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1、浙江省杭州外国语学校2019-2020 学年高二上学期期中考试试题数学一、选择题：每小题4 分，共 40 分1.直线310 xy的倾斜角是（）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.【详解】直线310 xy的斜率为331k，因此，该直线的倾斜角为23，故选 C.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.2.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三视图的成图原理，即长对正、宽相等、高平齐，可得四个
2、几何体的三视图。【详解】对，三视图均相同；对，主视图与侧视图相同；对，三个视图均不相同；对，主视图和侧视图相同。故选：D.【点睛】本题考查三视图的成图原理，考查空间相象能力，属于容易题。3.若,a b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是（）A.相交B.异面C.平行D.异面或相交【答案】D【解析】【详解】若为异面直线，且直线，则与可能相交，也可能异面，但是与不能平行，若，则，与已知矛盾，选项、不正确故选4.设 m,n 是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:若 m,n,则m n;；若 ,r,m,则m r;若 m,n,则m n;；若 r,r,则其中正确命题的序号是（）A.和B.
3、和C.和D.和【答案】A【解析】对于，因为n，所以经过n作平面，使l，可得nl，又因为m，l，所以ml，结合nl得mn由此可得是真命题；对于，因为且，所以，结合m，可得m，故是真命题；对于，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面是正方体下底面所在的平面，则有m且n成立，但不能推出mn，故不正确；对于，设平面、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故不正确综上所述，其中正确命题的序号是和，故选A5.已知圆22:40Cxyx与直线l切于点1,3P，则直线l的方程为（）A.320 xyB.340 xyC.340 xyD.320 xy【答案】A【解析】【分析】利
4、用点P与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率，即可求过点1,3P与圆 C相切的直线方程；【详解】圆22:40Cxyx可化为：2224xy，显然过点1,3P的直线1x不与圆相切，则 点P与 圆 心 连 线 的 直 线 斜 率 为03321，则 所 求 直 线 斜 率 为33，代 入 点 斜 式 可 得3313yx，整理得320 xy故选 A.【点睛】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题6.三棱锥PABC的高为PH，若三条侧棱两两垂直，则H为ABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心【答案】C【解析】【分析】先画三棱锥的直观图，三个侧面两两垂直，可看成正
5、方体的一角，根据 BC 面APH，而AH面APH，推出AHBC，同理可推出CHAB，得到H为ABC的垂心【详解】如图所示，三条侧棱两两互相垂直，可看成正方体的一角，则AP面PBC，而BC平面PBCAPBC而PH面ABC，BC面ABCPHBC，又APPHP，BC面APH，而AH面APH，AHBC，同理可得CHAB，故H为ABC的垂心。故选：C.【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质，以及棱锥的结构特征，求解时注意联想到补形法，考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题7.已知直线20axy与圆心为C的圆2214xya相交于,A B两点，且ABC为等边三角形，则实数a（）A.33B.1
6、3C.1或 7D.415【答案】D【解析】圆2214xya的圆心1,Ca（），半径2R，直线和圆相交，ABC为等边三角形，圆心到 直 线 的 距 离 为sin 603R，即22222311aaadaa，平 方 得2810aa，解 得415a，故选 D.8.如图所示，在正方形123SGG G中，EF，分别是1223G GG G，中点，现在沿SESFEF，把这个正方形折成一个四面体，使123GGG，三点重合，重合后的点记为G.给出下列关系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF上平面SEG.其中关系成立的有（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由线面垂直的判定定理得到SG平面EF
7、G，排除 C、D，再假设SE平面EFG，根据题意推出矛盾，排除 A，即可得出结果.【详解】由SGGESGGF，得SG平面EFG，排除 C，D；若SE平面EFG，则SGSE，这与SGSES矛盾，排除A，故选 B.【点睛】本题主要考查线面垂直，熟记判定定理与性质定理即可，属于常考题型.9.设点 M(m，1)，若在圆O:x2y21 上存在点N，使 OMN 30，则m的取值范围是()A.3，3 B.12，12 C.2，2 D.33，33【答案】A【解析】【分析】根据直线与圆位置关系，取临界处的关系研究极值情况，即可求得m的最值，进而求得m的取值范围【详解】当MN与圆 O相切时，为M的临界位置若 M在第
