数()sin(2()sin(2)cos2662yf xxxx的图象，可得函数()yf x是偶函数且周期为，所以选项A、B错误，又()04f6【答案】B【解答】根据算筹横式与纵式的区别，56846可以表示为B7【答案】B【解答】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，22114 222(2)2333VRh8【答案】A【解答】21222(2017)(1)(2)(3)(2018)360573605736057mffff mmmm2(2018)36057mm，又2(2018)2(2017)22(1)(2)(3)(2018)3
12、60573605736057mmffff mmmm2136057m，两式相加可得240362018(1)(2)(3)(2018)63mmffff m9【答案】C【解答】由16138sinsincos222SabCCC，所以tan23C，即sin23cosCC，由22sincos1CC，且(),2C，6cos12C，由余弦定理得2222cos6cababC，6c10【答案】B【解答】2()22()xxfxxf x，则()f x是偶函数，排除C，17(3)9 8088f，排除 A，11(5)2532703232f，排除 D，故选 B11【答案】A【解答】由题意可得(,0)2pF，设200(,)2y
13、Pyp，0(0)y，则1112()3333OMOFFMOFFPOFOPOFOPOF200(,)633yypp，可得02000001123222632ykypypy ppyppy，当且仅当002yppy时取得等号12【答案】D【解答】11,10(1)(),01xf xf xxx，11,10()1,01xf xxxx，方程()21f xaxa进行整理得1()2()12f xa x，作出函数11,10()1,01xyf xxxx的图像，如图所示直线21yaxa恒过(1,12)，即直线绕点(1,12)旋转，当直线过点(1,1)时，23a；当直线21yaxa与曲线11(10)1yxx相切时，设切点00(
14、,)xy，21()(1)fxx，则切线斜率为201)1(kx，切线方程为020011()(1)11()yxxxx，代入过点(1,12)，得02001111()(1)12)1(xxx，解得034x，此时斜率为16k，可求得8a根据图像可知当23a或8a时，方程()21f xaxa有唯一解第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13【答案】12【解答】由向量平行的充分必要条件可得21(1)0 x，解得12x14【答案】110【解答】依题意可知，所求系数为122551 C23C211015【答案】2 15【解 答】依 题 意，由22:480C xyx，得 圆 心 坐 标 为(2,4)，半 径
15、为2 5，设 直 线1:20lxym，将点(1,0)的坐标代入，解得1m，故直线1:210lxy，圆心到直线1l的距离5d，故弦长为2 2052 1516【答案】764【解答】因为tan22ACB，所以1cos3ACB，又因为3AC，2BC，由余弦定理可得3AB，取BC的中点O，则OABC，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则(1,0)B，(1,0)C，(0,22)A，设(0,)Hy，因为BHAC，所以22111y，所以24y，从而11111272(22)222432A B HS，故所求概率为7 27321642 2 22，故答案为764三、解答题：本大题共6 大题，共70 分，解答应写出
16、文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）12b，24b，38b；（2）是等比数列，见解析；（3）21nna【解答】（1）令1n，则1121Sa，故11a，2nnSan，112(1)(2)nnSann，11122(1)221(2)nnnnnnnSSaananaan，121(2)nnaan21213aa，1112ba，2214ba，3318ba（2）数列nb是等比数列证明如下：1nnba，121nnaa，1111(21)2(1)2nnnnnbaaab，又120b，数列nb是首项为2，公比为2的等比数列（3）由（2）知1222nnnb，又1nnba，121nnnab18【答案】（1）证明见解析
17、；（2）13065【解答】（1）证明：直三棱柱111ABCA BC中，ACAB，可以以1A为顶点建立空间坐标系如图，4ACAB，16AA，点E，F分别为1CA和AB的中点，取11BC中点D，1(0,0,0)A，(2,2,0)D，(2,0,3)E，(0,2,6)F，在111ABCRt中，111ADBC，1AD平面11BCC B，1AD为平面11BCC B的一个法向量，而(2,2,3)EF，1(2,2,0)AD，1440EF AD，1EFAD，又EF平面11BCC B，EF平面11BCC B（2）易知(0,0,6)A，1(0,4,0)B，(0,2,0)AF，1(0,2,6)B F，设(,)x y
