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1、四川省资阳市2020 届高三第一次诊断性考试试题数学（文）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知集合1 0 1 2 3M，|02Nxx，则 MNA 1 0 1 2，B 1 0 1，C 0 1 2，D 0 1，【答案】C【解析】据题意得：1 0 1 2 3M，|02Nxx，MN0 1 2，.【点睛】先解不等式，化简集合M，N，从而可判定集合的包含关系本题以集合为载体，考查集合之间的关系，解题的关键是解不等式化简集合2 复数2i12iA iBiC4i5D4i5【答案】C【解析】据已知得：2i12iiiiiiii5252
2、21212122【点睛】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 已知向量(1,2)a，(1)m，b，若 ab，则 mA2B12C12D2【答案】C【解析】据已知得：(1,2)a，(1)m，b，所以有，2m=1,m=12.【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的平行的运算，属于基础题4 在等差数列 na中，若2466aaa，则35aaA2 B 4 C6 D 8【答案】B【解析】据已知得：2466aaa，所以24a，35aa42a=4.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和和等差中项，是基础的计算题5 已知 abR，
3、则“0ab”是“11ab”的A充分不必要条件B必要比充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由题意可得：后面化简：11ab0abab;0;0;0bababa三种情况，相对于前面来说，是大范围。所以选A【高考考点】考查充分必要条件，小技巧，小大，小是大的充分不必要条件.6 执行右图所示的程序框图，则输出的nA3 B4 C5 D6【答案】C【高考考点】考查程序框图的逻辑推理能力7 已知1.22a，0.43b，8ln3c，则AbacBabcCbcaDacb【答案】B【解析】从题意得：1.22a4,2，0.43b3,1，8ln3c1。所以 B为正确答案.【点睛】指数或者对数比较大小，
4、考查学生对指数与对数的图像与性质的灵活处理能力，需要学生抓住定点。算出所在区间在去比较大小。8 函数3()e1xxf x的图象大致是【答案】D 9 已知角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将的终边按顺时针方向旋转4后经过点(3 4)，则tanA7B17C17D7【答案】A 10若函数()sin(2)f xx（0）的图象关于点(,0)3对称，则的最小值为A12B6C3D12【答案】C【解析】.,2Zkkx,32k最后算出。C为正确答案【点睛】考查三角函数的图像与性质，是比较中等题目。11已知|2ab，3，a b若|1cab，则|c 的取值范围是A1322，B1522，C 2 3，D
5、1 3，【答案】D【点睛】考查平面向量的概念，平面向量的线性运算，平面向量的的数量积以及最大值最小值的讨论。解决此类问题，要多注意平面向量的性质，做题一定要数行结合 12.定义在 R上的可导函数()f x 满足(2)()22fxf xx，记()f x 的导函数为()fx，当1x时恒有()1fx若()(12)31f mfmm，则m的取值范围是A(,1B1(,13C 1,)D1 1,3【答案】D【解 析】构 造 函 数()(12)31f mfmm)21()21()(mmfmmf，所 以 构 造 函 数xxfxF)()(，(2)()22fxfxxxxfxxf)()2()2(，)()2(xFxF所 以
6、)(xF的 对 称 轴 为1x，1)()(xfxF所 以，)(,1xFxFx是 增 函 数；)(,0,1-xFxFx是减函数。|1-2m-1|1-m|，解得：31,1-m【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构函数以及对称轴的性质。难度比较大。二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13求值：331log 15log 252_【答案】1【解析】331log 15log 2523log3=1【点睛】考查对数的运算性质，比较简单。14已知x，y满足0421.xxyxy，若2xy 的最小值为 _【答案】5 15等比数列 na的前n项和为nS 已知37S，663S，则9S_【答案】5
7、11【解析】等比数列na的前n项和为nS 所以.,69363SSSSS还是等比数列。所以693236SSSSS?,解得：511【点睛】考查等比数列，等比数列的前n 项和nS。16已知当x且tan2时，函数()sin(cossin)f xx axx 取得最大值，则a的值为 _【答案】34【解析】由题意可得：,2sin414)sincos(sin)(2axxaxxf其中a1tan，211sina，21cosaa.因为tan2.532cos,542sin,2sin414)sincos(sin)(2axxaxxf要取得最大值，1)2sin(，,1sin2coscos)2sin(带入以上所求，化简：01
8、62492aa，解：.34a三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17.（12 分）已知函数()sin(2)cos(2)63f xxx（1）求()f x 在 0，上的零点；（2）求()f x 在 44，上的取值范围【答案】（1）512，1112（2）3 2，【解析】（1）3113()sin2cos2cos2sin22222f xxxxx，3sin 2cos22sin(2)6xxx令()0f x，即sin(2)06x，则26xk，kZ，得1212xk，k