8、一象限，则12sin30OM所以3m所 M在第四象限，则3m所以 m的取值范围为33m所以选 A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及应用，注意用极限方法分析特殊位置，属于中档题10.已知四棱锥SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则（）A.123B.321C.132D.231【答案】D【解析】【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.【详解】设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过
9、O作ON垂直EF于N，连接SO、SN、OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此123,SENSEOSMO从而123tan,tan,tan,SNSNSOSOENOMEOOM因为SNSOEOOM，所以132tantantan,即132，选 D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.二、填空题：单空题每题4 分，多空题每题6 分11.已知过点2,Am和,4B m的直线与直线210 xy平行，则m的值为 _.【答案】-8【解析】分析】直线 AB与直线210 xy平行，即斜率相等，由斜率公式即可得到m的值.【详解】直线2x+y-1 0的斜率等于2，过点2,Am和,4B m的直线的
10、斜率也是2，由斜率公式得422ABmkm，解得m 8，故答案为-8【点睛】本题考查两条直线平行的条件，考查斜率公式，属基础题.12.直线221340mxmym，不管m怎样变化该直线恒过定点M，则M的坐标为_【答案】1,2【解析】【分析】将方程变形等价转化为(23)240m xyxy，联立230240 xyxy，求解得答案【详解】由(2)(21)(34)0mxmym，所以22340mxxmyym，即(23)240m xyxy联立230240 xyxy，解得12xyM的坐标为(1,2)故答案为：(1,2)【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点问题，属于基础题13.某空间几何体的三视图如
11、图所示（单位：cm），则该几何体的体积V_ 3cm【答案】26【解析】【分析】利用三视图还原几何体的直观图，再利用几何体的体积公式进行计算，求得结果【详解】根据几何体的三视图可得几何体的直观图，有一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示：所以几何体的体积为1 121 123 26V故答案为：26。【点睛】本题考查三视图和几何体直观图之间的转换、几何体的体积公式的应用，还原几何体的直观图主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型14.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 _cm2.【答案】(24 2)【解析】【分析】利用球
12、的直径等于四棱柱的对角线，求出棱柱的高，从而可得结果.【详解】设正四棱柱的高为h，因为球的直径等于四棱柱的对角线，所以22221122hh，所以该棱柱的表面积为(24 2)，故答案为(24 2).【点睛】本题主要考查棱柱与球的内接问题，考查了柱体的表面积以及空间想象能力，属于基础题.15.如图所示，Rt ABC在平面内，90ACB，斜边AB在二面角l的棱l上，且AC与平面所成角为45，BC与平面所成角为 30，则二面角l的平面角大小为_【答案】60【解析】【分析】过点C作CO，交于O，连结AO，BO，作CDl，交l于点D，连结 OD，则CDO是二面角l的平面角，由此能求出二面角l的平面角大小【
13、详解】过点C作CO，交于O，连结AO，BO，作CDl，交l于点D，连结 OD，则CDO是二面角l的平面角，Rt ABC 在平面内，90ACB，斜边AB在二面角l的棱l上，AC与平面所成角为45，BC与平面所成角为 30，45CAO，30CBO，设1CO，则1AO，2AC，2BC，3BO，AB6，22263ACBCCDAB，42233AD，21133OD，222411133cos2241233CDODCOCDOCDOD，60CDO，二面角l的平面角大小为60故答案为：60【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题16
14、.如图，在ABC中，90ACB，CAB，M为AB的中点，将ACM沿着CM翻折至A CM，使得A MMB，则的取值可能为_（填上正确的所有序号）.9；7；6；3.【答案】【解析】【分析】设A在平面BMC上的射影为A，则由题意知，点A在直线CM的垂线A A上，要使A MMB，则A MMB，因此只需考虑其临界情况，然后求出的取值范围，进一步确定其可能的取值【详解】如图，设A在平面BMC上的射影为A，则由题意知，点A在直线CM的垂线A A上，要使A MMB，则A MMB，因此只需考虑其临界情况，即当A MMB时，点A与点A关于直线CM对称，4AMDA MDBMC，又AMMC，AMC是以MAC为底角的等
15、腰三角形，24CAMMCA，8因此当8时，有A MMB，的取值可能为7，6，3故答案为：【点睛】本题考查空间中点，直线，面位置关系的判定，考查空间想象能力和运算求解能力，同时考查极限思想的应用，属于难题三、解答题：4小题，共36 分17.若一个球与一个圆柱的各面均相切，并设球的体积与圆柱的体积的比值为a，球的表面积与圆柱的表面积的比值为b，探求a与b的大小关系【答案】ab【解析】【分析】直接利用球的体积和表面积公式的应用，圆柱的体积和表面积公式的应用求出结果【详解】设球的半径为r，根据一个球与一个圆柱的各面均相切，所以圆柱的高为2r，圆柱的底面半径为r则343Vr球，2322Vrrr圆柱，所以
16、3342323rar24Sr球，222226Srrrr圆柱，所以224263rbr，则ab【点睛】本题考查球的体积和表面积公式的应用，圆柱的体积和表面积公式的应用，考查运算求解能力和转化能力，属于基础题18.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别是AD，PB的中点（1）求证：PECD；（2）求证：/EF平面PCD；（3）求证：平面PAB平面PCD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）推导出PEAD，从而PE平面ABCD，由此能证明PECD（2）取BC中点G，连结EG，FG，推导出/FG