18、zn是平面AEF的一个法向量，则20AFyn，2230EFxyzn，取1x，则0y，23z，即2(1,0,)3n，设1B F与平面AEF所成角为，则1114130sin|cos,|65|13403B FB FB Fnnn，故1B F与平面AEF所成角的正弦值为1306519【答案】（1）22e，(1,0)F；（2）证明见解析；（3）是为定值，见解析【解答】（1）由题意2a，1b，221cab，所以离心率22cea，左焦点(1,0)F（2）由题知，220012xy，即220022xy，当00y时，直线l方程为2x或2x，直线l与椭圆C相切，当00y时，由22001222xyx xy y，得222
19、20000(2)4440yxxx xy，即22002220 xx xy，所以22220000(2)4(22)4880 xyxy，故直线l与椭圆C相切（3）设11(,)A x y，22(,)B xy，当00y时，12xx，12yy，12x，2222211111(1)(1)6(1)240FA FBxyxxx，所以FAFB，即90AFB，当00y时，由2200(1)622xyx xy y，得22220000(1)2(2)2100yxyxxy，则20012202(2)1yxxxy，2012202 101yx xy，220000121212222200005441()4222xxxxy yx xxxyy
20、yy，因为1122121212(1,)(1,)1FA FBxyxyx xxxy y2222220000000022200042084225445(2)100222222yyxyxxxyyyy所以FAFB，即90AFB，故AFB为定值9020【答案】（1）函数()f x在1(0,)e递减，在1(,)e递增；（2）(,3ln 4)【解答】（1）当0a时，()lnf xxx，()ln1fxx，令()0fx，解得10 xe；令()0fx，解得1xe，故函数()f x在1(0,)e递减，在1(,)e递增（2）2()1()ln2f xg xxaxaxx(0)x，21()axaxgxx，由题意知：1x，2x
21、是方程()0g x的两个不相等的正实根，即1x，2x是方程210axax的两个不相等的正实根，故21212401010 aaxxx xa，解得4a，221211122211()()()lnln22t ag xg xaxaxxaxaxx212121212112()ln()ln122a xxx xa xxx xaa，是关于a的减函数，故()(4)3ln 4t at，故12()()g xg x的范围是(,3 ln 4)21【答案】（1）09（2）分布列见解析；数学期望33；（3）0838【解答】（1）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A，B，则()0.5P A，()0.2P
22、B，1()()PP AP AB10.50.5(1 0.2)0.9即该学生参加自主招生考试的概率为09（2）该该学生参加考试的次数X的可能取值为2，3，4，(2)()()0.5 0.20.1P XP A P B；(3)()10.50.5P XP A；(4)()()0.5 0.80.4P XP A P B所以X的分布列为X2 3 4 P0 1 0 5 04()20.1 30.540.43.3E X（3）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为C，D()0.1P AB，()0.9 0.6 0.90.486P C，()0.9 0.40.70
23、.252P D，所以该学生被该校录取的概率为2()()()0.838PP ABP CP D22【答案】（1）2233144xy，320 xy；（2）3 34【解答】（1）将126126xmmymm两式相加，可得4xym，两式相减，可得13xym，整理可得2233144xy，故曲线C的普通方程为2233144xy，依题意，得直线l：13(cossin)122，即cos3 sin2，所以直线l的直角坐标方程为320 xy（2）设直线322:12xtlyt（t为参数），代入2233144xy中，得2312 3160tt，212 343 162400，设P，Q对应的参数分别为1t，2t，则124 3tt，1 2163t t，所以121 2113 34MPMQttMPMQMPMQt t23【答案】（1）证明见解析；（2）13m或02m或13m【解答】（1）21()(1)04f xx，()|()2|()|2()|()2()|2|2f xf xf xf xf xf x（2）当1x时，21()(1)04f xx，所以11()2()14()4()yfxf xf xf x，当且仅当1()4()fxfx，12x时，取等号，因为存在xR，1x，使得21()|1|4()f xmmf x成立，所以2|1|1mm，所以13m或02m或13m