9、Z，由于0 x，令1k，得512x；令2k，得1112x所以，()f x 在 0，上的零点为512，1112（2）由44x，则 22,633x所以，3sin(2)126x，故()f x 在44，上的取值范围是3 2，18.（12 分）已知等差数列na的前n项和为nS，11a，且445Saa（1）求na；（2）求数列 2nna的前n项和nT【答案】（1）21nan，（2）2332nnnT【解析】（1）设公差为d，由445Saa，得111434342adadad，即4627dd，解得2d，所以，21nan（2）由题23135212222nnnT，两边同乘以12，有234+111352122222n
10、nnT，两式相减，得234+1112222212222222nnnnnTT1+111(1)12142212212nnn+132322nn所以，2332nnnT19（12 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知sinsin()3bAaB（1）求角B的大小；（2）若4b，求 ac 的最大值【答案】（1）3B（2）ac 的最大值为8【解析】（1）由sinsin()3bAaB，根据正弦定理，有sinsinsinsin()3BAAB，即有13sinsin()sincos322BBBB，则有 tan3B，又0B，所以，3B（2）由（1）3B，根据余弦定理，得22162cos3acac，
11、即216()3acac，所以2222116()3()3()()24acacacacac，所以，8ac，当且仅当4ac时，取故ac的最大值为820（12 分）已知函数2()221f xaxx，且函数(1)f x为偶函数（1）求()f x 的解析式；（2）若方程()exmf x有三个不同的实数根，求实数m的取值范围【答案】（1）2()21f xxx，（2）4(0,)e【解析】（1）由题可知a0，所以函数2()221f xaxx的对称轴为12xa，由于(1)yf x是偶函数，所以(1)(1)fxf x，即2()221f xaxx关于x1 对称，所以112a，即12a所以2()21f xxx（2）方程
12、()exmf x有三个不同的实数根，即方程e()xmf x 有三个不同实数根令()e()xg xf x，由（1）有2()(21)exg xxx，所以2()(1)exgxx，令()0gx，则1x或1x 当1x时，()0g x；当11x时，()0gx；当1x时，()0g x故当1x时，()g x 单调递增；当11x时，()g x 单调递减；当1x时，()g x 单调递增所以，当1x时，()g x 取得极大值4(1)eg；当1x时，()g x 取得极小值(1)0g又由于()0g x，且当 x时，()0g x；当 x时，()g x所以，方程e()xmf x有三个不同实数根时，m的范围是4(0,)e 2
13、1（12 分）已知函数2()ln(1)1f xaxa xbx在点(1(1)f，处的切线与y轴垂直（1）若a1，求()f x 的单调区间；（2）若0ex，()0f x 成立，求 a 的取值范围【答案】（1）当(0,1)x时，()0fx，fx为增函数，当(1,)x时，()0fx，fx为减函数.（2）22e2e1,)ee1【解析】（1）()2(1)afxa xbx，由题(1)2(1)0faab，解得2ab，由a1，得b=1.因为fx的定义域为(0,)，所以1(1)()1xfxxx，故当(0,1)x时，()0fx，fx为增函数，当(1,)x时，()0fx，fx为减函数，（2）由（1）知b2a，所以22
14、(1)(1)2(1)(2)()2(1)(2)a xaxaa xaxafxa xaxxx.（i）若1a，则由（1）知max(1)0fxf，即0fx 恒成立（ii）若1a，则2(1)(1)2(1)(1)2(1)()aaxxa xaxafxxx且02(1)aa，当(0,1)x时，()0fx，fx为增函数；当(1,)x时，()0fx，fx为减函数，max(1)0fxf，即0fx 恒成立（iii）若213a，则2(1)(1)2(1)(1)2(1)()aaxxa xaxafxxx且12(1)aa，故当(0,1)x时，()0fx，fx为增函数，当(1,)2(1)axa时，()0fx，fx为减函数，当(,)2
15、(1)axa时，()0fx，fx为增函数，由题只需e0f即可，即2(1)e(2)e+10aaa，解得22e2e1ee1a，而由2222e2e12(e2)10ee133e3e3，且222e2e12e10ee1ee1，得22e2e11ee1a（iv）若23a，则22(1)()03xfxx，fx 为增函数，且10f，所以(1,e)x，()10f xf，不合题意，舍去；（v）若23a，则12(1)aa，()fx 在(1,e)x上都为增函数，且10f，所以(1,e)x，()10f xf，不合题意，舍去；综上所述，a的取值范围是22e2e1,)ee1（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选
16、一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22212xtyt，（t 为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2241sin（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设(01)P，直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求|OPOQ【答案】（1）22142xy，（2）2 2|3OPOQPQ【解析】（1）直线l的普通方程为1yx由2241sin，得222sin4，则有2224xyy，即2224xy，则曲线C的直角坐标方程为22142xy（2）将l的参数方程
17、代入2224xy，得2322202tt，设其两根为12tt，则12tt，为M，N对应的参数，且12423tt，所以，线段MN的中点为Q对应的参数为122 223tt所以，22|3OPOQPQ23 选修 45：不等式选讲（10 分）已知 abcR，且1abc（1）求abc 的最大值；（2）证明：111(1)(1)(1)8abc【答案】（1）3，（2）【解析】（1）2()222abcabcabbcca()()()abcabbcca3()abc3当且仅当13abc取“”所以，abc 的最大值为3（2）111(1)(1)(1)(1)(1)(1)abcabcabcabcabcbc acababc222bcacababc8当且仅当13abc取“”10 分