17、PC，/EFDC，从而平面/EFG平面PCD，由此能证明/EF平面PCD（3）推导出CDAD，从而CD平面PAD，进而PA平面PCD，由此能证明平面PAB平面PCD【详解】（1）PAPD，E是AD的中点，PEAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE平面ABCD，CD平面ABCD，PECD（2）取BC中点G，连结EG，FG，E，F分别是AD，PB的中点，/FGPC，/EFDC，FGEGG，平面/EFG平面PCD，EF平面EFG，/EF平面PCD（3）底面ABCD为矩形，CDAD，由（1）得CDPE，又ADPEE，CD平面PAD，AP平面PAD，CDAP，PAPD，PDCDD
18、，PA平面PCD，PA平面PAB，平面PAB平面PCD【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.如图，已知直三棱柱111ABCA B C，90ACB，E是棱1CC上动点，F是AB中点，2ACBC，14AA（1）求证：CF平面11ABB A；（2）当E是棱1CC中点时，求1EB与平面11ABB A所成的角；（3）当52CE时，求二面角1AEBB的大小【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3）45.【解析】【分析】（1）推导出1CFAA，CFAB，由此能证明CF平面11ABB A（2）以C为原点，CA为x
19、轴，CB为y轴，1CC为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出1EB与平面11ABB A所成的角（3）求出平面1AEB的法向量和平面1BB E的法向量，利用向量法能求出二面角1AEBB的大小【详解】（1）直三棱柱111ABCA B C，1CFAA，F是AB中点，2ACBC，CFAB，1AABAA，CF平面11ABB A（2）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，1CC为z轴，建立空间直角坐标系，(0,0,2)E，1(0,2,4)B，(2,0,0)A，(0,2,0)B，1(0,2,2)EB，(2,2,0)AB，1(2,2,4)AB，设平面11ABB A的法向量(,)nx y z，则122
20、02240n ABxyn ABxyz，取1x，得(1,1,0)n，设1EB与平面11ABB A所成的角为，则11|21sin2|82EB nEBn，30，1EB与平面11ABB A所成的角为30（3）解：当52CE时，5(0,0,)2E，1(0,2,4)B，(2,0,0)A，5(2,0,)2AE，1(2,2,4)AB，设平面1AEB的法向量(mx，y，)z，则152022240m AExzm ABxyz，取5x，则(5m，3，4)，平面1BB E的法向量(1,0,0)p，设二面角1AEBB的大小为，则|52cos|250m pmp，45二面角1AEBB的大小为45【点睛】本题考查线面垂直的证明
21、，考查线面角、二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.已知圆22:6630Cxxyy，直线:20lxy是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线2yx上（1）求公共弦AB的长度；（2）求圆E的方程；（3）过点1,0Q分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且 MNRS，求四边形 MRNS面积的最大值与最小值【答案】（1）2 7；（2）229xy；（3）最大值17，最小值122【解析】【分析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；（2）圆E的圆心在直线2yx上，设圆心(,2)E aa，
22、求出圆心的半径即可得到圆的方程；（3）对直线MN，RS分两种情况讨论，即当过点(1,0)Q的互相垂直的直线MN，RS为x轴，垂直于x轴时和当过点(1,0)Q的互相垂直的直线MN，RS不垂直于x轴时，写出四边形MRNS 面积的的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值【详解】圆2222:6630(3)(3)15C xxyyxy，所以圆C的圆心坐标(3,3)，半径115r，（1）圆心到直线:20lxy的距离122|332|2 211d，公共弦221122 7ABrd；（2）圆E的圆心在直线2yx上，设圆心(,2)E aa，由题意得CEl，23103aaa，即(0,0)E，E到l的距离2222d，所以
23、E的半径22221()2732rdAB，所以圆E的方程：229xy；（3）当过点(1,0)Q的互相垂直的直线MN，RS为x轴，垂直于x轴时，2|26MNr，这时直线RS的方程为1x，代入到圆E中，|22y，所以|4 2RS，四边形MRNS 的面积11|6 4 212 222sMNRS；当过点(1,0)Q的互相垂直的直线MN，RS不垂直于x轴时，设直线MN为：11xmyxmy，则直线RS为：(1)0ym xmxym，所以圆心E到直线MN的距离211hm，圆心E到直线RS的距离2|1mhm，2221|22 91MNrhm，2221|2 92 811mRSmm，设21(01)1ttm，当0t或 1 时，正好是x轴及垂直x轴，面积212 92 82722stttt，当12t时，s最大且17s，0t或 1 时，s最小12 2，四边形 MRNS 面积的最大值17，最小值12 2【点睛】本题主要考查直线和圆相交求相交弦长，及利用勾股定理弦长距离半径之间的关系求解，属于中难度题